O Princípio da Menor Ação

Pressione Bola lançada a 20 m. A ação é a energia cinética menos a energia potencial, somadas ao longo do voo: 67,9432 J·s para o arco real. A linha reta entre as mesmas duas extremidades, mantendo-se sempre nivelada, marca 100,0000 J·s, um valor superior. Pressione A mesma, 1 m acima: subir mais alto acrescenta 12,4862 J·s à parte da energia potencial, ∫V dt, mas mover-se rápido o suficiente para ir e voltar em 2 s acrescenta 13,7199 J·s à parte cinética, ∫K dt, e a ação, a diferença entre as duas, aumenta em 1,2337 J·s. Defina o desvio para −1 e a ação volta a ser 69,1769 J·s, subindo a mesma quantia. Nada nesta alteração é de primeira ordem: o aumento corresponde exatamente a 1,2337 vezes o quadrado do desvio. O arco real encontra-se assim no fundo de um vale, tal como o ponto de travessia do nadador-salvador. Os físicos chamam a isto o princípio de Hamilton, e na gravidade uniforme este vale nunca se inverte: a tabela mostra todos os desvios a aumentar a ação, para um lançamento de qualquer duração.

Mude para a mola e pressione Mola 1,5 s, um arco. O período da mola é de 2 s, logo o movimento estende-se para além de meio período. Agora o desvio com um arco reduz a ação: com um desvio de 0,2 m, cai de 0,0000 para −0,0822 J·s, e c₁ é −2,0562. Pressione Mola 1,5 s, dois arcos e, em vez disso, a ação sobe para 0,1151 J·s. O movimento real é menor do que certas trajetórias vizinhas e maior do que outras: um ponto de sela, com a mesma forma da miragem no asfalto quente. Até a linha reta entre as mesmas extremidades marca −2,1341 J·s, muito abaixo do movimento real. O motivo reside na força de atração para o centro: um desvio com n arcos custa (mT/4)((nπ/T)² − ω²), e assim que T ultrapassa meio período, π/T desce abaixo de ω e o primeiro desvio inverte-se. O artigo de Gray e Taylor sobre este tema intitula-se, e com justiça, "When action is not least" (Quando a ação não é a menor); eles mostram que a ação é um mínimo para movimentos suficientemente curtos, mas nunca um verdadeiro máximo. O princípio que se mantém verdadeiro para todas as durações é o de que a ação é estacionária.

Pressione Mola por meio período. A massa vai desde a posição de 1 m até 1 m no lado oposto em exatamente 1 s. Desvie a trajetória 0,2 m com um arco e a ação não se altera minimamente, marcando 0,0000 J·s. O mesmo acontece com um desvio de qualquer tamanho: a parábola no segundo painel fica completamente plana. O movimento desviado não é uma aproximação de um movimento real. É, de facto, um movimento real: uma massa nesta mola, largada a 1 m com um empurrão, atinge −1 m ao fim de meio período, independentemente da intensidade desse empurrão, pois o período não depende da amplitude. Todos esses movimentos unem as mesmas duas extremidades no mesmo tempo e com a mesma ação. Gray e Taylor chamam à segunda extremidade o foco cinético da primeira. Para além deste ponto, como mostraram as predefinições de 1,5 s, a ação torna-se um ponto de sela.