Propriedades das potências e por que a⁰ é 1

Escolha uma base e dois expoentes. As três propriedades das potências são demonstradas lado a lado. A escada abaixo revela de onde surgem a⁰ e a⁻ⁿ. Experimente colocar um número diferente no degrau zero e veja a coluna perder o formato de escada.

Exemplo resolvido — Propriedades das potências e por que a⁰ é 1

O degrau em 0	1
O degrau em −1	1/2
Passos que dividem pela base	6 / 6
Valores que igualam os passos	1

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Ninguém decidiu que a⁰ é 1 🖖

Pressione Fingir que 2⁰ = 7. As potências de 2 dispostas numa coluna são 8, 4, 2, segue-se uma lacuna e depois 1/2, 1/4, 1/8. Cada passo que descemos na coluna divide o valor por 2. Ao colocar 7 na lacuna, quebram-se dois passos de uma só vez: o passo de entrada divide por 2/7 e o passo de saída divide por 14. Apenas um número assegura o mesmo salto em todos os degraus. Experimente os outros botões e mude a base para 10 ou para 20. O resultado é sempre 1. Uma procura abrangendo nove valores candidatos por entre todas as vinte bases encontra exatamente um vencedor. Olhe agora abaixo da lacuna, onde a mesma divisão continua: 1/2, a seguir 1/4 e depois 1/8. Nenhuma segunda regra foi ali inserida, pois não houve necessidade disso. Este facto encerra em si a totalidade do significado de um expoente negativo.

Três propriedades no livro, uma ideia na página 🖖

A linha superior expande 2³ × 2² em fatores. Esse é o argumento por inteiro: três 2s ao lado de dois 2s formam cinco 2s. A divisão cancela-os em vez de os agrupar, subtraindo os expoentes. Elevar uma potência a outra contabiliza a própria contagem, logo os expoentes multiplicam-se. A verdadeira utilidade surge além do que se pode desenhar. Defina m e n como negativos e "contar os 'a'" perde todo o sentido. Ainda assim, as três propriedades cumprem-se. Elas aplicam-se a bases de 2 a 12 e expoentes de −6 a 6, num total de 5.229 estados onde ambos os lados permanecem exatamente calculáveis. A contagem fundamenta a regra para números inteiros. Depois disso, a regra dita os resultados obrigatórios nos cenários que já não consegue visualizar.

O único canto onde a imposição não alcança 🖖

Pressione Base zero. Duas das três leis mantêm-se: 0³ × 0² é 0⁵ e (0³)² é 0⁶, sendo todas elas 0. A linha da divisão não mostra qualquer resposta, porque 0³ ÷ 0² exige 0 ÷ 0. Eis a primeira aparição da objeção que trava a escada mais abaixo. A coluna desce 0, 0, 0 e para. Cada passo até aqui foi uma divisão, mas este divide por 0. Assim, o argumento lógico que obrigou a⁰ a valer 1 nunca alcança esse degrau. Duas regras válidas chegam a este canto com respostas diferentes. a⁰ = 1 é válido para qualquer base, exceto 0. 0ⁿ = 0 é válido para qualquer expoente, exceto 0. Aproxime-se do canto ao longo de um eixo e xᵞ tende para 1; aproxime-se ao longo do outro e tende para 0. Logo, o limite não existe, e um texto que pretenda indicar um limite deixa o símbolo intacto. JavaScript e Python respondem ambos 1, porque um produto vazio é 1 e porque o teorema binomial exige que x⁰ seja 1 em x = 0 ou deixa de funcionar. Ninguém neste debate está a ser descuidado. Apenas precisam que o canto cumpra funções diferentes.

Problema resolvido na íntegra

O que é a½ e quem o decidiu? A ferramenta calcula apenas expoentes inteiros. O raciocínio que forçou o valor de a⁰ não terminou aí. Descubra qual é o significado imposto ao expoente de um meio.

Abrir este problema na ferramenta
1. Comece com a lei matemática apresentada pela ferramenta na sua terceira linha e comprove-a num caso tangível: ao elevar uma potência a outra potência, os expoentes multiplicam-se.
  
  $(a^{m})^{n} = a^{mn} ⟹ (3^{2})^{3} = 3^{6} = 729$
2. Alimente agora essa mesma lei com um expoente de um meio inserido numa potência exterior de 2. O lado direito colapsa para a¹, o que corresponde apenas a a.
  
  $(a^{1/2})^{2} = a^{\frac{1}{2} \times 2} = a^{1} = a$
3. Analise o que esse resultado indica. a½ é um número cujo quadrado é a. Trata-se da própria definição de raiz quadrada. Nada foi definido de forma arbitrária; a lei não deixou espaço para que acontecesse outra coisa.
  
  $a^{1/2} = a$
4. A mesma lógica soluciona as restantes raízes. Uma potência exterior de 3 origina um número cujo cubo é a.
  
  $(a^{1/3})^{3} = a^{1} = a ⟹ a^{1/3} = 3 a$
5. As potências mistas ficam automaticamente resolvidas sem recorrer a mais regras. 16 elevado a três meios equivale ao cubo da raiz quadrada ou à raiz quadrada do cubo. A propriedade assevera a concordância entre os dois cenários: 4³ e √4096 valem ambos 64.
  
  $1 6^{3/2} = (1 6^{1/2})^{3} = 4^{3} = 64, (1 6^{3})^{1/2} = 4096 = 64$
6. A barreira que trava o percurso não advém da álgebra, mas sim da escolha de uma raiz. O número −8 contém uma raiz cúbica real de −2, além de duas complexas. A apresentação do problema a três computadores distintos resulta em três respostas. −2 espelha a convenção para os reais. O JavaScript devolve NaN. O Python rejeita estas hipóteses e apresenta 1 + i√3, privilegiando o cálculo da raiz principal.
  
  $(- 8)^{1/3} \in {- 2, 1 + i 3, 1 - i 3}$
Resposta

A forma a^(1/q) converte-se numa raiz de índice q através do exato mesmo princípio que impõe a⁰ = 1. Como não introduzimos definições adicionais na transição entre os números inteiros e as frações, os expoentes fracionários obedecem rigorosamente às regras dos números inteiros. A verdadeira escolha humana consiste em decidir a qual das raízes de índice q nos referimos quando um número encerra múltiplas hipóteses. O motivo para a discórdia sobre o valor de (−8)^(1/3) baseia-se unicamente nisso. Numa base positiva existe uma só raiz positiva e o debate não ocorre. É graças a essa estabilidade que os manuais limitam o ensino dos expoentes fracionários à condição a > 0. O caso negativo é reservado para os capítulos sobre números complexos.

$a^{p / q} = q a^{p} = (q a)^{p} (a > 0)$

Referências (2)

Where the two answers at 0⁰ come from, and why neither camp is careless: Donald E. Knuth, "Two Notes on Notation", The American Mathematical Monthly 99(5), 403–422, 1992. doi:10.2307/2325085
What the machines named in the same block actually do, measured rather than assumed: Measured in this repo: Node 22 gives Math.pow(0,0) = 1 and 0 ** 0 = 1; CPython gives 0 ** 0 = 1 and (-8) ** (1/3) = 1 + i√3, while JavaScript's Math.pow(-8, 1/3) is NaN. Asserted in scripts/check-compute.mjs.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.