Traçador de Raios em Lente Fina

Ajuste a distância focal e a distância do objeto para ver como uma lente fina forma imagens reais ou virtuais.

Exemplo resolvido — Traçador de Raios em Lente Fina

Distância da imagem	166.7 mm
Ampliação	-0.67×
Altura da imagem	26.7 mm

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Objeto e imagem podem trocar de lugar 🖖

A equação da lente delgada 1/v = 1/f − 1/u é simétrica em u e v, e esta ferramenta mostra isso. Carregue o exemplo convergente — f = 100 mm, objeto a 250 mm — e a distância da imagem marca 166,7 mm com −0,67×. Agora digite 166,7 no campo da distância do objeto: a imagem vai para 250 mm com −1,50×. Os dois aumentos multiplicados dão exatamente 1. Toda lente tem, portanto, duas posições do objeto que focalizam na mesma tela, uma ampliando e outra reduzindo, e a distância entre elas fornece f sem nunca precisar localizar o centro da lente — o clássico método de deslocamento de Bessel.

Dois raios já bastam 🖖

Uma lente delgada desvia todos os raios que saem de um ponto do objeto para que voltem a convergir em um único ponto imagem, então basta acompanhar dois raios fáceis. O raio paralelo sai da ponta na horizontal e depois passa pelo foco; o raio central atravessa o centro da lente sem se desviar. Onde os dois se cruzam está a imagem. Se só coincidem ao prolongá-los para trás, a imagem é virtual — o caso da lupa.

A imagem que voa pelo infinito 🖖

Aproxime o objeto do foco e veja a distância da imagem v disparar para +∞, sumir e reaparecer à esquerda como −∞: uma imagem virtual. Nada se teletransporta; a equação das lentes 1/v = 1/f − 1/u é uma transformação de Möbius (linear fracionária), e essas transformações tratam o infinito como um ponto comum. Ao cruzar u = f, a imagem simplesmente passa suavemente por esse ponto no infinito e muda de real para virtual.

Problemas resolvidos na íntegra

Um objeto de 40 mm a 250 mm à frente de uma lente convergente 5 passos
Um objeto de 40 mm encontra-se a 250 mm à frente de uma lente convergente de distância focal 100 mm. Determine a imagem — onde se forma, qual o seu tamanho, qual a sua orientação — e, em seguida, encontre a única coisa que esta lente não consegue fazer.
1. Uma única equação rege toda a página. Isole a distância da imagem antes de introduzir quaisquer números, para que a aritmética seja feita apenas uma vez.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}}$
2. Substitua. Ambos os inversos partilham o denominador 250, que é a totalidade do cálculo; a ferramenta apresenta este valor.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{100} - \frac{1}{250} = \frac{2.5 - 1}{250} = \frac{1.5}{250} ⟹ d_{i} = 166.7 mm$
3. A ampliação é a razão entre as duas distâncias, negativa porque uma imagem real é invertida. O objeto está para lá de 2f, pelo que a imagem teria de resultar menor — isso é o projetor a funcionar ao contrário.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{166.7}{250} = - 0.67, h^{'} = m h = - 0.67 \times 40 = - 26.7 mm$
4. A forma de Newton da mesma lei mede ambas as distâncias a partir dos pontos focais em vez de a partir da lente. O seu produto é exatamente f², para qualquer posição do objeto, o que é uma afirmação mais forte do que a forma inversa parece capaz de fazer.
  
  $x = d_{o} - f = 150, x^{'} = d_{i} - f = 66.7, x x^{'} = 150 \times 66.7 = 10000 = f^{2}$
5. Agora pergunte quão próximos o objeto e a imagem podem estar. Minimizar a sua separação resulta numa disposição simétrica, e a resposta não depende de nada a não ser da lente.
  
  $D = d_{o} + d_{i}, \frac{d D}{d d _{o}} = 0 \Rightarrow d_{o} = d_{i} = 2 f \Rightarrow D_{m i n} = 4 f = 400 mm (here 416.7)$
Resposta

A imagem forma-se 166,7 mm atrás da lente, invertida, com 26,7 mm de altura. A última linha é a que é útil. O objeto e a imagem estão a 416,7 mm de distância neste caso, e nenhuma regulação da distância do objeto os aproxima a menos de 4f = 400 mm: à medida que aproxima o objeto do foco, a imagem afasta-se mais depressa do que o objeto se aproxima. Um projetor que tem de projetar uma imagem real num ecrã tem, portanto, uma distância de projeção mínima rigorosa, determinada apenas pela sua distância focal — razão pela qual uma sala pequena precisa de uma lente curta, e não de uma mais engenhosa.

$d_{i} = 166.7 mm, m = - 0.67, h^{'} = 26.7 mm$
A lupa, e por que razão o cabo diz 5× 7 passos
Segure uma lente de 50 mm a 30 mm acima de um escaravelho de 40 mm. Onde fica a imagem, com que orientação e qual o seu tamanho? Explique depois por que razão a ferramenta apresenta 2,50× para uma lupa em cujo cabo está gravado 5×.

Abrir este problema na ferramenta
1. O método não muda: aplicamos a mesma equação do problema 1, mas numa lente mais curta. A diferença é que agora o objeto se encontra no interior da distância focal, em vez de bem afastado dela.
  
  $\frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{f} - \frac{1}{d _{o}} = \frac{1}{50} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 5}{150} = - \frac{1}{75} ⟹ d_{i} = - 75.0 mm$
2. A distância da imagem resulta negativa, e essa é toda a resposta para "onde". Ser negativa significa que os raios emergem da lente ainda a divergir, pelo que nunca se cruzam e nenhum ecrã captará nada. Prolongados para trás, parecem provir de um ponto a 75 mm de distância, do mesmo lado do escaravelho, que é onde o seu olho encontra a imagem.
3. A ampliação transporta o sinal consigo. Um m positivo significa direita, pelo que o escaravelho surge direito com 100 mm de altura, e a ferramenta classifica a imagem como virtual e direita.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{- 75.0}{30} = + 2.50, h^{'} = m h = 2.50 \times 40 = 100.0 mm$
4. Resolva a equação de forma genérica em vez de num cenário específico, e o comportamento de qualquer lupa revela-se numa única fração. Dentro da distância focal de uma lente convergente, a ampliação é positiva e maior do que um. Isto acontece a qualquer distância, sem exceções a memorizar.
  
  $m = \frac{f}{f - d _{o}} ⟹ d_{o} < f \Rightarrow m > 1 and m > 0 always$
5. Vale a pena verificar os dois extremos na prática. Aproxime a lente do escaravelho até assentá-la sobre ele e a ampliação passa a 1, que é o que faz uma lente pousada sobre uma página. Eleve-a em direção ao ponto focal e a ampliação dispara, embora a imagem fuja ao mesmo tempo para o infinito e o seu olho a perca. É por isso que a predefinição "Objeto no ponto focal" apresenta ∞ em vez de um número.
  
  $d_{o} \to f^{-} : m \to + \infty, d_{o} \to 0 : m \to 1$
6. De onde vem então o 5×? Não vem deste cálculo. O que uma lupa oferece é dimensão angular, não linear: o quão grande o escaravelho parece em comparação com tê-lo à distância mínima a que um olho relaxado consegue focar, convencionalmente 250 mm. Coloque o objeto no ponto focal, deixe os raios emergir paralelos, e a comparação passa a ser uma razão entre dois ângulos.
  
  $M = \frac{h / f}{h / D} = \frac{D}{f} = \frac{250}{50} = 5 \times (D = 250 mm)$
7. Traga antes a imagem para esse ponto próximo de 250 mm e a mesma lente atinge 6×. Ambas as convenções são utilizadas na prática. É por este motivo que uma lupa de 5× de um fabricante e uma de 6× de outro podem ser a mesmíssima peça de vidro. A ferramenta indica a ampliação linear à distância que efetivamente escolheu. Esse é o número que obteria ao deitar uma régua sobre a imagem. Já aquilo que o seu olho capta depende de onde segura a lente: traga a imagem para o ponto próximo e os dois coincidem.
  
  $M_{d_{i} = - D} = 1 + \frac{D}{f} = 1 + 5 = 6 \times$
Resposta

A 75 mm da lente, do mesmo lado do escaravelho, direita, com 100 mm de altura e virtual. O valor de 2,50× que a página apresenta e o 5× no cabo medem grandezas diferentes: um é a razão entre a altura da imagem e a altura do objeto na posição em que está a segurar a lente; o outro é uma razão entre ângulos aparentes segundo uma convenção de observação fixa.

$d_{i} = - 75.0 mm, m = + 2.50, h^{'} = 100.0 mm (virtual, upright)$

Percurso de aprendizagem

Desvio da luz

Referências (2)

The thin-lens conjugate relation and the two-position focal-length method: Eugene Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.
Gaussian optics and conjugate planes, in full: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 4. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.