Calculadora de Distância por Paralaxe

d (pc) = 1 / p (segundos de arco) — o método da paralaxe trigonométrica sustenta toda a escala de distâncias cósmicas.

Exemplo resolvido — Calculadora de Distância por Paralaxe

Distância (parsecs)	10 pc
Distância (anos-luz)	32.6156 ly
Distância (UA)	2062650 AU

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Lição

A teoria — Calculadora de Distância por Paralaxe

A distância por paralaxe é medida por triangulação, tendo a órbita da Terra como linha de base. Ao observar uma estrela próxima em janeiro e novamente em julho, ela parece deslocar-se em relação ao fundo distante; metade desse deslocamento total é o ângulo de paralaxe p, e é o ângulo sob o qual a distância Terra–Sol é vista a partir da estrela.

O que significa cada símbolo

p: o ângulo de paralaxe em segundos de arco — metade do movimento anual de vai e vem, e não a totalidade do mesmo. Um segundo de arco é 1/3600 de um grau, e nenhuma estrela tem um valor desse tamanho: a maior paralaxe real no céu é inferior a 0.8″.
d: a distância, que é o inverso do ângulo e nada mais. Reduzir o ângulo pela metade duplica a distância: 0.1″ resulta em 10 pc, 0.05″ resulta em 20 pc.
pc: o parsec, que não é tanto uma unidade de comprimento independente, mas sim uma escolha de conveniência — a distância à qual a paralaxe resulta exatamente em 1″. Essa definição é a única razão pela qual a fórmula não contém qualquer constante.
ly: o ano-luz, a mesma distância na unidade utilizada por não astrónomos. Um parsec corresponde a 3.2616 anos-luz, pelo que a segunda linha é sempre a primeira multiplicada por esse valor.

De onde vem a fórmula

A distância Terra–Sol de 1 AU é o lado menor de um triângulo retângulo muito estreito, e a distância à estrela é o lado maior. O ângulo na estrela é p.
Para um triângulo estreito, pela aproximação de pequenos ângulos, tan p ≈ p quando p está em radianos, e o erro dessa substituição é menor do que qualquer paralaxe alguma vez medida. Assim, d = 1 AU / p, com p em radianos.
Os segundos de arco são mais convenientes do que os radianos, e a conversão introduz uma constante — o número de segundos de arco num radiano, cerca de 206265. Assim, d = 206265 AU / p″.
Em vez de carregar essa constante para sempre, os astrónomos deram-lhe um nome: um parsec é 206265 AU. Dividindo a equação, a fórmula simplifica-se para d = 1/p, que é a expressão que a linha superior apresenta. Defina o ângulo como 1 e a distância indica exatamente 1 pc.

Como ler o que vê

É mais fácil perceber o inverso ao reduzir o ângulo gradualmente, em vez de ler um único valor: 0.77″ resulta em 1.2987 pc, 0.1″ resulta em 10 pc, e 0.02″ resulta em 50 pc. A linha dos anos-luz acompanha a primeira rigorosamente a 3.26156 por parsec (10 pc exibem 32.6156 ly). Portanto, não contém nenhuma informação que não esteja presente na primeira linha, tratando-se apenas de uma conversão de unidade.

Pressupõe: Que o desvio medido é a paralaxe e não o movimento da estrela pelo céu, e que a oscilação anual foi dividida pela metade em vez de usada na sua totalidade. O segundo aspeto altera a resposta por um fator exato de dois, e nenhum deles é fácil de detetar numa única medição.
Falha quando: A fórmula nunca falha; a medição é que falha, e fá-lo com a distância e não com um valor da fórmula. Como d = 1/p, um erro fixo no ângulo torna-se num erro na distância que cresce com o quadrado da distância — a 0.02″, uma incerteza de 0.002″ representa 10% do ângulo, mas altera a resposta para um valor entre cerca de 45 e 55 pc. É por isso que a paralaxe é o primeiro degrau da escada de distâncias e não a sua totalidade.

O ângulo é tão pequeno que quase afundou o heliocentrismo 🖖

Se a Terra realmente se move, as estrelas próximas devem parecer deslocar-se ao longo do ano. Copérnico sabia disso em 1543, e seus críticos também: eles apontavam que nenhum deslocamento desse tipo havia sido visto e concluíam que a Terra está parada. Eles raciocinavam corretamente a partir das evidências — os ângulos são simplesmente minúsculos. Até Proxima Centauri, a estrela mais próxima que existe, tem uma paralaxe de apenas 0,7685 segundo de arco, mais ou menos a largura de uma moeda vista de três quilômetros. Ninguém conseguiu medir isso por quase três séculos. Friedrich Bessel finalmente conseguiu em 1838 com 61 Cygni, em cerca de 0,31 segundo de arco, e a paralaxe estelar deixou de ser uma objeção ao heliocentrismo para se tornar o primeiro degrau da escada de distâncias.

Prática

Verifique você mesmo

Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.

A perspetiva 1 diz que Friedrich Bessel mediu 61 Cygni em cerca de 0.31 segundos de arco em 1838, a primeira distância estelar alguma vez obtida. Escreva-a. A que distância fica, e como se compara com os 0.7685″ de Próxima Centauri?

Mostrar a resposta

3.2258 pc, ou 10.5212 ly. Próxima com 0.7685″ marca 1.3012 pc e 4.2441 ly, portanto a estrela de Bessel está cerca de duas vezes e meia mais longe. Ele não apontava à estrela mais próxima: escolheu 61 Cygni por se deslocar depressa no céu, uma pista diferente e boa — uma estrela com grande movimento próprio costuma ser uma estrela próxima.
A caixa do ângulo pára nos 2 segundos de arco. Ponha-a aí. Que distância devolve, e o que está errado nesse quadro?

Mostrar a resposta

0.5 pc, ou seja 1.6308 ly — e ali não há nada. A estrela mais próxima do Sol é Próxima Centauri, a 4.2441 ly, de modo que tudo acima de 0.7685″, a metade superior desta caixa, nomeia uma região do espaço sem uma única estrela. A fórmula iria ainda mais longe: d = 1/p não tem distância mínima. A caixa pára antes de a resposta se tornar absurda, não porque a aritmética pare.

Problema resolvido na íntegra

Distância de uma estrela com uma paralaxe de 0,1 segundos de arco 5 passos
Uma estrela tem uma paralaxe de 0,1 segundos de arco. Calcule a sua distância. Depois, descubra a que distância este método deixa de funcionar e porquê.
1. A paralaxe é um triângulo com uma base conhecida: o raio orbital da Terra. Ao longo de seis meses, a linha de base é de 2 AU, e metade do deslocamento total é o ângulo de paralaxe p. Para estes ângulos, a tangente é o próprio ângulo em radianos, o que torna a aritmética trivial.
  
  $tan p = \frac{1 AU}{d} \approx p (radians)$
2. O parsec é definido para a tornar trivial: é a distância à qual 1 AU subtende um segundo de arco. Escolha essa unidade e a relação é um inverso sem qualquer constante.
  
  $d [pc] = \frac{1}{p [ arcsec ]} = \frac{1}{0.1} = 10 pc$
3. A conversão é apenas gestão de unidades, e a calculadora acima mostra todas estas três para p = 0.1″.
  
  $10 pc \times 3.26156 = 32.6156 ly, 10 \times 206265 = 2062650 AU$
4. Agora a parte que a ferramenta não mostra. Como a relação é um inverso, o erro relativo na distância é igual ao erro relativo no ângulo. Uma medição de 1% no ângulo dá 1% na distância.
  
  $\frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p} : p = 0. 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 1%$
5. Mas o ângulo diminui à medida que a distância aumenta, enquanto o erro de medição não o faz. Avance até p = 0.001″ com o mesmo instrumento de ±0.001″ e o erro relativo atinge 100% — a medição já não diz nada.
  
  $p = 0.00 1^{''} \pm 0.00 1^{''} \Rightarrow \pm 100%$
Resposta

10 parsecs, 32.6156 light-years. O inverso é o que torna a paralaxe ao mesmo tempo exata e de curto alcance: o erro cresce em proporção com a distância, pelo que cada levantamento de paralaxe tem um horizonte definido pela sua precisão angular e não pelo quão fraco consegue observar. O Hipparcos mediu até cerca de 0.001″ e alcançou algumas centenas de parsecs; o Gaia atinge ~0.00002″ e assim obtém dezenas de milhares. Além desse horizonte, a astronomia tem de mudar totalmente de método — e é por isso que a escada de distâncias tem degraus.

$d = \frac{1}{p} \frac{Δ d}{d} = \frac{Δ p}{p}$

Percurso de aprendizagem

A que distância se encontra?

Referências (3)

The first stellar parallax ever measured, and the source of insight 1’s 0.31″: Bessel, "Bestimmung der Entfernung des 61sten Sterns des Schwans." Astronomische Nachrichten 16, 65–96, 1839.
The mission the challenge block credits with sub-milliarcsecond astrometry: T. Prusti, J. H. J. de Bruijne, A. G. A. Brown, A. Vallenari, C. Babusiaux & C. A. L. Bailer-Jones, "The Gaia mission." Astronomy & Astrophysics 595, A1, 2016.
The parsec as a defined unit, which is why d = 1/p has no constant in it: International Astronomical Union, Resolution B2 on recommended zero points for the absolute and apparent bolometric magnitude scales. XXIX General Assembly, Honolulu, 2015.

Pela equipa 42Math · Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas.