Otimização: a Caixa e a Lata

No ponto em que a grandeza que pretendemos maximizar deixa de crescer, a sua taxa de variação é zero. É por isso que a derivada encontra a melhor caixa ou a lata mais económica sem termos de as testar uma a uma. Varie o corte ou o raio para observar a tangente a nivelar e examine a resolução passo a passo, incluindo o teste aos extremos do intervalo admissível.

Extremos num intervalo fechado	$[a, b] max f, [a, b] min f \in {f (a), f (b)} \cup {f (c) : f^{'} (c) = 0}$

Exemplo resolvido — Otimização: a Caixa e a Lata

Volume da sua caixa, cm³	1.936
Taxa V′(x), cm³ por cm de corte	132
Melhor corte, cm	5
Volume da melhor caixa, cm³	2.000
A sua caixa em relação à melhor	-3,2%
O maior deles é a resposta.	2.000

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Otimização: a Caixa e a Lata

Otimização com derivadas: exprima a grandeza que pretende maximizar ou minimizar em função de uma única variável no intervalo permitido pelo problema, determine onde a sua derivada se anula e compare esses valores com os obtidos nos extremos do intervalo. O máximo e o mínimo de uma função diferenciável num intervalo fechado encontram-se forçosamente entre esses candidatos.

O que significa cada símbolo

x: o lado do quadrado recortado em cada canto da folha, em cm
r: o raio da lata, em cm; a altura decorre em seguida do volume
k: quanto custa um cm² de base, medido em cm² de parede

Pressupõe: A folha é quadrada e a caixa não tem tampa. A lata é um cilindro fechado e o metal contabiliza-se exclusivamente pela área: sem costuras, sem rebordos e sem folga para a espessura da chapa.

Problemas resolvidos na íntegra

A melhor caixa a partir de um quadrado de 24 cm 3 passos
Corte quadrados iguais nos cantos de uma folha quadrada de 24 cm e dobre as abas. Qual é o corte que produz a caixa de maior volume, e quanto comporta?

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1. Escreva o volume em função do corte x. O corte não pode ultrapassar metade do lado:
  
  $V (x) = x (24 - 2 x)^{2}, 0 \leq x \leq 12$
2. Derive pela regra do produto e coloque o fator comum em evidência:
  
  $V^{'} (x) = (24 - 2 x)^{2} + x \cdot 2 (24 - 2 x) (- 2) = (24 - 2 x) (24 - 6 x)$
3. Ambas as raízes são candidatas, assim como os dois extremos do intervalo:
  
  $V^{'} (x) = 0 \Rightarrow x = 4 or x = 12, V (0) = V (12) = 0, V (4) = 4 \times 1 6^{2} = 1, 024$
Resposta

Corte 4 cm em cada canto. A caixa tem base quadrada de 16 cm, 4 cm de profundidade e comporta 1.024 cm³. O corte é um sexto do lado, como em qualquer folha quadrada. A raiz x = 12 também é candidata, mas não gera caixa alguma: os dois cortes de cada lado encontram-se e não sobra base.

$x = 4 cm, V = 1, 024 c m^{3}$
A mesma folha, com no máximo 3 cm de profundidade 3 passos
A caixa feita com a folha de 24 cm tem de caber numa prateleira, por isso só pode ter no máximo 3 cm de profundidade. Qual é agora o melhor corte, e será a derivada nula nesse ponto?

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1. O volume é a mesma função, agora num intervalo mais restrito:
  
  $V (x) = x (24 - 2 x)^{2}, 0 \leq x \leq 3$
2. Ambos os fatores de V′ permanecem positivos em todo o intervalo:
  
  $0 \leq x \leq 3 : 24 - 2 x \geq 18 > 0, 24 - 6 x \geq 6 > 0 \Rightarrow V^{'} (x) > 0$
3. Assim, o volume cresce até ao limite, e a melhor caixa fica no extremo:
  
  $V (3) = 3 \times 1 8^{2} = 972, V^{'} (3) = 18 \times 6 = 108$
Resposta

Corte 3 cm. A caixa comporta 972 cm³, e a taxa de variação aí é de 108 cm³ por cm, e não zero. Fazer V′ = 0 dá x = 4, que fica excluído. O valor máximo situa-se num dos extremos do intervalo, e só a verificação dos extremos o revela.

$x = 3 cm, V = 972 c m^{3}, V^{'} (3) = 108 \neq = 0$
A lata com o mínimo de metal 3 passos
Uma lata cilíndrica fechada deve conter 1000 cm³, e as suas bases são cortadas da mesma chapa que a parede. Que raio gasta menos metal, e qual é a altura da lata?

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1. O volume fixa a altura, pelo que o metal fica apenas em função de r:
  
  $π r^{2} h = 1000 \Rightarrow h = \frac{1000}{π r ^{2}}, M (r) = 2 π r^{2} + 2 π r h = 2 π r^{2} + \frac{2000}{r}$
2. Faz-se M′(r) = 0:
  
  $M^{'} (r) = 4 π r - \frac{2000}{r ^{2}} = 0 \Rightarrow r^{3} = \frac{500}{π} \Rightarrow r = 5.419 cm$
3. A altura e o metal. M′ é negativa antes deste raio e positiva depois dele, pelo que este é o mínimo:
  
  $h = \frac{1000}{π \times 5 . 41 9 ^{2}} = 10.84 = 2 r, M = 2 π (5.419)^{2} + \frac{2000}{5 . 419} = 553.6 c m^{2}$
Resposta

r ≈ 5,42 cm e h ≈ 10,84 cm: a lata é tão alta quanto larga e gasta 553,6 cm² de metal. A relação h = 2r é exata, não uma coincidência de arredondamento: com πr³ = 500, h = 1000/(πr²) = 2r.

$r \approx 5.42 cm, h = 2 r \approx 10.84 cm, M \approx 553.6 c m^{2}$
Bases estampadas a partir de quadrados 3 passos
A mesma lata de 1000 cm³, mas agora cada base é estampada a partir de um quadrado de lado 2r, descartando-se os cantos. Contando os quadrados inteiros, que raio gasta agora menos metal?

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1. Cada cm² de base custa agora a razão entre a área do quadrado e a do círculo, 4/π, pelo que as bases pesam mais:
  
  $k = \frac{( 2 r ) ^{2}}{π r ^{2}} = \frac{4}{π}, M (r) = 2 k π r^{2} + \frac{2000}{r} = 8 r^{2} + \frac{2000}{r}$
2. Faz-se M′(r) = 0:
  
  $M^{'} (r) = 16 r - \frac{2000}{r ^{2}} = 0 \Rightarrow r^{3} = 125 \Rightarrow r = 5 cm$
3. O metal e a altura:
  
  $M (5) = 8 \times 25 + \frac{2000}{5} = 200 + 400 = 600, h = \frac{1000}{25 π} = 12.73 cm$
Resposta

r = 5 cm, 600 cm² de metal e a lata tem 12,73 cm de altura. As bases gastam 200 cm² e a parede 400 cm² — metade, tal como em qualquer lata ótima. Bases mais caras tornam a lata ideal mais estreita e mais alta: 1,27 diâmetros, ou seja, 4/π.

$r = 5 cm, M = 600 c m^{2}, \frac{200}{400} = 0.5$
A melhor caixa a partir de uma folha A4 4 passos
Uma folha de papel A4 mede 21 cm por 29,7 cm. Corte o mesmo quadrado em cada canto, dobre as abas para cima e calcule o corte que produz a caixa de maior volume, bem como esse volume. As folhas interativas da página são quadradas. Clique em Lado menor do A4 para ver um quadrado de 21 cm, cujo melhor corte é de 3,5 cm e cuja caixa comporta 686 cm³.

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1. Com um corte de x a base mede 21 − 2x por 29,7 − 2x e a caixa tem profundidade x. Desenvolvendo o produto, para cortes até metade do lado menor:
  
  $V (x) = x (21 - 2 x) (29.7 - 2 x) = 4 x^{3} - 101.4 x^{2} + 623.7 x, 0 \leq x \leq 10.5$
2. Derive termo a termo:
  
  $V^{'} (x) = 12 x^{2} - 202.8 x + 623.7$
3. Iguale V′(x) = 0 e aplique a fórmula resolvente. O valor sob a raiz é 16 × 699,39, o que simplifica a expressão:
  
  $x = \frac{202 . 8 \mp 202 . 8 ^{2} - 4 \cdot 12 \cdot 623 . 7}{24} = \frac{50 . 7 \mp 699 . 39}{6}, x_{1} = 4.0423, x_{2} = 12.8577$
4. A segunda raiz ultrapassa 10,5 cm, onde o lado menor se esgota, pelo que não forma uma caixa real. Em ambos os extremos do intervalo o volume é 0; logo, a melhor caixa resulta da primeira raiz:
  
  $V (4.0423) = 4.0423 \times 12.9153 \times 21.6153 = 1, 128.5$
Resposta

Corte 4,04 cm em cada canto: a caixa mede 12,92 cm por 21,62 cm e tem 4,04 cm de profundidade, comportando cerca de 1.128,5 cm³ — um pouco mais de um litro. O corte situa-se entre um sexto do lado menor, 3,5 cm, e um sexto do lado maior, 4,95 cm, sem coincidir com nenhum deles. Para uma folha de dimensões a por b, o melhor corte é dado por (a + b − √(a² − ab + b²))/6. Numa folha quadrada a raiz reduz-se simplesmente a a, e a fórmula simplifica-se para a expressão L/6 desta página.

$x \approx 4.04, V \approx 1, 128.5$

Errar o melhor corte por um quinto custa cerca de 3% do volume 🖖

No corte ideal, a taxa V′ é zero, pelo que errar por pouco custa quase nada. Clique em Melhor caixa e depois em Corte de 4 cm: um corte 20% mais raso perde 3,2% do volume, e a tabela mostra que um corte 20% mais fundo perde 2,8%. Numa folha quadrada qualquer, errar por uma fração δ faz perder δ²(3 − δ)/4 do volume. O quadrado está ali porque a curva é horizontal no topo, e o −δ explica por que cortar fundo demais custa um pouco menos do que cortar raso demais.

O limite de profundidade empurra a melhor caixa para a fronteira, onde o declive não é zero 🖖

Clique em Profundidade até 4 cm. Agora só são permitidos cortes até 4 cm, e a faixa cinzenta cobre o resto. A condição V′ = 0 continua a apontar para 5 cm, valor agora excluído. Em todo o intervalo permitido, V′ é positivo, pelo que o volume cresce até ao limite: a melhor caixa é a de 4 cm, e a taxa aí ainda é 132. V′ = 0 encontra onde a curva é horizontal, mas o ponto ótimo no extremo do intervalo permitido não tem de ser horizontal. É por isso que os passos também verificam os extremos do intervalo. Numa folha de 30 cm, qualquer limite abaixo de 5 cm restringe a solução desta forma, e qualquer limite de 5 cm ou mais nada altera.

Na lata com menos metal, as bases custam metade da parede 🖖

Alargue um pouco a lata e as bases crescem enquanto a parede encolhe. O raio ideal é aquele em que as duas taxas se equilibram, 4kπr = 2V/r²; multiplicando por r/2, obtemos 2kπr² = V/r: as bases custam exatamente metade dos 2V/r da parede. Clique em Tampas de quadrados, onde cada tampa é estampada a partir de um quadrado e os cantos são desperdício, e o cartão continua a marcar 0,5. É assim para qualquer volume e qualquer preço do metal das bases. O preço altera antes a forma: a melhor lata tem k diâmetros de altura — tão alta quanto larga quando as bases usam o metal da parede, e 1,27 diâmetros com tampas estampadas a partir de quadrados. Errar a forma custa pouco, pelo mesmo motivo que na caixa: a Lata alta tem 1,5 diâmetros e gasta apenas mais 1,75% de metal.

Percurso de aprendizagem

Derivação: como se combinam as taxas

Referências (2)

The method in the definition and in the step-through (evaluate at the endpoints, find the critical points inside the interval, compare all the values: “the absolute extrema must occur at endpoints or critical points”), the Extreme Value Theorem (Theorem 4.1) and Fermat's theorem (Theorem 4.2) behind it: G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.3, “Maxima and Minima”.
The open box worked on a rectangular sheet, 24 in. by 36 in., whose best cut is x = 10 − 2√7 ≈ 4.7 in. for about 1,825 in³ (Example 4.33, the same calculation as the page's A4 worked problem), and the applied-problem strategy's step that sets the domain from the physical problem before looking for the extremum (Step 5) and the remark that locating it “typically involves looking for critical points and evaluating a function at endpoints” (Step 6): G. Strang and E. Herman, Calculus Volume 1, OpenStax (2016), section 4.7, “Applied Optimization Problems”.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.