Problema resolvido na íntegra
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Uma proteína de 100 resíduos, três formas por resíduo, e uma procura que dura mais do que o universo 6 passos
Uma cadeia de 100 resíduos pode adotar três orientações em cada um e pode tentar um novo arranjo a cada 10⁻¹³ s. Calcule quanto tempo demora uma procura exaustiva. Em seguida, determine o comprimento da cadeia em que a procura cega deixa de ser possível e indique o que o paradoxo realmente exclui.
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Conte os arranjos. Três escolhas em cada um dos 100 resíduos dão 3¹⁰⁰, o que em logaritmos é 100 × log₁₀ 3 = 100 × 0,4771 = 47,71, ou seja, 5,15 × 10⁴⁷ conformações.
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Cada tentativa demora 10⁻¹³ s, o que é aproximadamente a rapidez máxima com que algo se move numa molécula. Multiplicando, a procura demora 10⁴⁷·⁷¹ × 10⁻¹³ = 10³⁴·⁷¹ s.
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Converta para anos dividindo por 3,156 × 10⁷ s. O expoente diminui 7,50, dando 10²⁷·²¹ anos.
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O universo tem 1,38 × 10¹⁰ anos de idade, o que corresponde a 10¹⁰·¹⁴. Assim, uma procura exaustiva demora 10¹⁷·⁰⁷ vezes a idade do universo — e uma proteína real deste tamanho dobra-se num intervalo entre um milissegundo e um segundo.
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Agora determine onde começam as dificuldades. Mantendo três estados por resíduo e aumentando o comprimento da cadeia: aos 28 resíduos a procura ultrapassa pela primeira vez um segundo, e aos 65 ultrapassa pela primeira vez a idade do universo. Abaixo de cerca de 20 resíduos, a procura cega funciona perfeitamente, razão pela qual os péptidos curtos não são paradoxais.
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Teste a saída óbvia. Se o problema são três estados, tente dois: 2¹⁰⁰ é 10³⁰·¹⁰, e a procura continua a demorar 10⁹·⁶ anos. Reduzir os estados por resíduo num terço removeu 17 ordens de grandeza e deixou mais 9 do que uma vida inteira.
Resposta
10²⁷ anos, ou seja, 10¹⁷ universos, para algo que acontece em menos de um segundo. O paradoxo não afirma que a dobragem é impossível; afirma que o ALGORITMO é impossível, e essas são afirmações diferentes. A procura cega fica descartada, e nenhum ajuste dos parâmetros a consegue salvar, porque a contagem é exponencial em relação ao comprimento da cadeia e todas as alavancas disponíveis estão dentro da base. O que resta é que a proteína nunca enumera: a paisagem energética é um funil, pelo que quase todos os passos no sentido descendente são um progresso e a cadeia é guiada em vez de procurar. O esboço acima é esse funil — o topo largo representa os 5,15 × 10⁴⁷, o ponto no fundo é o estado nativo N, e os dois caminhos descendentes chegam juntos porque o percurso não importa. Levinthal publicou isto em 1969 como uma objeção, e tornou-se o argumento a favor do mecanismo que a substituiu.
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Percurso de aprendizagem
Calcular com moléculas
Referências (1)
- A quantitative treatment of the paradox and why energetic bias collapses the search time: R. Zwanzig, A. Szabo and B. Bagchi, “Levinthal’s paradox.” Proceedings of the National Academy of Sciences 89(1), 20–22, 1992.