Lição
A teoria — Calculadora de queda livre
A queda livre é o movimento sob a ação exclusiva da gravidade, eliminando a resistência do ar do problema. Uma aceleração constante g atua durante toda a queda, e tudo o que o painel apresenta deriva dessa única hipótese — nenhuma força é adicionada e nenhuma é omitida.
O que significa cada símbolo
h- a altura de queda, medida verticalmente para baixo. É a única distância no problema: a distância percorrida lateralmente pelo objeto e a sua forma não intervêm.
g- a aceleração da gravidade, em metros por segundo ao quadrado. Defina-a como
1.62para a Lua e a mesma queda de 100 m estende-se de4.5152 spara11.1111 s, chegando a18 m/sem vez de44.2945 m/s. v- a velocidade de impacto no momento da aterragem, não uma média. O objeto deslocou-se mais devagar do que isto durante toda a queda, exceto no instante final.
t- o tempo de queda. Cresce com a raiz quadrada da altura, que é a parte que surpreende — dez vezes a altura de queda resulta em apenas
3.1623vezes o tempo.
De onde vem a fórmula
- Com aceleração constante e partida do repouso, a distância é
h = ½gt². Toda a física resume-se a isto; o resto é álgebra. - Isolando o tempo:
t = √(2h/g). A raiz quadrada é a razão pela qual uma queda do dobro da altura não demora o dobro do tempo. - A velocidade após o tempo
tév = gt. Substituindo o tempo do passo 2 obtém-sev = g·√(2h/g) = √(2gh)— a altura e a gravidade entram de forma simétrica, e a massa nunca aparece em nenhuma das expressões. - A energia cinética por quilograma é
½v², e elevar√(2gh)ao quadrado devolve exatamenteg·h. Comh = 100eg = 9.81, a linha da Energia cinética por kg indica981 J/kg, que é9.81 × 100— o valor apresentado é simplesmente o produto dos dois valores de entrada.
Como ler o que vê
Altere a altura e observe as duas linhas superiores a moverem-se juntas, mas não ao mesmo ritmo: a 1000 m, a queda demora 14.2784 s em comparação com 4.5152 s, e atinge o solo a 140.0714 m/s em comparação com 44.2945 m/s — ambos multiplicados por 3.1623, porque dez vezes a altura corresponde a √10 vezes tudo. Reduza a altura a um quarto e a velocidade fica reduzida exatamente a metade: 25 m dá 22.1472 m/s.
- Pressupõe
- Ausência de ar, partida do repouso e uma gravidade que não se altera ao longo da queda. Esta última é, discretamente, a hipótese mais forte:
gdiminui com a altitude, pelo que uma queda real de 1000 m não ocorre com um valor único como esta apresenta. - Falha quando
- A resistência do ar é o que invalida o modelo em primeiro lugar, e invalida-o completamente em vez de apenas ligeiramente. Um paraquedista real deixa de acelerar a uma velocidade limite próxima de
55 m/s, pelo que esta página já sobrestima o caso dos 1000 m por mais do que um fator de dois a140.0714 m/s. A fórmula não tem nenhum termo que possa produzir um limite superior —v = √(2gh)cresce sem limite —, pelo que o valor apresentado não é uma resposta ligeiramente otimista, mas sim a resposta a uma pergunta diferente.
Prática
Verifique você mesmo
Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.
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Carregue em Torre de 100 m (Terra):
4.5152 s,44.2945 m/s,981 J/kg. Agora ponha a gravidade nos1.62da Lua e deixe a altura como está — a velocidade de impacto cai para18 m/s. De que altura teria de cair na Lua para chegar com a mesma força, e que linha lhe diz que já lá chegou?Mostrar a resposta
Cerca de605.5 m, seis vezes a altura para um sexto da gravidade. A linha a vigiar é a terceira: a energia cinética por quilograma ég·he mais nada, por isso igualar981 J/kgé o mesmo que igualar a velocidade. Com605.5e1.62ela marca980.91 J/kge44.2924 m/s, contra os981e44.2945da Terra. A queda passa a demorar27.341 sem vez de4.5152 s— seis vezes mais tempo para a mesma velocidade final, porque uma gravidade fraca precisa de distância para fazer o que uma forte faz depressa. -
Um paraquedista real deixa de acelerar por volta dos
55 m/s. A partir de que altura de queda começa esta página a indicar uma velocidade que nenhuma pessoa em queda atinge?Mostrar a resposta
Entre154 me155 m:154dá54.968 m/se155dá55.1462 m/s. Esse limiar é mais baixo do que quase toda a gente supõe, e tudo o que está acima responde sobre o vácuo, não sobre o ar. Depois a diferença cresce depressa: a1000 ma página indica140.0714 m/s, duas vezes e meia uma velocidade que um corpo a cair no ar não consegue ultrapassar.
Problema resolvido na íntegra
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Deixar cair uma pedra de 100 m com g = 9,81 m/s² 5 passos
Deixe cair uma pedra de 100 m com g = 9,81 m/s². Determine o tempo de queda, a velocidade de impacto e a energia por quilograma — depois, determine em que ponto da queda se situam os pontos médios, pois nenhum deles fica a meio do tempo.
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O deslocamento é quadrático no tempo, pelo que igualar a altura a zero e resolver constitui a totalidade do primeiro passo.
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A velocidade é a derivada, avaliada nesse instante. Vale a pena converter: 159 km/h é velocidade de autoestrada, a partir de dez andares.
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Substituir v² = 2gh na energia cinética faz com que a massa e a velocidade desapareçam ambas, restando a altura de queda e a gravidade. Trata-se de energia potencial devolvida diretamente, motivo pelo qual o número é um 981 redondo.
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Agora, a forma da queda. Escrever a altura como uma fração do total torna a dependência do tempo num simples quadrado, e os quadrados não perdoam: metade do tempo decorrido vale um quarto da distância.
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O ar altera o destino, não apenas o ritmo. Com uma velocidade limite de 55 m/s, a forma fechada dá 38,0 m/s — menos 14% na velocidade, mas menos 26% na energia, porque a energia varia com o quadrado, e esta é a única linha em que a massa reapareceria.
Resposta
4,5152 s, 44,29 m/s e exatamente 981 J/kg. Este último valor é gh e mais nada: a massa cancela-se duas vezes, uma no peso e outra na inércia, pelo que um seixo e um piano chegam com a mesma energia por quilograma. E a queda é fortemente concentrada na fase final — a meio do tempo a pedra percorreu um quarto da queda, e só atinge metade da altura aos 71% do tempo. Metade do percurso ocorre nos últimos 29% do tempo, razão pela qual uma queda que parece sobrevivível do topo não o é.
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Percurso de aprendizagem
Energia em vez de forças
Referências (3)
- Where “distance goes as the square of the time” comes from — the result the whole panel rests on: Galileo Galilei, Two New Sciences, including Centers of Gravity & Force of Percussion, translated by Stillman Drake. University of Wisconsin Press, 1974. ISBN 0-299-06404-2. First published as the Discorsi in 1638.
- The 9.80665 m/s² the gravity field is built around, and where that exact figure was fixed: Bureau International des Poids et Mesures, Declaration 2 of the 3rd CGPM (1901): “The value adopted in the International Service of Weights and Measures for the standard acceleration due to gravity is 980.665 cm/s².”
- The “no air” assumption tested where there genuinely is none: NASA, “The Apollo 15 Hammer-Feather Drop.” Commander David Scott released a 1.32 kg geological hammer and a 0.03 kg falcon feather from about 1.6 m; both struck the surface together.