Braquistócrona: a descida mais rápida

Escolha a distância horizontal e a profundidade da chegada, e arraste o ponto laranja para desenhar a sua própria rampa. Quatro contas são soltas em simultâneo, na rampa reta, no arco circular de Galileu, na cicloide e na sua curva, sem qualquer atrito. Observe qual delas chega primeiro e descubra abaixo o motivo.

Exemplo resolvido — Braquistócrona: a descida mais rápida

Rampa reta: tempo	0,6387 s
Raio do círculo gerador da cicloide	0,5729 m
Cicloide: tempo	0,5830 s
A sua curva: tempo	0,5847 s
Rampa, mais lenta que a cicloide em	9,55%
Ao longo da cicloide, sin θ / v é sempre	0,2109 s/m
Velocidade na chegada, em todas as curvas	4,429 m/s

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Braquistócrona: a descida mais rápida

A braquistócrona (do grego, tempo mais curto) é a curva ao longo da qual uma conta, deslizando sem atrito a partir do repouso por ação da gravidade, viaja de um ponto a outro mais baixo no menor tempo possível. É a cicloide x = R(φ − sin φ), y = R(1 − cos φ) (com y medido para baixo), a trajetória de um ponto na periferia de um círculo de raio R que roda ao longo da linha de partida, e ajustado para passar pela chegada. O seu tempo é φ_B √(R/g), e ao longo da mesma sin θ / v = 1/(2√(gR)).

O que significa cada símbolo

φ: rotação do círculo gerador, em radianos; φ_B na chegada
R: raio do círculo gerador
θ: ângulo da encosta face à vertical
v: velocidade da conta, √(2gy) à profundidade y em qualquer pista sem atrito

A pista mais longa ganha 🖖

Prima 1 m ao lado, 1 m abaixo e observe as quatro contas. A rampa reta é a pista mais curta com 1,414 m, mas chega em último lugar aos 0,6387 s. A cicloide tem mais 0,060 m e chega primeiro aos 0,5830 s, dado que sofre uma queda acentuada no início e a conta passa o resto da viagem a grande velocidade. Todas as contas chegam com a mesma velocidade de 4,429 m/s, o valor gerado por uma queda de 1 m em qualquer pista sem atrito; a forma decide apenas o tempo que demoram. Johann Bernoulli lançou o desafio em junho de 1696: a linha reta é a de menor distância, "mas não é a que se percorre em menos tempo". Galileu já demonstrara em 1638 que um arco circular supera a corda reta, e suspeitava que o círculo pudesse ser a resposta. O seu quarto de círculo derrota a rampa aqui, mas não a cicloide: 0,5921 s, 1,56% atrás. Repare na sua curva laranja: esta segue a cicloide apenas de forma aproximada e fica 0,29% atrás. Na vizinhança da melhor trajetória o tempo quase não muda, tal como acontecia com o nadador-salvador.

A uma distância suficiente, o caminho mais rápido desce abaixo da chegada 🖖

Prima 4 m ao lado, 1 m abaixo. A cicloide que atinge a chegada mergulha agora 0,504 m abaixo desta antes de voltar a subir, e ainda assim ganha: 1,2117 s, contra 1,8620 s para a rampa e 1,4847 s para o arco de Galileu. Descer mais do que o necessário parece um desperdício. No entanto, a profundidade compra velocidade para a longa travessia horizontal, e subir o último meio metro custa menos tempo do que avançar com lentidão por uma encosta suave. A cicloide sofre esta depressão sempre que a chegada se encontre a uma distância horizontal que supere a profundidade num fator de π/2 = 1,5708, pois só então é que o círculo gerador rodou mais de meia volta. Aos 10 m ao lado, 1 m abaixo, desce 2,312 m abaixo da chegada e a rampa demora mais 115,71% do tempo. Sussmann e Willems notam que o próprio argumento de Bernoulli de 1697 possui uma lacuna exatamente aqui, no fundo da depressão, que seria colmatada mais tarde pela teoria do controlo ótimo.

A conta obedece à lei de Snell 🖖

A solução de Bernoulli, publicada em maio de 1697, não tratou a conta como uma conta física. A velocidade à profundidade y é de √(2gy) em qualquer trajetória. Ele imaginou então a luz a atravessar um meio fatiado em finas camadas onde a velocidade cresce com a profundidade exatamente dessa forma. A luz que cruza as camadas mantém sin θ / v igual em todas elas, a lei de Snell com velocidades, e o caminho de menor tempo da luz é o caminho de menor tempo da conta. O segundo painel verifica isto diretamente na conta: ao longo da cicloide sin θ / v mantém-se nos 0,211 s/m de cima a baixo. Em contrapartida, na rampa reta, cujo ângulo nunca se altera, o valor desce de 0,505 s/m a um décimo da descida para 0,168 s/m aos nove décimos, à medida que a conta acelera. A regra que atirou o nadador-salvador para a água aos 36,18 m é a mesma regra que desenha a cicloide.

Problema resolvido na íntegra

Coloque a chegada à profundidade que desejar 4 passos
A chegada encontra-se a 4 m ao lado, mas pode colocá-la a qualquer profundidade. Quão fundo deve estar para a conta percorrer os 4 m na horizontal no menor tempo possível, e quão mais rápido é isso face à chegada a 1 m de profundidade? Prima 4 m ao lado, 1 m abaixo para confirmar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. Com a chegada 1 m abaixo, a página apresenta o tempo da cicloide:
  
  $H = 1 m : T = φ_{B} R / g = 1.2117 s$
2. Se a profundidade for livre, a melhor chegada fica onde a própria cicloide se nivela, no fundo do arco, para que a conta cruze a linha movendo-se exatamente na horizontal. Isto corresponde a meia volta do círculo gerador:
  
  $\frac{d y}{d x}_{B} = 0 \Rightarrow φ_{B} = π$
3. Meia volta faz o círculo avançar πR, pelo que R se deduz dos 4 m, sendo a queda total igual ao diâmetro do círculo:
  
  $π R = 4 \Rightarrow R = \frac{4}{π} = 1.2732 m, H = 2 R = 2.5465 m$
4. e o tempo corresponde a φ_B √(R/g):
  
  $T = π \frac{1 . 2732}{9 . 80665} = \frac{4 π}{9 . 80665} = 1.1320 s$
Resposta

Coloque a chegada a 2,5465 m de profundidade, ou seja, 1,5465 m mais funda do que antes. A conta percorre os 4 m em 1,1320 s, poupando 0,0797 s em relação aos 1,2117 s de uma chegada 1 m abaixo. Digite 2,5465 no campo da profundidade e a página confirma: φ_B é 180,00° e a cicloide demora 1,1320 s. Os apontamentos de Fowler chegam à mesma forma genérica: a curva mais rápida para uma dada distância horizontal é a meia cicloide que chega nivelada, resolvendo-se o seu tempo para √(πL/g).

$H = 2.5465 m, T = 1.1320 s, 1.2117 - 1.1320 = 0.0797 s$

Percurso de aprendizagem

Tempo mínimo, ação mínima

Referências (2)

The history and the mathematics: Bernoulli's challenge of June 1696 and its wording, Galileo's circular arc of 1638, the solutions of 1697, Bernoulli's own solution by Snell's law in thin layers, and the gap in it where the cycloid dips below the finish: H. J. Sussmann and J. C. Willems, "300 years of optimal control: from the brachystochrone to the maximum principle", IEEE Control Systems 17(3), 32–44 (1997).
The brachistochrone derived by the calculus of variations, and the fastest curve to a given horizontal distance when the drop is free, a half-cycloid that arrives level: M. Fowler, "The Calculus of Variations", lecture 2 of the lecture notes for Graduate Classical Mechanics (Physics 7010), University of Virginia.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.