A Conjetura de Collatz

Escolha um valor inicial e observe para onde a regra o leva. Depois, observe a segunda imagem, que mostra todos os valores iniciais até ao limite de uma só vez.

Exemplo resolvido — A Conjetura de Collatz

Tempo total de paragem	111
Valor mais alto atingido	9.232
Valor mais alto ÷ valor inicial	341,93
Maior diferença para um vizinho	101
Divisões por dois por triplicação	1,7073
A órbita com os seus +1 removidos	0,8341
Órbita mais longa até 10.000	261
Valores iniciais até 10.000 com pico em 9.232	1.579

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

O 27 demora 111 passos. O seu vizinho demora dez. 🖖

Insira o 26 no valor inicial. A órbita é 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1. Dez passos, e nunca ultrapassa o 40.

Agora insira o 27. Precisa de 111 passos e escala até 9.232, um valor 341,93 vezes superior ao ponto de partida.

Nada no 27 prenuncia isto. O número repousa entre o 26 e o 28, e o 28 chega ao fim em 18 passos; a linha Maior diferença para um vizinho calcula esse desnível como 101. Ao arrastar o valor inicial, os pontos no painel inferior nunca assentam numa curva.

O desnível mais acentuado abaixo de 10.000 é 225, e existem seis pares de vizinhos capazes de o atingir. O primeiro é o 6.170 e 6.171: um precisa de 36 passos, o outro de 261.

Três quartos por triplicação, e continua a acertar 🖖

Um número ímpar transforma-se em 3n + 1, que é par, logo segue-se sempre uma divisão por dois. Esse valor é divisível por 4 metade das vezes e por 8 um quarto das vezes, pelo que, em média, seguem-se duas divisões por dois. Uma triplicação e duas divisões por dois multiplicam por ¾.

Levando isso até ao fim, o número de triplicações necessárias para reduzir n a 1 deverá ser aproximadamente ln n ÷ ln(4/3), o que dá 3,4761 ln n.

A tabela de resultados mede isto face a todos os valores iniciais da análise. Até 10.000, o número médio de triplicações é 28,21 e ¾ por triplicação prevê 28,54. Até 1.000 é 19,67 contra 20,57. Até 100.000, 35,65 contra 36,54.

A expressão que sustenta todo o argumento é em média. As divisões por dois ao longo de uma órbita não são lançamentos de moeda independentes; ficam decididas no momento em que se escolhe n, e ninguém descobriu como afirmar isso e manter a resposta. Paul Erdős, citado por Jeffrey Lagarias em 1985: “A matemática ainda não está pronta para tais problemas.”

Mude o 3 para um 5 e a mesma regra prende o 27 para sempre 🖖

Prima 5n + 1 e defina o início no 13. A órbita faz 13, 66, 33, 166, 83, 416, 208, 104, 52, 26, e depois volta ao 13. Dez números, e andará à volta deles durante o tempo que o permitir. Não há nada conjeturado aqui; é uma lista que pode verificar à mão num minuto.

O 27 também fica preso, num ciclo diferente de dez: 27, 136, 68, 34, 17, 86, 43, 216, 108, 54.

A heurística explica porquê. Uma triplicação e duas divisões por dois dão ¾; uma quintuplicação e duas divisões por dois dão 5/4, e uma regra que multiplica por 5/4 em média não tem motivo para descer. Deixe 5n + 1 selecionado e olhe para o painel inferior, que ficou quase vazio. Dos primeiros 10.000 valores iniciais, 256 chegam ao 1. Outros 470 caem num ciclo. Os restantes 9.274 sobem além de 2⁵³, onde a aritmética da ferramenta deixa de ser exata e deixa de os acompanhar.

Assim, uma demonstração da conjetura de Collatz tem de ser uma demonstração que conheça a diferença entre 3 e 5. Até 2025 a regra foi verificada para todos os valores iniciais até 2⁷¹, cerca de 2,36 × 10²¹ deles, por David Bařina em supercomputadores europeus. O próximo ainda está em aberto.

Problema resolvido na íntegra

Por que motivo o 27 precisa de 41 triplicações quando a aritmética aponta para doze 8 passos
A regra dos ¾ diz que uma órbita deverá precisar de cerca de ln n ÷ ln(4/3) triplicações para descer até 1. Para n = 27, isso fica entre onze e doze. A ferramenta indica 41. Descubra de onde vieram as vinte e nove extra, e depois aplique a mesma contabilidade ao maior valor inicial que alguém já verificou.

Abrir este problema na ferramenta
1. A partir de um n ímpar, o valor seguinte é 3n + 1, que é par, logo segue-se pelo menos uma divisão por dois. É divisível por 4 metade das vezes, por 8 um quarto das vezes, por 16 um oitavo das vezes, e o número esperado de divisões por dois é a soma de k·2^−k, que é exatamente 2. Uma triplicação seguida de duas divisões por dois multiplica por ¾.
  
  $E [v_{2} (3 n + 1)] = k \geq 1 \sum k 2^{- k} = 2 ⟹ \frac{3}{2 ^{2}} = \frac{3}{4}$
2. Multiplicando por ¾ de cada vez, a órbita deverá chegar ao 1 assim que (¾)^o tiver reduzido n a nada. Resolver em ordem a o dá ln 27 ÷ ln(4/3) = 11,46. Consideremos doze triplicações, e com duas divisões por dois cada, cerca de trinta e cinco passos ao todo.
  
  $(\frac{3}{4})^{o} = \frac{1}{n} ⟹ o = \frac{ln 27}{ln ( 4/3 )} = \frac{3 . 2958}{0 . 28768} = 11.46$
3. Insira o 27 na ferramenta. O Tempo total de paragem marca 111, e a secção Reduções a metade por triplicação revela a decomposição da qual provém: 41 triplicações e 70 reduções a metade. A previsão falha por um fator de 3,58. Portanto, o 27 não é um valor inicial típico.
  
  $o = 41, e = 70, t = o + e = 111, \frac{41}{11 . 46} = 3.58$
4. Retire os +1 e a órbita torna-se pura multiplicação: 41 triplicações e 70 divisões por dois aplicadas ao 27. Esse produto é 0,8341, e a ferramenta imprime-o em A órbita com os seus +1 removidos. Seria exatamente 1 se os +1 não fizessem nada, e calha abaixo de 1 porque cada +1 dá às divisões por dois um pouco extra para remover. Numa potência de dois, onde nunca ocorre nenhum passo ímpar, é exatamente 1.
  
  $L = n \cdot \frac{3 ^{o}}{2 ^{e}} = 27 \cdot \frac{3 ^{41}}{2 ^{70}} = 0.8341 < 1, 2^{k} \cdot \frac{3 ^{0}}{2 ^{k}} = 1$
5. Reorganizando a expressão. Se assumirmos L como sendo o produto, temos n·3^o ÷ 2^e = L. A aplicação de logaritmos de base 2 resulta em e = o·log₂3 + log₂(n/L), e dividir por o devolve o rácio que a ferramenta apresenta. Para o 27, esse cálculo é 1,58496 + 0,12236 = 1,70732, valor que o sistema arredonda para 1,7073. Numa órbita que chegue ao 1, o rácio nunca pode descer abaixo de log₂3 = 1,5850. Aqueles que mais se aproximam deste limite são os que gastam mais triplicações relativamente à dimensão do seu valor de partida. Abaixo de 100.000, nenhum chega tão perto como o 27.
  
  $\frac{e}{o} = lo g_{2} 3 + \frac{lo g _{2} ( n / L )}{o} = 1.58496 + \frac{lo g _{2} ( 27/0 . 8341 )}{41} = 1.58496 + 0.12236 = 1.70732$
6. É isto que é uma órbita longa: uma que fica com falta de divisões por dois. Aqui estão o 27 e os três valores iniciais que lideram os três intervalos da análise, com o 26 ao lado para contraste. Um valor inicial típico tem em média cerca de duas divisões por dois por triplicação; todos os detentores de recordes aqui andam entre 1,70 e 1,74. A órbita gasta as suas triplicações e não recebe as divisões de volta.
  
  $n 2627871 6, 171 77, 031 t 10111178261350 o 2416596129 e 870113165221 e / o 4.0000 1.7073 1.7385 1.7188 1.7132$
7. Todos os valores iniciais até 2⁷¹ já foram testados. São cerca de 2,36 × 10²¹ números, verificados por David Bařina em supercomputadores europeus e publicados em 2025. Todos eles alcançaram o 1. Qual deverá ser a duração da viagem nessas grandezas? Como ln(2⁷¹) é 49,213, a heurística prevê 171 triplicações e cerca de 513 passos para um número típico dessa magnitude.
  
  $n = 2^{71} \approx 2.36 \times 1 0^{21} : o \approx \frac{71 ln 2}{ln ( 4/3 )} = \frac{49 . 213}{0 . 28768} = 171, t \approx 3 o = 513$
8. Os números que tornam este problema interessante não são os típicos. Comparando com o tempo total médio de paragem em cada intervalo analisado (59,60, 84,98 e 107,54 passos), os recordistas demoram 2,99, 3,07 e 3,25 vezes mais. Se transportarmos este último fator, os valores iniciais mais lentos nas imediações de 2⁷¹ deverão exigir um percurso mais próximo de 1.700 passos do que de 500. O rácio continua a subir na escala mais alta avaliada pela ferramenta, pelo que 1.700 é um limite inferior e não uma estimativa. Cada valor apresentado neste passo resulta da extrapolação de uma heurística. Esse é o único tipo de afirmação que alguém consegue fazer sobre números desta dimensão.
  
  $\frac{178}{59 . 60} = 2.99, \frac{261}{84 . 98} = 3.07, \frac{350}{107 . 54} = 3.25 ⟹ 3.25 \cdot 513 \approx 1, 700$
Resposta

São precisas 41 triplicações em vez de doze porque a órbita do 27 opera a 1,7073 reduções a metade por triplicação, enquanto uma sequência típica funciona a cerca de 2. Tudo o que resta para forçar a descida do 27 é a diferença entre 1,7073 e log₂3 = 1,5850, e a margem é tão estreita que prolonga a descida por 111 passos.

Nada disto prova o que quer que seja. A fração ¾ surge de tratar cada 3n + 1 como se uma moeda decidisse quantas vezes a expressão é divisível por dois. E a moeda é uma ficção: as reduções a metade ao longo de uma órbita estão fixadas no momento em que se escolhe n. Ainda assim, todos os números verificados até hoje chegaram ao fim, num total de 2,36 × 10²¹. Terence Tao foi quem chegou mais perto de uma demonstração, ao provar que quase todos os valores iniciais acabam por cair abaixo de f(n) para qualquer f que cresça para o infinito, por mais lentamente que o faça. Neste contexto, quase todos significa densidade logarítmica 1. Quase todos não equivale a todos, e é exatamente nessa lacuna que o problema persiste.

$\frac{e}{o} = lo g_{2} 3 + \frac{lo g _{2} ( n / L )}{o} o \to \infty lo g_{2} 3 = 1.5850$

Referências (3)

The verification limit the page quotes, and where the 2.36 × 10²¹ comes from: David Bařina, "Improved verification limit for the convergence of the Collatz conjecture", The Journal of Supercomputing 81(1), 1–14, 2025. doi:10.1007/s11227-025-07337-0
The strongest partial result, which the answer quotes: Terence Tao, "Almost all orbits of the Collatz map attain almost bounded values", Forum of Mathematics, Pi 10, e12, 2022 (posted 2019). doi:10.1017/fmp.2022.8
Where the Erdős line comes from, and the standard survey of the problem: Jeffrey C. Lagarias, "The 3x + 1 problem and its generalizations", American Mathematical Monthly 92(1), 3–23, 1985.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.