Princípio de Fermat: o problema do salva-vidas

Coloque um salva-vidas na areia e um banhista na água, defina a velocidade a que o salva-vidas corre e nada e escolha onde entrar na água. Três corredores partem ao mesmo tempo: o seu percurso, a linha reta e a trajetória mais rápida que a página consegue encontrar. Arraste o ponto laranja ao longo da margem e observe como o tempo muda, e quão pouco varia perto do mínimo.

Exemplo resolvido — Princípio de Fermat: o problema do salva-vidas

O seu percurso: correr e nadar	22,90 s
Ponto de entrada mais rápido	36,18 m
Tempo mais rápido	19,48 s
Custo da sua entrada	3,417 s
Estimativa na base plana	4,242 s
Reta de salva-vidas a banhista	22,90 s
Linha reta, mais lenta em	17,54%
Comprimento da reta e rápida	56,57 m e 61,70 m

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Princípio de Fermat: o problema do salva-vidas

Princípio de Fermat: a luz viaja entre dois pontos ao longo de um percurso cujo tempo de viagem é estacionário, o que significa que uma pequena variação na trajetória não causa alterações de primeira ordem no tempo. Para um salva-vidas que corre a v₁ e nada a v₂, o tempo total passando pelo ponto de entrada x é T(x) = √(x² + a²)/v₁ + √((L − x)² + b²)/v₂, e o seu mínimo ocorre onde sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂, sendo os ângulos medidos a partir da reta perpendicular à margem da água. No caso da luz, v = c/n transforma esta equação na lei de Snell, n₁ sin θ₁ = n₂ sin θ₂.

O que significa cada símbolo

x: onde o percurso cruza a margem da água
v_1: velocidade na areia
v_2: velocidade na água
θ: ângulo entre um segmento da trajetória e a perpendicular à margem
T″: a segunda derivada do tempo no ponto ideal; um erro de Δ custa cerca de ½T″Δ²

Pressupõe: Corridas a direito com velocidade constante de ambos os lados de uma margem bem definida, sem tempo perdido a virar ou a entrar na água, e um banhista que não se mexe. Pennings enumera as mesmas suposições para Elvis e acrescenta que as ondas esbatem a margem e que um corgi corre um pouco pela água adentro antes de começar a nadar.

O percurso mais curto é o mais lento, e a alternativa óbvia é quase perfeita 🖖

Prima Direto ao banhista. A linha reta tem 56,57 m de comprimento e demora 22,90 s, pois metade é nadada a 1,5 m/s. A trajetória mais rápida é 5,13 m mais longa e leva 19,48 s: percorre 41,34 m na areia e apenas 20,36 m na água. Agora prima Nadar o mínimo possível. Correr até ao ponto mais próximo do banhista e nadar a direito leva 19,72 s, ficando 0,242 s atrás do percurso ideal, e é uma regra que qualquer pessoa pode seguir sem cálculos. Funciona neste caso porque este salva-vidas corre 4,7 vezes mais rápido do que nada; igualar as duas velocidades faz com que a mesma regra perca 5,435 s para a linha reta.

Perto do ponto ideal, o tempo quase não muda 🖖

Arraste o ponto laranja e observe o segundo painel. O seu fundo é plano: entrar 1 m aquém do ponto ideal custa 16,1 ms, 2 m custam 63,6 ms e 10 m custam 1,43 s; ao ultrapassá-lo, 16,3 ms e 1,67 s. Dez vezes o erro, entre 89 e 102 vezes o custo, porque o tempo cresce com o quadrado do desvio e não tem termo no desvio em si. A parábola tracejada, ½T″Δ², representa esse quadrado e repousa sobre a curva real perto do fundo. É nesta forma que os físicos enunciam o princípio de Fermat: a luz segue o percurso no qual uma pequena perturbação não produz alteração de primeira ordem no tempo de viagem. O melhor ponto de entrada situa-se onde o declive dT/dx é nulo, o que resulta em sin θ₁ / v₁ = sin θ₂ / v₂. A tabela de resultados mostra sin θ₁ / sin θ₂ e v₁ / v₂ a coincidir até à quarta casa decimal. Com as velocidades convertidas em índices de refração, reconhecemos a Lei de Snell.

Um corgi no lago Michigan, medido 🖖

Em 2003, o matemático Tim Pennings cronometrou o seu corgi galês, Elvis, a correr a 6,40 m/s e a nadar a 0,910 m/s. Durante três horas a atirar uma bola para o Lago Michigan, registou 35 recuperações, anotando sempre onde Elvis entrava na água. Começando na beira da água, o ponto de entrada mais rápido fica 0,144 vezes a distância da bola à margem aquém do ponto diretamente oposto à bola, desde que a bola esteja pelo menos a essa distância ao longo da praia. O terceiro painel contrasta as suas 35 recuperações com essa reta. Destas, 23 situam-se acima da linha, indicando que o cão tendia a entrar um pouco cedo, e a reta ajustada a esses pontos tem um declive de 0,171. Quatro estão bastante acima, os pontos que Pennings diz que alguns leitores considerariam atípicos. Olhe depois para a faixa sombreada, todos os pontos de entrada com custo inferior a um décimo de segundo: todos os 35 estão lá dentro. Numa corrida de 15 m, o seu pior lançamento custou-lhe 94,4 ms e a mediana ficou-se pelos 5,7 ms. A conclusão do próprio Pennings foi que Elvis não sabe cálculo. E nem precisava de saber, porque o fundo da curva é plano.

Problema resolvido na íntegra

Uma praia com uma faixa de areia fofa 5 passos
O salva-vidas da primeira configuração tem agora 10 m de areia seca e fofa para atravessar, onde corre a apenas 4 m/s, antes de 10 m de areia firme a 7 m/s e finalmente a água. O banhista continua a 20 m de distância para o largo e 40 m ao longo da praia, e a velocidade de nado mantém-se em 1,5 m/s. Qual é o tempo mais rápido agora, e quanto custa percorrer o antigo trajeto nesta nova praia? Prima Direto ao banhista para verificar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. Sem a faixa de areia fofa, a página encontra o melhor ponto de entrada e o melhor tempo:
  
  $x^{*} = 36.18 m, T^{*} = \frac{41 . 34}{7} + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 19.48 s$
2. Com três faixas, o percurso mais rápido dobra em ambas as fronteiras, e a condição de inclinação torna-se um único número partilhado por todas, c = sin θ / v. Cada faixa de profundidade h é atravessada lateralmente em h tan θ, e as três travessias têm de somar os 40 m ao longo da praia. Resolvendo em ordem a c:
  
  $i \sum h_{i} tan θ_{i} = 10 tan θ_{s} + 10 tan θ_{f} + 20 tan θ_{w} = 40, sin θ_{i} = c v_{i} \Rightarrow c = 0.13526 s/m$
3. Isso fornece o ângulo em cada faixa, medido a partir da perpendicular às fronteiras:
  
  $θ_{s} = arcsin (4 c) = 32.7 5^{\circ}, θ_{f} = arcsin (7 c) = 71.2 3^{\circ}, θ_{w} = arcsin (1.5 c) = 11.7 1^{\circ}$
4. Cada segmento tem h / cos θ de comprimento, e o seu tempo é a distância a dividir pela velocidade:
  
  $T = \frac{11 . 89}{4} + \frac{31 . 08}{7} + \frac{20 . 425}{1 . 5} = 2.97 + 4.44 + 13.62 = 21.03 s$
5. A antiga trajetória, passando pelo velho ponto de entrada aos 36,18 m com uma corrida reta por ambos os tipos de areia, passa metade do trajeto na faixa fofa:
  
  $T_{0} = \frac{41 . 34}{2} (\frac{1}{4} + \frac{1}{7}) + \frac{20 . 36}{1 . 5} = 21.69 s$
Resposta

O percurso mais rápido demora 21,03 s. Atravessa a areia fofa de forma íngreme, a 32,75° em relação à linha perpendicular, percorre grande parte da distância na areia firme a 71,23°, e entra na água aos 35,86 m. O percurso antigo leva 21,69 s na nova praia, pelo que ignorar a faixa fofa custa 0,67 s, um valor bastante superior aos 16 ms que um erro de um metro custava na praia original. A linha reta demora agora 24,41 s. A regra em ação é a mesma a que a luz obedece ao atravessar camadas de vidro: sin θ / v é idêntico em todas as camadas.

$T^{*} = 21.03 s, x^{*} = 40 - 4.14 = 35.86 m; T_{0} - T^{*} = 0.67 s; T_{s} = 24.41 s$

Percurso de aprendizagem

Tempo mínimo, ação mínima

Referências (2)

Elvis the corgi: his running and swimming speeds, the optimal entry point y = x/√((r/s)² − 1) that does not depend on the distance along the beach, and the 35 measured retrieves this page plots: T. J. Pennings, "Do Dogs Know Calculus?", The College Mathematics Journal 34(3), 178–182 (2003).
Fermat's principle in its modern form, that a small change in the path makes no first-order change in the time; the lifeguard as Feynman's illustration of it; and why the stationary path is the one the light takes, from the phases of neighbouring paths: M. Fowler, "Fermat's Principle of Least Time", lecture 3 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.