Estúdio de lentes e formação de imagens

Explore as convenções de sinal, a ampliação e a orientação da imagem alterando a distância e a distância focal.

Exemplo resolvido — Estúdio de lentes e formação de imagens

Distância do objeto dada (do)	30
Altura do objeto dada ho	4
Distância da imagem calculada di	15
Ampliação calculada m	-0.5
Altura da imagem calculada hi	-2
Tipo de imagem calculado	Real
Orientação calculada	Invertida

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Esta lente é melhor que qualquer vidro real 🖖

Todo raio nesta ferramenta obedece exatamente a 1/f = 1/d_o + 1/d_i, então a imagem cai como um ponto limpo e a distância focal é um único número. O vidro esférico real não colabora. Raios que passam perto da borda de uma superfície esférica focalizam mais perto que os próximos ao eixo, de modo que uma lente simples real não tem foco único algum — tem uma mancha de focos, um efeito chamado aberração esférica que piora quanto mais a lente é aberta. É por isso que uma objetiva fotográfica é uma pilha de seis a doze elementos e não um só vidro: as superfícies extra existem para cancelar os erros umas das outras. A equação das lentes delgadas descreve o que as lentes fariam se fossem perfeitas, e perto do eixo chega perto o bastante para valer aprender primeiro.

Um único foco decide tudo 🖖

Esta ferramenta assenta numa só relação — a equação das lentes delgadas 1/f = 1/d_o + 1/d_i —, mas todo o comportamento depende de uma coisa: de onde o objeto está em relação ao foco F. Coloque-o além de F e uma lente convergente projeta uma imagem real e invertida que se pode captar num ecrã, como fazem uma câmara ou um projetor. Desloque-o para dentro de F e a mesma lente dá uma imagem virtual, direita e ampliada — tal como funciona uma lupa.

Debaixo de água, uma lente de vidro quase desiste 🖖

Uma lente desvia a luz apenas por causa do contraste do índice de refração nas suas superfícies, por isso a sua potência depende do meio à volta, não só do vidro. Leve uma lente típica de n = 1.5 do ar para a água (n = 1.33) e a equação do fabricante de lentes mostra que a sua potência cai para cerca de um quarto — a distância focal que define aqui quase quadruplicaria. O mesmo efeito anula a córnea do olho debaixo de água, e é por isso que uma máscara de mergulho (que restaura uma camada de ar) devolve a nitidez ao mundo.

LENTES DELGADAS — ONDE A IMAGEM CAI E SE UMA TELA CONSEGUE RECOLHÊ-LA

Em que caso de imagem está o seu objeto?

Uma só equação cobre toda lente delgada, 1/f = 1/dₒ + 1/dᵢ, mas o caráter da resposta muda conforme você aproxima o objeto. O foco é o interruptor: fora dele uma lente convergente projeta uma imagem real e invertida que uma tela pode recolher; dentro dele a mesma lente vira lupa e a imagem passa a ser virtual. Uma lente divergente nunca tem essa escolha.

Objeto além de 2f — real, invertida, menor dₒ > 2f ⇒ f < dᵢ < 2f

Objeto em 2f — real, invertida, do mesmo tamanho dₒ = 2f ⇒ m = −1

Objeto entre f e 2f — real, invertida, ampliada f < dₒ < 2f ⇒ dᵢ > 2f

Objeto dentro de f — virtual, direita, ampliada dₒ < f ⇒ dᵢ < 0

Lente divergente — sempre virtual, direita, menor f < 0 ⇒ dᵢ < 0

Objeto além de 2f — real, invertida, menor

O que você sabe: Lente convergente com o objeto mais longe que o dobro da distância focal. A imagem cai entre f e 2f do outro lado.

Lente delgada: dₒ > 2f ⇒ f < dᵢ < 2f

Exemplo resolvido: f = 10 cm, dₒ = 30 cm → dᵢ = 15 cm e m = −dᵢ/dₒ = −0,5: real, invertida, metade do tamanho

Abrir este caso: Objeto além de 2f

Objeto além de 2f — real, invertida, menor. Objeto fora de 2f: a imagem real se forma entre f e 2f, de cabeça para baixo e reduzida. Lente convergente com o objeto mais longe que o dobro da distância focal. A imagem cai entre f e 2f do outro lado. — Objeto fora de 2f: a imagem real se forma entre f e 2f, de cabeça para baixo e reduzida.

Objeto em 2f — real, invertida, do mesmo tamanho

O que você sabe: Lente convergente com o objeto exatamente ao dobro da distância focal. As distâncias do objeto e da imagem saem iguais.

Lente delgada: dₒ = 2f ⇒ m = −1

Exemplo resolvido: f = 10 cm, dₒ = 20 cm → dᵢ = 20 cm e m = −1: real, invertida, em tamanho natural exato

Abrir este caso: Objeto em 2f

Objeto em 2f — real, invertida, do mesmo tamanho. Objeto em 2f: a imagem fica em 2f do outro lado, invertida e do mesmo tamanho. Lente convergente com o objeto exatamente ao dobro da distância focal. As distâncias do objeto e da imagem saem iguais. — Objeto em 2f: a imagem fica em 2f do outro lado, invertida e do mesmo tamanho.

Objeto entre f e 2f — real, invertida, ampliada

O que você sabe: Lente convergente com o objeto mais perto que 2f, mas ainda fora do foco. A imagem cai além de 2f.

Lente delgada: f < dₒ < 2f ⇒ dᵢ > 2f

Exemplo resolvido: f = 10 cm, dₒ = 15 cm → dᵢ = 30 cm e m = −2: real, invertida, o dobro do tamanho

Abra o caso 2f e deslize o objeto até 15 cm

Objeto entre f e 2f — real, invertida, ampliada. Objeto entre f e 2f: a imagem real se forma além de 2f, invertida e ampliada. Lente convergente com o objeto mais perto que 2f, mas ainda fora do foco. A imagem cai além de 2f. — Objeto entre f e 2f: a imagem real se forma além de 2f, invertida e ampliada.

Objeto dentro de f — virtual, direita, ampliada

O que você sabe: Lente convergente com o objeto mais perto que a distância focal. dᵢ sai negativa, o que significa que a imagem está do mesmo lado do objeto.

Lente delgada: dₒ < f ⇒ dᵢ < 0

Exemplo resolvido: f = 10 cm, dₒ = 6 cm → dᵢ = −15 cm e m = +2,5: virtual, direita, duas vezes e meia maior

Abrir este caso: Objeto dentro de f

Objeto dentro de f — virtual, direita, ampliada. Objeto dentro de f: os raios ainda divergem e o olho lê uma imagem grande e direita. Lente convergente com o objeto mais perto que a distância focal. dᵢ sai negativa, o que significa que a imagem está do mesmo lado do objeto. — Objeto dentro de f: os raios ainda divergem e o olho lê uma imagem grande e direita.

Lente divergente — sempre virtual, direita, menor

O que você sabe: Lente côncava, então o próprio f é negativo. Onde quer que você ponha o objeto, a resposta mantém o mesmo caráter.

Lente delgada: f < 0 ⇒ dᵢ < 0

Exemplo resolvido: f = −10 cm, dₒ = 20 cm → dᵢ = −6,7 cm e m = +0,33: virtual, direita, um terço do tamanho

Abrir este caso: Lente divergente

Lente divergente — sempre virtual, direita, menor. Lente divergente: a imagem é virtual, direita e encolhida, sempre dentro do foco. Lente côncava, então o próprio f é negativo. Onde quer que você ponha o objeto, a resposta mantém o mesmo caráter. — Lente divergente: a imagem é virtual, direita e encolhida, sempre dentro do foco.

Referências (2)

Insight block 1 — why a real lens has a smear of focal points rather than one: M. Born and E. Wolf, Principles of Optics, 7th (expanded) edition, ch. 5. Cambridge University Press, 1999. ISBN 978-0-521-64222-4 — the aberrations a thin-lens model leaves out.
Insight block 3 — the lensmaker's equation, and why the surrounding medium is in it: E. Hecht, Optics, 5th edition, ch. 5. Pearson, 2017. ISBN 978-0-13-397722-6.

Afastar o objeto deixa a imagem menor, não maior

A intuição de que um objeto mais distante dá uma imagem maior está invertida. Numa lente fina a ampliação é m = −f/(d_o − f), então o que fixa o tamanho é a diferença entre o objeto e o foco, não a distância do objeto em si. Os próprios ajustes da ferramenta mostram: com f = 10 cm, o objeto de 4 cm a d_o = 20 cm dá uma imagem de 4 cm, e afastá-lo para 30 cm reduz a imagem a 2 cm. Leve-o de 11 cm a 110 cm e a imagem cai de 40 cm para 0,4 cm — cem vezes menor, numa lente que nunca mudou.

Problema resolvido na íntegra

Imagem de um objeto de 4 cm a 30 cm de uma lente convergente 5 passos
Um objeto com 4 cm de altura encontra-se a 30 cm de uma lente convergente de distância focal de 10 cm. Localize a imagem — e, em seguida, determine a menor distância a que um ecrã pode estar desse objeto para ainda captar uma imagem nítida.
1. A equação das lentes delgadas é toda a física de que a primeira metade precisa. Isolando a distância da imagem: os inversos subtraem-se e obtém-se 15 cm positivo, o que é a forma de a equação dizer que a luz converge verdadeiramente ali.
  
  $\frac{1}{f} = \frac{1}{d _{o}} + \frac{1}{d _{i}} ⟹ \frac{1}{d _{i}} = \frac{1}{10} - \frac{1}{30} = \frac{2}{30} ⟹ d_{i} = 15$
2. A ampliação é a razão entre as duas distâncias, com uma convenção de sinais a determinar a orientação. Um valor negativo significa invertida e um módulo inferior a 1 significa menor, pelo que o objeto de 4 cm se torna numa imagem de 2 cm, invertida — e, como é real, um ecrã a 15 cm exibi-la-ia.
  
  $m = - \frac{d _{i}}{d _{o}} = - \frac{15}{30} = - 0.5 ⟹ h_{i} = - 0.5 \times 4 = - 2$
3. Agora a questão a que a ferramenta não responde. Escreva a separação entre objeto e imagem em função apenas da distância do objeto, substituindo a equação da lente em dₒ + dᵢ.
  
  $s = d_{o} + d_{i} = d_{o} + \frac{f d _{o}}{d _{o} - f}$
4. Derive e iguale a zero. A condição simplifica-se para (dₒ − f)² = f², pelo que o ponto crítico se situa em dₒ = 2f, onde a distância da imagem é igualmente 2f.
  
  $\frac{d s}{d d _{o}} = 0 ⟹ (d_{o} - f)^{2} = f^{2} ⟹ d_{o} = 2 f = 20, d_{i} = 20$
5. A separação nesse ponto é 4f = 40 cm, e trata-se de um mínimo e não de um máximo: desloque o objeto para qualquer um dos lados e a distância total aumenta, tendendo para o infinito em ambas as direções.
  
  $s_{m i n} = 4 f = 40 cm (here s = 30 + 15 = 45 cm)$
Resposta

A ferramenta mostra d_i = 15, m = −0,5 e uma altura de imagem de −2, real e invertida. O resultado que não mostra é a regra dos 4f: nenhuma imagem real deste objeto pode ser formada a uma distância inferior a 40 cm dele, faça o que fizer com a lente. A disposição atual abrange 45 cm, pelo que nem sequer é a mais curta. Essa limitação é o que dimensiona bancos óticos, distâncias de projeção e corpos de câmaras. Pode verificá-lo num único clique: a predefinição em dₒ = 20 coloca a imagem também em 20 — no mínimo, as distâncias do objeto e da imagem são iguais.

$d_{i} = 15, m = - 0.5, h_{i} = - 2 s_{m i n} = 4 f = 40 cm at d_{o} = d_{i} = 2 f$

Percurso de aprendizagem

Desvio da luz

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-29

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

Objeto além de 2f - Um objeto além de 2f forma uma imagem real, invertida e reduzida entre f e 2f.
Objeto em 2f - Um objeto em 2f forma uma imagem real, invertida e do mesmo tamanho em 2f.
Objeto dentro de f - Um objeto dentro da distância focal forma uma imagem virtual, direita e ampliada.
Lente divergente - Uma lente côncava sempre forma uma imagem virtual, direita e reduzida.