A Regra da Cadeia

Compor funções é encadear elos, e cada elo dilata uma pequena variação à sua própria taxa. Construa uma cadeia e escolha x. As retas reais guiam o intervalo ao longo do percurso, as dilatações multiplicam-se e, à medida que o intervalo encolhe, cada uma aproxima-se da derivada do respetivo elo — exceto se algum o esmagar por completo. Depois, escreva dy/dx com as suas próprias mãos.

A regra da cadeia	$\frac{d y}{d x} = \frac{d y}{d u} \cdot \frac{d u}{d x}$
Na notação de funções	$(f (g (x)))^{'} = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)$

Exemplo resolvido — A Regra da Cadeia

Valor interior	4
Saída	−0,7568
Taxa interior, em x	4
Taxa exterior, em u	−0,6536
Declive de toda a cadeia	−2,6146
O mesmo declive, só a partir de y	−2,6146
Depois, derive o elo interior em ordem a x.	2x

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — A Regra da Cadeia

Se u = g(x) e y = f(u), a taxa de variação de toda a cadeia é o produto das taxas dos elos, dy/dx = f′(g(x))·g′(x). Cada taxa é calculada no ponto em que o seu elo atua: a externa é avaliada em u = g(x), e não em x. Numa cadeia mais longa, multiplica-se mais uma taxa por cada elo.

O que significa cada símbolo

u: o valor que o elo interno transmite, u = g(x)
w: numa cadeia de três elos, o valor que o elo intermediário transmite

De onde vem a fórmula

Decomponha a variação em elos. Avance x em Δx. O elo interno move u em Δu, o externo move y em Δy e, desde que Δu não seja 0, a razão de toda a cadeia separa-se nas razões dos dois elos. Na página, isso traduz-se no estiramento das faixas a multiplicar-se.
$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{Δ y}{Δ u} \cdot \frac{Δ u}{Δ x} (Δ u \neq = 0)$
Faça Δx diminuir. Como g é contínua em x, Δu diminui com ele. A razão interna tende a g′(x) e a externa a f′ no ponto onde o elo externo atua, u = g(x). O limite de um produto é o produto dos limites.
$\frac{Δ u}{Δ x} \to g^{'} (x), \frac{Δ y}{Δ u} \to f^{'} (u) = f^{'} (g (x)) \Rightarrow \frac{d y}{d x} = f^{'} (g (x)) g^{'} (x)$
O caso que a decomposição esconde. Se Δu for 0 para algum Δx pequeno, a primeira linha divide por zero. A demonstração rigorosa atribui à razão externa o valor f′(u) sempre que Δu = 0. Com isso, o produto vale para qualquer Δx, e o seu limite é o mesmo.

Pressupõe: Cada elo tem derivada no ponto onde atua. Se algum não a tiver, como acontece com √u em 0, a regra nada diz, e a página apresenta a cadeia como indefinida nesse ponto.

Problemas resolvidos na íntegra

Potência de uma expressão linear 3 passos
Derive y = (3x + 1)⁴ e determine a inclinação em x = 0.

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1. Identifique os elos e as suas taxas. O elo interno é a parte linear; o externo é a quarta potência:
  
  $u = 3 x + 1, \frac{d u}{d x} = 3; y = u^{4}, \frac{d y}{d u} = 4 u^{3}$
2. Multiplique, começando pela taxa externa, e escreva o resultado como num exame, com a constante à frente:
  
  $\frac{d y}{d x} = 4 (3 x + 1)^{3} \cdot 3 = 12 (3 x + 1)^{3}$
3. Em x = 0, o valor interno é 1:
  
  $x = 0 : 12 \cdot 1^{3} = 12$
Resposta

dy/dx = 12(3x + 1)³, e 12 em x = 0. O 3 é o passo que toda a gente esquece: a taxa externa, por si só, daria 4(3x + 1)³, um quarto da inclinação real. A página mostra as duas taxas como 3 e 4 e o seu produto como 12.

$\frac{d y}{d x} = 12 (3 x + 1)^{3}$
Seno de um quadrado 3 passos
Derive y = sin(x²) e determine a inclinação em x = 1.

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1. Os elos e as suas taxas:
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = sin u, \frac{d y}{d u} = cos u$
2. Multiplique. O cosseno é calculado em u = x², onde o elo externo atua, e não em x:
  
  $\frac{d y}{d x} = cos (x^{2}) \cdot 2 x = 2 x cos (x^{2})$
3. Em x = 1:
  
  $x = 1 : 2 cos 1 \approx 1.0806$
Resposta

dy/dx = 2x cos(x²), e 2 cos 1 ≈ 1,0806 em x = 1. A página mostra a taxa externa aí como 0,5403, que é cos 1, porque u = x² vale 1 nesse ponto.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2})$
Onde e^(−x²) é horizontal 3 passos
Derive y = e^(−x²), determine onde a inclinação é zero e indique a inclinação em x = 1.

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1. Os elos e as suas taxas. e elevado a uma potência é a sua própria derivada:
  
  $u = - x^{2}, \frac{d u}{d x} = - 2 x; y = e^{u}, \frac{d y}{d u} = e^{u}$
2. Multiplique:
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{- x^{2}} \cdot (- 2 x) = - 2 x e^{- x^{2}}$
3. A exponencial nunca é zero, pelo que apenas o fator −2x se pode anular:
  
  $e^{- x^{2}} > 0 \Rightarrow \frac{d y}{d x} = 0 ⟺ x = 0; x = 1 : - \frac{2}{e} \approx - 0.7358$
Resposta

dy/dx = −2x e^(−x²): horizontal apenas em x = 0, e −2/e ≈ −0,7358 em x = 1. À esquerda de 0 a inclinação é positiva e à direita é negativa; logo, x = 0 é o topo da curva.

$\frac{d y}{d x} = - 2 x e^{- x^{2}}$
Logaritmo de uma soma 3 passos
Derive y = ln(x² + 1) e determine a inclinação em x = 1.

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1. Os elos e as suas taxas:
  
  $u = x^{2} + 1, \frac{d u}{d x} = 2 x; y = ln u, \frac{d y}{d u} = \frac{1}{u}$
2. Multiplique:
  
  $\frac{d y}{d x} = \frac{1}{x ^{2} + 1} \cdot 2 x = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
3. Em x = 1, o valor interno é 2:
  
  $x = 1 : \frac{2}{2} = 1$
Resposta

dy/dx = 2x/(x² + 1), e exatamente 1 em x = 1. A página mostra a taxa externa como 0,5, que é 1/u em u = 2.

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x}{x ^{2} + 1}$
Uma potência negativa 3 passos
Derive y = 1/(2x − 1)³ e determine a inclinação em x = 1.

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1. Escreva a expressão primeiro como potência; depois, os elos e as suas taxas seguem como antes:
  
  $y = (2 x - 1)^{- 3} : u = 2 x - 1, \frac{d u}{d x} = 2; y = u^{- 3}, \frac{d y}{d u} = - 3 u^{- 4}$
2. Multiplique e volte a escrever a potência negativa como fração:
  
  $\frac{d y}{d x} = - 3 (2 x - 1)^{- 4} \cdot 2 = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
3. Em x = 1, o valor interno é 1:
  
  $x = 1 : - \frac{6}{1} = - 6$
Resposta

dy/dx = −6/(2x − 1)⁴, e −6 em x = 1. Escrito como potência, um quociente de numerador constante dispensa totalmente a regra do quociente.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{6}{( 2 x - 1 ) ^{4}}$
O cubo de um seno 3 passos
Derive y = sin³x e determine a inclinação em x = π/4.

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1. Como sin³x é o cubo de sin x, a potência é o elo externo e o seno o interno:
  
  $sin^{3} x = (sin x)^{3} : u = sin x, \frac{d u}{d x} = cos x; y = u^{3}, \frac{d y}{d u} = 3 u^{2}$
2. Multiplique:
  
  $\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
3. Em π/4, tanto o seno como o cosseno valem √2/2:
  
  $x = \frac{π}{4} : 3 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} = \frac{3 2}{4} \approx 1.0607$
Resposta

dy/dx = 3 sin²x cos x, e 3√2/4 ≈ 1,0607 em x = π/4. Leia sin³x como sin(x³) e terá uma cadeia diferente, com os elos na ordem inversa.

$\frac{d y}{d x} = 3 sin^{2} x cos x$
Três elos 3 passos
Derive y = e^(sin(x²)) e determine a inclinação em x = 1.

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1. Três elos, três taxas, cada uma avaliada onde o respetivo elo atua:
  
  $u = x^{2}, \frac{d u}{d x} = 2 x; w = sin u, \frac{d w}{d u} = cos u; y = e^{w}, \frac{d y}{d w} = e^{w}$
2. Multiplique os três, começando pelo externo:
  
  $\frac{d y}{d x} = e^{s i n (x^{2})} \cdot cos (x^{2}) \cdot 2 x$
3. Em x = 1:
  
  $x = 1 : e^{s i n 1} \cdot cos 1 \cdot 2 \approx 2.3198 \cdot 0.5403 \cdot 2 \approx 2.5068$
Resposta

dy/dx = 2x cos(x²) e^(sin(x²)), aproximadamente 2,5068 em x = 1. Mais um elo é mais um fator, e o método não muda.

$\frac{d y}{d x} = 2 x cos (x^{2}) e^{s i n (x^{2})}$
Quantas vezes carregar em cos? 4 passos
Uma calculadora em radianos mostra 1 no visor, e continuamos a carregar em cos. Junto a p = 0,739085…, onde cos p = p, cada toque multiplica o erro por cos′(p) = −sin p = −0,6736. Estime quantos toques aproximam o visor a menos de 10⁻⁶ de p e teste depois a sua estimativa. Prima A partir de x = 1: três toques levam 1 a 0,6543, e o declive da cadeia de três elos é aí de −0,3273.

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1. O erro antes do primeiro toque:
  
  $e_{0} = 1 - p = 1 - 0.739085 = 0.2609$
2. n toques formam uma cadeia de n elos. Perto de p, cada elo tem a mesma taxa, pelo que a regra da cadeia multiplica n fatores iguais:
  
  $\frac{d}{d x} n cos (cos (\dots cos x))_{x = p} = (- sin p)^{n} = (- 0.6736)^{n}, ∣ e_{n} ∣ \approx 0.2609 \times 0.673 6^{n}$
3. Para que o erro desça abaixo de 10⁻⁶, aplicamos logaritmos:
  
  $0.2609 \times 0.673 6^{n} < 1 0^{- 6} ⟺ n > \frac{ln ( 0 . 2609/1 0 ^{- 6} )}{ln ( 1/0 . 6736 )} = \frac{12 . 47}{0 . 3951} = 31.57$
4. Os três toques da página testam a estimativa logo de início, quando ainda é grosseira: ela prevê −0,0797 e o visor erra por −0,0848, já que os primeiros toques acontecem longe de p.
  
  $e_{3} \approx 0.2609 \times (- 0.3057) = - 0.0797, e_{3} = 0.6543 - 0.7391 = - 0.0848$
Resposta

32 toques. A estimativa aponta para 31,57, logo 32, e a iteração confirma-o: após 31 toques o erro é 1,286×10⁻⁶ e após 32 é 8,664×10⁻⁷. O quociente entre cada erro e o anterior é −0,7619 no primeiro toque, passa a −0,5960 no segundo e estabiliza em −0,6736 à medida que os toques convergem. A página detém-se em três elos.

$n = 32 : ∣ e_{31} ∣ = 1.286 \times 1 0^{- 6}, ∣ e_{32} ∣ = 8.664 \times 1 0^{- 7}$

Um fator interior esquecido pode passar no teste num só ponto 🖖

Clique em Esqueceu o interior. A cadeia é sin(x²) em x = 2, e a resposta cos(x²) deixou de fora a taxa interior, 2x. Erra logo por um fator de 4. Agora clique em Teste num só ponto: a mesma resposta em x = 0,5, onde 2x vale exatamente 1, coincide com a inclinação real. Testar uma derivada num único ponto não prova nada se a taxa interior calhar ser 1 ali. A página testa 24 pontos e rejeita esta resposta em cada um deles.

Três aplicações de cos invertem o erro três vezes 🖖

Clique em Três vezes cos. A cadeia é cos(cos(cos x)) em 0,739085…, o único número que o cos deixa onde está. Cada elo opera no mesmo ponto e com a mesma taxa, cerca de −0,67, pelo que cada faixa sai invertida e um terço mais curta. É isso que acontece ao pressionar repetidamente cos numa calculadora: perto de 0,7391, cada toque retém cerca de dois terços do erro e inverte o sinal, fazendo o visor cair acima, depois abaixo, estreitando o cerco. O último problema resolvido conta essas pressões.

e elevado a ln x revela a derivada de ln x 🖖

Clique em e elevado a ln x. Os dois elos devolvem o que receberam, e^(ln x) = x, pelo que toda a cadeia tem inclinação 1. A regra da cadeia diz que 1 é o produto das duas taxas: a exterior, e^(ln x), que é x, vezes a taxa de ln. Logo, a taxa de ln em x tem de ser 1/x, sem que o raciocínio alguma vez precisasse de a conhecer à partida. Mova x e as duas taxas permanecem inversas.

Percurso de aprendizagem

Derivação: como se combinam as taxas

Referências (2)

The rule in both notations the page uses, h′(x) = f′(g(x))g′(x) and dy/dx = (dy/du)·(du/dx), the advice to work “from the outside in, taking one derivative at a time”, the warning that “we never evaluate a derivative at a derivative” (the page's derivOfDeriv slip), and a chain of three links (Example 3.55, cos⁴(7x² + 1)): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.6, “The Chain Rule”.
The derivative of ln x proved from the identity e^y = x, differentiated implicitly (Theorem 3.15), the argument insight block 3 makes as a chain e^(ln x) = x: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 3.9, “Derivatives of Exponential and Logarithmic Functions”.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.