Lição
A teoria — Comparação de Luminosidade Solar
A luminosidade é a potência radiante total — cada watt que uma estrela emite em todas as direções ao mesmo tempo. Não é o quão brilhante a estrela parece: o brilho aparente diminui com a distância, a luminosidade não.
O que significa cada símbolo
L- a luminosidade da estrela, dada aqui tanto como um múltiplo da do Sol como em watts.
R- o raio da estrela. Entra ao quadrado, porque o que radia é a superfície, e a área da superfície varia com
R². T- a temperatura efetiva da superfície, em kelvin. Entra elevada à quarta potência, pela lei de Stefan-Boltzmann.
L☉- o índice solar, utilizado como unidade. Os valores aqui predefinidos são os nominais da IAU:
L☉ = 3.828 × 10²⁶ WeT☉ = 5772 K.
Como ler o que vê
Dois painéis, e a sua ordem é fundamental. O primeiro dá a luminosidade como uma razão em relação ao Sol, diretamente a partir de (R/R☉)²(T/T☉)⁴ — com os valores predefinidos isso resulta em 1 · 1 = 1 L☉. Apenas o segundo converte a razão em watts, multiplicando por L☉ = 3.828 × 10²⁶ W. A razão não precisa de nenhuma constante física; os watts precisam de uma.
- Pressupõe
- Uma esfera a radiar como um corpo negro ideal a uma única temperatura. As estrelas reais apresentam escurecimento de bordo, são achatadas pela rotação e estão cobertas de manchas — e a temperatura efetiva é definida como a temperatura de corpo negro que produziria a potência observada, pelo que a lei da quarta potência se aplica aqui por definição e não por medição.
- Falha quando
- Nada aqui tem em conta o que se encontra entre a estrela e o telescópio: a poeira interestelar atenua e avermelha a luz, pelo que uma luminosidade inferida a partir do brilho observado necessita de uma correção de extinção que esta página não modela. E o raio estelar não é uma superfície onde alguém pudesse pisar — é a profundidade à qual o gás deixa de ser opaco.
Prática
Verifique você mesmo
Preveja primeiro a resposta e depois use os controlos acima para confirmar. Revele a solução só depois de se ter comprometido com um palpite — é isso que torna isto prática.
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Ponha a temperatura em metade da solar,
2886 K. Que tamanho teria a estrela de ter para continuar a emitir exatamente1 L☉— e onde é que a taxa de câmbio está escrita?Mostrar a resposta
R = 4 R☉, e a decomposição mostra porquê:16 · 0.063 = 1 L☉. O termo do raio ganha exatamente o fator 16 que o da temperatura perde. A taxa de câmbio está no bloco Local sensitivity —+1% T → +4% Lcontra+1% R → +2% L—, portanto um por cento de temperatura vale dois de raio, e compensar uma temperatura reduzida a metade exige quadruplicar o raio, não duplicá-lo. -
Ponha agora o raio em
10 R☉com a temperatura solar, o que dá uma razão de100. O que indica a linha da magnitude, e porque é o número tão redondo?Mostrar a resposta
Exatamente−5.00. A escala de magnitudes está definida para que cinco magnitudes sejam um fator 100:ΔM = −2.5 log₁₀(L/L☉), elog₁₀(100) = 2. É por isso que uma única magnitude vale o incómodo100^(1/5) ≈ 2.512e nada mais limpo — o número redondo foi posto no fator 100 e tinha de sair de algum lado. Repare também no sinal: mais brilhante é mais baixo, por isso uma estrela 100 vezes o Sol fica cinco magnitudes abaixo dele.
Problemas resolvidos na íntegra
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Luminosidade e diferença de magnitude de Rigel a 78,9 raios solares 6 passos
Rigel: 78,9 raios solares a 12 100 K. Calcule a sua luminosidade e o seu desvio de magnitude e, em seguida, diga qual dos dois dados de entrada preferiria medir com precisão. Este é o estado Rigel.
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Toda a ferramenta se resume a uma equação, que é a lei de Stefan dividida por si mesma. Tudo se simplifica, exceto as duas razões.
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Calcule os fatores separadamente, porque a questão é o quão desiguais eles são. O raio contribui com três ordens de grandeza, a temperatura com pouco mais de uma.
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Multiplique e, em seguida, reescale pela luminosidade solar para sair do mundo adimensional.
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As magnitudes são −2,5 log₁₀ de uma razão de fluxos, pelo que um fator de 120 000 se torna 12,7 magnitudes mais brilhante. O sinal de menos é a convenção dos astrónomos segundo a qual mais brilhante significa menor.
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As linhas de sensibilidade são apenas os expoentes, lidos como elasticidades. Esta é a forma útil quando está a decidir o que medir.
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Converta a razão numa duração e ela deixa de ser abstrata.
Resposta
A temperatura, por um fator de dois; o raio, por um fator de trezentos. Não há contradição: trata-se da diferença entre erro relativo e erro absoluto. Na lei de Stefan-Boltzmann, a temperatura tem expoente 4 e o raio, expoente 2. Assim, um erro de 1% em T tem o dobro do efeito de um erro de 1% em R; é essa a sensibilidade indicada no painel. Contudo, Rigel tem 78,9 raios solares e uma temperatura de apenas 2,1 vezes a do Sol. Por isso, o fator associado ao raio contribui com 6.225 dos 120.000, enquanto o da temperatura contribui com apenas 19,3. O expoente indica qual medição exige mais cuidado; o valor revela de onde vem efetivamente a luminosidade. Num só dia, Rigel irradia o que o Sol leva 329 anos a irradiar.
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Luminosidade da Proxima Centauri a 0,1542 raios solares e 3042 K 5 passos
Proxima Centauri: 0,1542 raios solares a 3042 K. Obtenha a sua luminosidade e, em seguida, verifique a escala de magnitudes comparando-a com Rigel. Este é o estado Proxima Centauri.
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Os mesmos dois fatores, ambos agora abaixo de um. Note-se que a razão de temperaturas é de apenas metade e, ainda assim, custa um fator de treze, porque é elevada à quarta.
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O produto é 1,834 × 10⁻³ do Sol — 1 parte em 545 —, razão pela qual a estrela mais próxima de nós é invisível sem um telescópio.
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Uma luminosidade abaixo de um dá um desvio de magnitude positivo — 6,84 magnitudes mais ténue do que o Sol.
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Agora a verificação cruzada. Calcule diretamente a razão das duas luminosidades.
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Em seguida, calcule a diferença entre as duas magnitudes e inverta o logaritmo. Os dois caminhos têm de coincidir, e essa concordância é o que confirma que a escala de magnitudes é um logaritmo e nada mais.
Resposta
1,834 × 10⁻³ L☉, e Rigel supera-a em brilho por 6,55 × 10⁷. A verificação é o ponto essencial: os dois desvios de magnitude são −12,70 e +6,84, uma diferença de 19,54 magnitudes, e 1019,54/2,5 é 6,55 × 10⁷ — o mesmo número que as luminosidades fornecem diretamente. Isto não é uma coincidência, é a própria definição; a escala de magnitudes foi ajustada à resposta do olho no século II a.C. e formalizada como exatamente cinco magnitudes por cada fator de 100 em 1856. Aqui, ambos os fatores de Proxima atuam para baixo, raio e temperatura juntos, razão pela qual uma estrela 6,5 vezes menor do que o Sol em raio acaba por ser 545 vezes mais ténue.
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Percurso de aprendizagem
A que distância se encontra?
Referências (1)
- Where L☉ = 3.828 × 10²⁶ W and T☉ = 5772 K come from — the IAU 2015 nominal values this page uses: A. Prša et al., “Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3.” The Astronomical Journal 152, 41, 2016.