Lição
A teoria — Simulador de energia de montanha-russa
Numa pista sem atrito, a energia mecânica conserva-se: a soma da energia cinética e potencial é a mesma em todo o lado. Essa única frase determina a velocidade em cada ponto do percurso a partir apenas da altura inicial — sem necessidade de forças, cronologia ou da forma da colina.
O que significa cada símbolo
h- a altura acima do nível de referência. O nível a que chamar zero nunca altera um resultado: à fórmula chega apenas o desnível
h₀ − h, pelo que mover a referência move as duas alturas em conjunto. v- a velocidade, que o mostrador obtém a partir da energia e não de qualquer força.
KE- energia cinética,
½mv². PE- energia potencial,
mgh—49.05 Jno início, a partir de1 × 9.81 × 5. μ- o coeficiente de atrito. Definido acima de zero, dissipa energia ao longo do percurso, e a quantidade dissipada depende da distância percorrida e não da altura perdida.
De onde vem a fórmula
- A conservação estabelece que o total é fixo:
½mv² + mgh = ½mv₀² + mgh₀. - Todos os termos contêm o mesmo fator m, pelo que se pode simplificar dividindo por ele:
½v² + gh = ½v₀² + gh₀. A massa desapareceu, e desapareceu de vez. - Isolando a velocidade:
v = √(v₀² + 2g(h₀ − h)). Apenas a queda de altura surge na equação — razão pela qual o mostrador indica uma energia inicial por unidade de massa,49.05 J/kg, em vez de uma força.
- Pressupõe
- Uma massa pontual que desliza numa pista que a vincula, sem rotação, sem resistência do ar e com velocidade suficiente para se manter nos carris. Nada aqui verifica se a carruagem sairia efetivamente da pista no topo de uma elevação.
- Falha quando
- Vale a pena testar o Passo 2 em vez de confiar cegamente, e a página permite fazê-lo. No ponto médio, a velocidade indica
7.8912 m/s; se alterar a massa de1 kgpara500 kg, continua a indicar7.8912 m/s— idêntica — enquanto a KE passa de31.135 Jpara15,568 J. Carruagens mais pesadas transportam mais energia e não se deslocam mais depressa. O atrito também não altera isto: a perda por unidade de massa éμgs, que também não depende da massa.
Prática
Verifique você mesmo
Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.
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A caixa da massa está definida para
1 kg. Altera-a para500 kge prevê o que acontece à velocidade no ponto médio do percurso.Mostrar a resposta
Absolutamente nada — mantém-se em7.8912 m/s. Todos os termos na equação da energia contêm um fator m, pelo que este se simplifica e a velocidade depende apenas da altura perdida. A energia cinética altera-se, sim, de31.135 Jpara15,568 J: uma carruagem mais pesada transporta muito mais energia e não se desloca mais depressa. -
No início, a indicação mostra
PE 49.05 JeKE 0 J. Onde é que a montanha-russa atinge a velocidade máxima e qual é o valor total nesse momento?Mostrar a resposta
No ponto mais baixo da pista, e o total continua a ser49.05 J— esse é todo o significado da conservação. A PE foi convertida em KE, não tendo sido criada nem destruída. Com o atrito a zero, a soma nunca se altera, independentemente de quantas colinas atravesse. -
Aumenta o coeficiente de atrito acima de zero. A energia perdida depende da distância percorrida pela montanha-russa ou da altura que perdeu?
Mostrar a resposta
Da distância percorrida. A tabela indica a perda comoμgs, onde s é a distância ao longo do percurso — razão pela qual a indicação regista a distância separadamente da altura. Um trecho plano e longo consome energia, enquanto uma queda vertical com o mesmo comprimento não consome quase nenhuma. Nota que também não depende da massa, pelo que o atrito também não invalida a resposta anterior.
Problema resolvido na íntegra
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Um carro de 1 kg largado do repouso a 5 m na pista 6 passos
Um carrinho de 1 kg libertado do repouso a 5 m na pista 0,5; 2,3; 3,6; 5,1; 7,4; 9,2; 10,5. Determine onde vai parar — e não é no fim da pista.
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Sem atrito, a energia total é fixada pela altura de libertação e nunca se altera. Um quilograma e 5 metros é tudo o que este problema tem como dados de entrada.
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Reorganizada para a velocidade, a mesma afirmação torna-se uma restrição: o carrinho só pode estar onde a raiz quadrada é real. Essa é a solução completa, antes de qualquer pista ser desenhada.
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Consulte a pista para determinar o seu máximo. O pico situa-se acima do ponto de libertação, o que resolve a questão — e note que a descida para 1 m além dele nunca entra no argumento.
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Encontre o ponto de inversão exatamente. Encontra-se na subida de (2,3) a (3,6), onde o segmento reto cruza novamente a altura de libertação.
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O comprimento do percurso é importante porque o atrito atuaria ao longo dele, e não ao longo da horizontal. Seis segmentos, seis aplicações do teorema de Pitágoras.
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Duas velocidades concluem a resolução: a mais rápida a que o carrinho realmente se desloca na sua curta excursão, e a velocidade de lançamento que desbloquearia o resto do percurso.
Resposta
Inverte o sentido em x = 2,667 m e nunca chega a percorrer o resto da pista. A elevação em x = 3 atinge 6 m, e o carrinho partiu de 5, portanto não há energia suficiente; em todas as posições para lá desse ponto, o indicador mostra parado, confirmando o resultado em vez de revelar uma falha da ferramenta. O interesse deste problema está no facto de não exigir qualquer simulação. A conservação da energia transforma uma equação diferencial numa desigualdade — h ≤ h₀ — e a forma da pista entre o ponto de partida e o obstáculo é irrelevante. Dê ao carrinho uma velocidade de 4,43 m/s no topo, e todo o percurso de 20,972 m se torna acessível, incluindo a passagem pelo vale em x = 5 a 9,90 m/s. Abaixo dessa velocidade, esse percurso fica inteiramente fora de alcance.
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Percurso de aprendizagem
Energia em vez de forças
Referências (1)
- Why real loops are not circles, and what that does to the forces at the top: A.-M. Pendrill, "Roller coaster loop shapes revisited." Physics Education 51(3), 030106, 2016.