Laboratório de Momento e Colisões

Simule colisões de carrinhos em 1D para explorar a conservação do momento, as mudanças na energia cinética e o coeficiente de restituição.

Exemplo resolvido — Laboratório de Momento e Colisões

Coeficiente (e)	1.00
Momento Inicial (Pi)	3.00 kg·m/s
Momento Final (Pf)	3.00 kg·m/s
Energia Inicial (Ki)	10.50 J
Energia Final (Kf)	10.50 J

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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O momento sempre sobrevive à colisão; a energia não 🖖

Em qualquer sistema fechado, o momento sempre se conserva devido à terceira lei de Newton: a força que o Carrinho 1 exerce sobre o Carrinho 2 é igual e oposta à força que o Carrinho 2 exerce sobre o Carrinho 1. A energia cinética, no entanto, só se conserva em colisões perfeitamente elásticas (e = 1). Em colisões macroscópicas no mundo real, a energia é sempre dissipada em energia térmica, som e deformação do material (e < 1). Na escala subatômica, as colisões entre moléculas de gás são perfeitamente elásticas, razão pela qual os gases não se acumulam eventualmente no chão como poças frias de matéria estática.

O número que define o repique 🖖

O coeficiente de restituição e é o controle principal desta ferramenta. É simplesmente a velocidade de separação dividida pela velocidade de aproximação: e = 1 é um repique perfeito (uma bola superelástica), enquanto e = 0 significa que os carrinhos ficam grudados como argila úmida. Dá para medir em casa: solte uma bola e divida a altura do repique pela altura de queda, o que equivale a e². Uma bola de basquete que volta a cerca de 64% da altura de queda tem e ≈ 0.8.

A Voyager 2 jogou bilhar com Júpiter 🖖

A assistência gravitacional de uma sonda segue exatamente estas regras sem que nada chegue a se tocar. No referencial do planeta, o sobrevoo é perfeitamente elástico (e = 1): a sonda parte com a mesma velocidade com que chegou, apenas redirecionada. Mas no referencial do Sol ela pode ganhar quase o dobro da velocidade orbital do planeta. Foi assim que a Voyager 2 ganhou cerca de 10 km/s em Júpiter — emprestados do movimento orbital do planeta, que em troca desacelerou uma quantidade totalmente desprezível.

COLISÕES — O MOMENTO SEMPRE SOBREVIVE, A ENERGIA MUITAS VEZES NÃO

Qual colisão você está modelando?

Toda colisão aqui conserva o momento: m₁u₁ + m₂u₂ é o mesmo antes e depois, sempre. O que separa os casos é quanta energia cinética sobrevive, e um único número decide isso — o coeficiente de restituição e, a velocidade de separação dividida pela de aproximação. Fixe e primeiro; depois a razão entre as massas diz quem termina indo para onde.

Perfeitamente elástica (e = 1) — a energia cinética sobrevive inteira e = 1, K′ = K

Perfeitamente inelástica (e = 0) — grudam e perdem o máximo e = 0, v₁ = v₂

Parcialmente elástica (0 < e < 1) — o meio-termo do mundo real e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Pesado atinge leve — o pequeno é lançado m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Leve atinge pesado — ele volta quicando m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Perfeitamente elástica (e = 1) — a energia cinética sobrevive inteira

O que você sabe: Nada se deforma em definitivo e nada aquece: os carrinhos se separam exatamente tão rápido quanto se aproximaram. Momento e energia cinética são ambos conservados.

Restituição: e = 1, K′ = K

Exemplo resolvido: 2 kg a +3 m/s encontra 2 kg a −3 m/s com e = 1 → saem a −3 e +3 m/s. As velocidades simplesmente trocam, e os 18 J continuam lá.

Abrir este caso: Rebote de bolas de bilhar

Perfeitamente elástica (e = 1) — a energia cinética sobrevive inteira. Massas iguais com e = 1: os carrinhos trocam velocidades e guardam cada joule. Nada se deforma em definitivo e nada aquece: os carrinhos se separam exatamente tão rápido quanto se aproximaram. Momento e energia cinética são ambos conservados. — Massas iguais com e = 1: os carrinhos trocam velocidades e guardam cada joule.

Perfeitamente inelástica (e = 0) — grudam e perdem o máximo

O que você sabe: Os carrinhos saem com uma única velocidade compartilhada, então a velocidade de separação é zero. O momento continua fechando, mas a perda de energia cinética é a maior possível.

Restituição: e = 0, v₁ = v₂

Exemplo resolvido: 2 kg a 3 m/s atinge 3 kg parado com e = 0 → ambos seguem a 1,2 m/s, e 5,4 J dos 9 J iniciais sumiram: 60 % perdidos.

Abrir este caso: Colisão inelástica aderente

Perfeitamente inelástica (e = 0) — grudam e perdem o máximo. Com e = 0 os carrinhos seguem juntos, e a energia que falta virou dano. Os carrinhos saem com uma única velocidade compartilhada, então a velocidade de separação é zero. O momento continua fechando, mas a perda de energia cinética é a maior possível. — Com e = 0 os carrinhos seguem juntos, e a energia que falta virou dano.

Parcialmente elástica (0 < e < 1) — o meio-termo do mundo real

O que você sabe: Os carrinhos até se separam, mas mais devagar do que se aproximaram. e é a razão entre as duas: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂).

Restituição: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂)

Exemplo resolvido: 3 kg a +4 m/s encontra 2 kg a −2 m/s com e = 0,5 → v₁ = +0,4 e v₂ = +3,4 m/s. Os 6 m/s de aproximação voltam como 3 m/s, e 16,2 J dos 28 J se perdem.

Abrir este caso: Colisão de carrinhos de bate-bate

Parcialmente elástica (0 < e < 1) — o meio-termo do mundo real. Com 0 < e < 1 eles se afastam mais devagar do que se encontraram, e a diferença sai como calor. Os carrinhos até se separam, mas mais devagar do que se aproximaram. e é a razão entre as duas: e = (v₂ − v₁)/(u₁ − u₂). — Com 0 < e < 1 eles se afastam mais devagar do que se encontraram, e a diferença sai como calor.

Pesado atinge leve — o pequeno é lançado

O que você sabe: Colisão elástica com m₁ muito maior que m₂. O carrinho pesado quase não sente o impacto; o leve sai mais rápido do que qualquer coisa chegou.

Restituição: m₁ ≫ m₂ ⇒ v₂ → 2u₁

Exemplo resolvido: 8 kg a 3 m/s atinge 1 kg parado de forma elástica → o pesado só desacelera para 2,33 m/s enquanto o leve sai a 5,33 m/s, perto do teto 2u₁.

Abrir este caso: Pesado atinge leve

Pesado atinge leve — o pequeno é lançado. Com m₁ ≫ m₂ o carrinho pesado segue quase inalterado e o leve é arremessado à frente. Colisão elástica com m₁ muito maior que m₂. O carrinho pesado quase não sente o impacto; o leve sai mais rápido do que qualquer coisa chegou. — Com m₁ ≫ m₂ o carrinho pesado segue quase inalterado e o leve é arremessado à frente.

Leve atinge pesado — ele volta quicando

O que você sabe: Colisão elástica com m₁ muito menor que m₂. O carrinho que chega inverte o sentido; o pesado quase não se move.

Restituição: m₁ ≪ m₂ ⇒ v₁ → −u₁

Exemplo resolvido: 1 kg a 3 m/s atinge 8 kg parado de forma elástica → o leve volta a −2,33 m/s e o pesado avança devagar a 0,67 m/s.

Abrir este caso: Leve rebate em pesado

Leve atinge pesado — ele volta quicando. Com m₁ ≪ m₂ o carrinho leve volta a quase a velocidade de chegada e o pesado mal se mexe. Colisão elástica com m₁ muito menor que m₂. O carrinho que chega inverte o sentido; o pesado quase não se move. — Com m₁ ≪ m₂ o carrinho leve volta a quase a velocidade de chegada e o pesado mal se mexe.

Referências (1)

Insight block 3 — the gravity assist as an elastic collision with a planet: G. A. Flandro, "Solar electric low-thrust missions to Jupiter with swingby continuation to the outer planets." Journal of Spacecraft and Rockets 5(9), 1029–1033, 1968 — the swingby trajectories that became the Voyager Grand Tour.

Problema resolvido na íntegra

Um carrinho de 2 kg a colidir elasticamente com um carrinho de 3 kg 5 passos
Um carrinho de 2 kg a 3 m/s colide elasticamente com um carrinho de 3 kg a −1 m/s. Determine ambas as velocidades finais a partir das duas leis de conservação — e depois veja quanto custa a mesma colisão se os carrinhos ficarem juntos.
1. Primeiro a quantidade de movimento, pois esta conserva-se seja qual for o tipo de colisão. Os sinais indicam os sentidos, pelo que o −1 do segundo carrinho subtrai.
  
  $p : m_{1} u_{1} + m_{2} u_{2} = 2 (3) + 3 (- 1) = 3 kg m/s$
2. A energia cinética é a segunda restrição, e é a única que só se conserva quando a colisão é elástica. Entram dez joules e meio.
  
  $K : \frac{1}{2} (2) (3)^{2} + \frac{1}{2} (3) (- 1)^{2} = 9 + 1.5 = 10.5 J$
3. É possível evitar a resolução de duas equações, uma das quais do segundo grau. Numa colisão elástica, a velocidade relativa simplesmente inverte-se — os carrinhos afastam-se à mesma velocidade com que se aproximaram — e essa afirmação linear substitui exatamente a equação da energia.
  
  $e = 1 : v_{2} - v_{1} = - (u_{2} - u_{1}) = 4 with m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = 3$
4. Duas equações lineares fornecem então diretamente ambas as velocidades. O carrinho leve recua; o pesado é empurrado para a frente, mas termina com uma velocidade inferior àquela com que o leve chegou.
  
  $⟹ v_{1} = - 1.8 m/s, v_{2} = 2.2 m/s$
5. Ajuste agora a restituição para zero e os carrinhos afastam-se juntos à velocidade média ponderada pela quantidade de movimento, 0,6 m/s, transportando 0,9 J.
  
  $e = 0 : v = \frac{3}{5} = 0.6, K_{f} = \frac{1}{2} (5) (0.6)^{2} = 0.9 J ⟹ 91.4% lost$
Resposta

A ferramenta indica 3,00 kg·m/s antes e depois, e 10,50 J antes e depois — quantidade de movimento e energia ambas conservadas, que é o significado de elástica. Arraste o cursor da restituição para 0 e observe o segundo par a divergir enquanto o primeiro não o faz: a quantidade de movimento continua a registar 3,00, mas a energia desce para 0,9 J. 91,4% da energia cinética desapareceu, convertida em calor, som e deformação permanente, sem que a quantidade de movimento se veja afetada. Essa assimetria é que é útil — a quantidade de movimento conserva-se em todas as colisões que existem, a energia apenas nas idealizadas, e uma zona de deformação programada é um dispositivo para tornar o segundo número o maior possível.

$e = \frac{v _{2} - v _{1}}{u _{1} - u _{2}} : e = 1 \Rightarrow K conserved, e = 0 \Rightarrow 91.4% lost$

Percurso de aprendizagem

Energia em vez de forças

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-27

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Rebote de bolas de bilhar - Massas iguais, e=1: as velocidades trocam exatamente (+3 → -3 e -3 → +3) — a clássica troca elástica estilo bolas de bilhar.
Colisão inelástica aderente - m1=2 kg a 3 m/s atinge o m2=3 kg parado, e=0: eles ficam grudados e seguem juntos a 1,2 m/s.
Pesado atinge leve - m1=8 kg atinge elasticamente o m2=1 kg parado: o carrinho pesado quase não desacelera (3→2,33 m/s), enquanto o leve dispara a 5,33 m/s.
Leve rebate em pesado - m1=1 kg atinge elasticamente o m2=8 kg parado: o carrinho leve ricocheteia para trás (3→-2,33 m/s), enquanto o pesado mal se move (0→0,67 m/s).
Colisão de carrinhos de bate-bate - e=0,5: m1=3 kg a 4 m/s encontra m2=2 kg a -2 m/s: o choque parcialmente elástico dissipa ~58% da energia cinética — uma colisão realista de carrinhos de bate-bate.