Miragens: A luz desviada por ar quente e frio

Defina a temperatura do ar, quão quente ou frio o chão está, como o ar aquece ou arrefece acima dele, a altura do seu olho e um poste listrado a uma certa distância. A página traça as linhas de visão através do ar, mostra-as de perfil e ilustra o que o seu olho veria: o poste, o céu, a estrada e o céu deitado sobre a estrada.

Exemplo resolvido — Miragens: A luz desviada por ar quente e frio

Temperatura do ar no solo e ao nível do olho	50,0 °C e 30,0 °C
O raio de miragem é mais comprido em	4,80 mm

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Miragens: A luz desviada por ar quente e frio

Uma miragem é uma imagem formada por luz que curvou ao atravessar ar cujo índice de refração varia com a altitude. Ao longo de um raio em camadas horizontais, n cos θ mantém-se constante (com θ acima da horizontal; numa Terra curva, usa-se m = n + z/R em vez de n). Deste modo, uma linha de visão que parte do olho com uma depressão α curva para cima antes de atingir o solo sempre que m(H) cos α > m(0). Onde m atinge o seu valor mínimo junto ao solo, como sobre uma estrada mais quente do que o ar, o ângulo rasante α_c = arccos(m(0)/m(H)) ≈ √(2Δm), sendo Δm = m(H) − m(0), separa as linhas de visão que encontram a superfície daquelas que curvam para cima antes de a alcançar. O olho extrapola o percurso em linha reta. Coloca assim o início da miragem em H / tan α_c.

O que significa cada símbolo

n: índice de refração do ar; n − 1 = 7,86×10⁻⁴ p/(273 + t) para ar seco, com p em kPa e t em °C
α_c: o ângulo da linha de visão rasante abaixo da horizontal
m: o índice com a curvatura da Terra incorporada, n + z/R
k: quão rápido um raio horizontal curva, como fração da curvatura da Terra
γ: quão rápido o ar aquece com a altitude, em K por metro; negativo quando arrefece

Pressupõe: Ar seco, camadas horizontalmente uniformes e a fórmula simples do NIST para o índice de refração, que o NIST atesta para a gama de 0 a 35 °C. Acima disso, na superfície de uma estrada, a página usa o seu termo de ar seco, que é a densidade de um gás ideal, sem essa garantia. Uma camada superficial quente real é turbulenta, razão pela qual uma miragem real tremeluz.

A poça tem uma borda e viaja consigo 🖖

Prima Estrada quente de carro. Com o ar a 30 °C sobre uma estrada a 50 °C, o índice de refração no seu olho é 1,62×10⁻⁵ mais alto do que na superfície da estrada. O ar quente é mais rarefeito, permitindo que a luz viaje ligeiramente mais rápido. Uma linha de visão que saia do seu olho suficientemente rasa é curvada para cima por essa diferença antes de atingir a estrada, regressando do céu. A mais inclinada que o consegue fazer rasanteia a estrada a 0,3284° abaixo da horizontal; qualquer inclinação maior embate no asfalto. O seu olho assume que a luz viaja em linha reta, colocando essa direção rasante na estrada 209,3 m à frente, pelo que tudo o que se encontra além disso parece ser o céu deitado sobre a estrada: água. As páginas de Andrew T. Young sobre miragens, ao descreverem uma fotografia de uma miragem no deserto, afirmam o mesmo. A miragem começa numa fronteira nítida onde a linha de visão encontra o solo no ângulo crítico. Nada nessa frase depende da sua posição, pelo que a borda acompanha o seu movimento. Prima Reproduzir e observe o poste a aproximar-se. A sua imagem invertida encolhe e desaparece assim que o poste fica a menos de 235,3 m, onde o raio rasante efetivamente curva, enquanto a borda se mantém 209,3 m à frente.

A luz da miragem segue o caminho mais lento e nem sequer um localmente mais rápido 🖖

Dois raios vindos do olho atingem o ponto a 1,00 m de altura no poste. O direto, quase reto, e o raio de miragem, que desce até 35,7 mm acima da estrada e volta a subir. Ambos são os raios que o princípio de Fermat permite, trajetos onde uma pequena alteração não produz uma alteração de primeira ordem no tempo de viagem. O raio de miragem, no entanto, é 4,80 mm mais longo e, embora passe parte do caminho em ar mais rápido, chega 12,57 ps mais tarde. A tabela de resultados vai um passo além. Dobre o raio de miragem 1,2 cm para cima ou para baixo no meio, mantendo as extremidades fixas. O seu caminho ótico encurta em ambas as direções, em 5,17 µm e em 5,53 µm, enquanto uma dobra com duas corcovas o torna mais longo. Ele encontra-se num ponto de sela, não num mínimo. O raio direto torna-se mais longo para qualquer lado que seja dobrado. A imagem invertida é transportada por luz cujo trajeto é estacionário sem ser mínimo, e o mesmo sucede com a ação de um corpo em movimento, como a página da menor ação demonstra.

O ar quente sobre um mar frio curva a luz em torno da Terra 🖖

Normalmente o ar torna-se mais rarefeito em altitude sobretudo porque a pressão cai, e um raio horizontal curva para baixo a cerca de um quinto da curvatura da Terra. A predefinição Mar gelado, ar normal dá 0,219, logo a partir dos 14 m o horizonte fica a 15,11 km de distância em vez dos 13,36 km das linhas retas. Aquecer o ar com a altura faz o raio curvar mais acentuadamente. Num ar a −20 °C, um aquecimento de 0,0921 K por metro faz um raio horizontal curvar exatamente como a Terra. A página precisa de 0,1129 a 0 °C e 0,1295 a 15 °C, em consonância com os 0,114 °C por metro que Young cita de Alfred Wegener. Prima Mar gelado, ar quente. A 0,15 K por metro o raio curva 1,435 vezes mais rápido que a Terra, e uma falésia de 30 m a 50 km de distância, que há instantes se encontrava abaixo do horizonte, surge direita alguns minutos de arco acima da horizontal. A tripulação de Barents, a passar o inverno em Nova Zembla, viu o Sol a 24 de janeiro de 1597 quando o seu centro estava, de acordo com a reconstrução de van der Werf e colegas, ainda 5° 26′ abaixo do horizonte, duas semanas antes do previsto.

Problema resolvido na íntegra

Quão quente deve estar a estrada para a poça começar 100 m à frente? 4 passos
O olho de um condutor está 1,2 m acima da estrada e o ar a 30 °C. A página coloca a poça 209,3 m à frente numa estrada a 50 °C. Quão quente teria de estar a superfície da estrada para a poça começar a apenas 100 m de distância? Prima Estrada quente de carro para confirmar o primeiro passo.

Abrir este problema na ferramenta
1. Da página, no estado inicial:
  
  $α_{c} = 0.328 4^{\circ}, \frac{H}{tan α _{c}} = \frac{1 . 2}{tan 0 . 328 4 ^{\circ}} = 209.3 m$
2. Inverta o problema. Para a borda estar 100 m à frente, a linha de visão rasante tem de sair do olho a
  
  $α = arctan \frac{1 . 2}{100} = 0.687 5^{\circ}$
3. Essa linha de visão rasanteia a estrada, pelo que o índice de refração na superfície da estrada deve satisfazer m(0) = m(H) cos α. No olho, em ar a 30 °C, m(H) = 1,000263003:
  
  $m (0) = m (H) cos α = 1.000263003 \times 0.999928008 \Rightarrow n_{0} - 1 = 1.9099 \times 1 0^{- 4}$
4. Resolva a fórmula do NIST para a temperatura que produz essa refratividade, com a pressão na estrada:
  
  $t_{0} = \frac{7 . 86 \times 1 0 ^{- 4} \times 101 . 325}{1 . 9099 \times 1 0 ^{- 4}} - 273 = 144.0^{\circ} C$
Resposta

Cerca de 144 °C. Construir uma estrada a 144 °C no ar da página coloca a borda novamente aos 100,0 m. Esse valor é mais quente que água a ferver e está muito fora do intervalo de temperaturas que o NIST garante para a sua fórmula. A borda aproxima-se lentamente. São 290,1 m para uma estrada 10 °C acima da temperatura do ar, 209,3 m para 20 °C e 152,9 m para 40 °C. A poça mantém-se muito à frente porque o Δn é minúsculo: 1,62×10⁻⁵ para uma estrada 20 °C acima do ar.

$t_{0} \approx 144^{\circ} C, n_{H} - n_{0} = 7.18 \times 1 0^{- 5} (50^{\circ} C : 1.62 \times 1 0^{- 5})$

Percurso de aprendizagem

Tempo mínimo, ação mínima

Referências (3)

The refractive index of air: the Ciddor and Edlén equations and, in Appendix B, the shop-floor formula this page uses with the humidity term at zero, with the range of temperatures it is stated for: J. A. Stone and J. H. Zimmerman, "Index of Refraction of Air", Engineering Metrology Toolbox, National Institute of Standards and Technology, Appendix B "Simple Shop-floor Formula for Refractive Index of Air".
How mirages form: the hot-road mirage starting at the line of sight that meets the ground at the critical angle; why rays curve; the gradient at which a level ray follows the Earth; and ducts: A. T. Young, "An Introduction to Mirages" and "Calculating Ray Bending", web pages in the series "Mirages and Green Flashes", San Diego State University.
The Novaya Zemlya effect on Barents' third voyage: the Sun seen on 24 January 1597 while its centre was 5° 26′ below the horizon, reconstructed by ray tracing through a temperature inversion: S. Y. van der Werf, G. P. Können, W. H. Lehn, F. Steenhuisen and W. P. S. Davidson, "Gerrit de Veer's true and perfect description of the Novaya Zemlya effect, 24–27 January 1597", Applied Optics 42(3), 379–389 (2003).

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.