Escala da computação com DNA

O DNA pode testar muitas rotas em paralelo, mas n! candidatos ainda exigem n! moléculas.

Exemplo resolvido — Escala da computação com DNA

Rotas candidatas, n!	5,11 × 10¹⁹
Comprimento de cada fita	420 nt
Massa de DNA de fita simples necessária	1,18 × 10¹ g
Escala comparável	gramas

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

A carregar a simulação interativa...

Paralelismo não elimina complexidade 🖖

O experimento de Adleman provou que reações moleculares podem filtrar caminhos candidatos. Não eliminou o crescimento fatorial. Dar uma molécula a cada rota apenas converte tempo de computação em material: o número e a massa das fitas continuam crescendo como n!.

Nenhuma codificação vale uma cidade 🖖

Multiplique por dez as bases por cidade e a massa necessária multiplica-se exatamente por dez — e o ponto em que ultrapassa a massa da Terra não se move nada: 39 cidades com 20 bases cada, 39 com 200. Mesmo uma impossível base única por cidade apenas o empurra para 40. A codificação é um fator constante. n! não é.

Cada cidade nova custa mais do que a anterior 🖖

Acrescentar uma cidade multiplica o necessário por (n+1)²/n: as permutações novas e, para cada uma delas, uma cadeia mais longa. São 22× com vinte cidades, 32× com trinta e 41× ao passar de trinta e nove para quarenta. Um grama cobre 21 cidades e uma tonelada cobre 25: mais quatro cidades por um fator de um milhão.

Problema resolvido na íntegra

A rota de 20 cidades que cabe em meio grama, e a de 39 cidades que não cabe na Terra 6 passos
Uma rota do caixeiro-viajante de 20 cidades é codificada da forma como Adleman fez: uma cadeia de DNA por rota candidata, 20 nucleótidos por cidade. Calcule quanto pesa a biblioteca de DNA. Depois, adicione cidades até deixar de ser possível e diga qual é realmente o limite.
1. Comece por contar os candidatos. Com a cidade inicial fixa, uma rota é uma ordenação das restantes cidades, pelo que existem 20! delas. Isto é 2.432.902.008.176.640.000 — digamos 2,43 × 10¹⁸.
  
  $20! = 2, 432, 902, 008, 176, 640, 000 \approx 2.43 \times 1 0^{18}$
2. Pese agora um candidato. Cada uma das 20 cidades contribui com 20 nucleótidos, pelo que uma cadeia tem 400 nt de comprimento, e o DNA de cadeia simples tem cerca de 330 g por mole de nucleótido.
  
  $L = 20 \times 20 nt = 400 nt$
3. Uma mole corresponde ao número de Avogadro de cadeias, pelo que se divide por este para obter a massa de uma única molécula: 400 × 330 ÷ 6,022 × 10²³, o que dá 2,19 × 10⁻¹⁹ g.
  
  $m_{1} = \frac{400 \times 330}{6.022 \times 1 0 ^{23}} = 2.19 \times 1 0^{- 19} g$
4. Multiplique os dois. 2,43 × 10¹⁸ cadeias a 2,19 × 10⁻¹⁹ g cada uma dá 0,533 g — meio grama, num tubo de ensaio, e é este o número que faz a computação por DNA parecer funcionar.
  
  $M = 2.43 \times 1 0^{18} \times 2.19 \times 1 0^{- 19} = 0.533 g$
5. Adicione uma cidade. A contagem multiplica-se por 21 e a cadeia cresce para 420 nt, pelo que a massa multiplica-se por 21 × (420/400) = 22,05, o que dá 11,8 g. A cidade extra custou vinte e duas vezes a biblioteca anterior inteira.
  
  $\frac{M _{21}}{M _{20}} = 21 \times \frac{420}{400} = 22.05 \Rightarrow 11.8 g$
6. Continuando, o próprio multiplicador cresce, porque é (n+1) × (1 + 1/n). Com 38 cidades, a biblioteca pesa 2,18 × 10²⁶ g, o que representa 3,65% da Terra. Com 39, pesa 8,72 × 10²⁷ g, e a Terra pesa 5,97 × 10²⁷.
  
  $M_{39} = 8.72 \times 1 0^{27} g > M_{\oplus} = 5.97 \times 1 0^{27} g$
Resposta

Meio grama com 20 cidades, e 1,46 Terras com 39. O salto de 38 para 39 é um fator de 40,0, e leva o requisito de um vigésimo sétimo do planeta para uma vez e meia o planeta — uma única cidade. Este é todo o argumento contra a força bruta molecular, e repare no que ele não é: não é que o DNA seja lento, nem que a química seja pouco fiável, nem que não consigamos construir as cadeias. Cada um desses aspetos poderia ser resolvido. O que não se pode resolver é que n! moléculas pesam n! moléculas. O paralelismo massivo divide o TEMPO pelo número de processadores e deixa a contagem de processadores exatamente onde estava, pelo que um problema que precise de mais processadores do que átomos disponíveis não está à espera de melhor engenharia. A ferramenta desenha a curva de massa contra a linha da Terra; o que não consegue desenhar é o crescimento desse multiplicador, porque imprime uma massa e nunca uma razão.

Percurso de aprendizagem

Calcular com moléculas

Conduz a O paradoxo de Levinthal porque mais moléculas deixam de ajudar.

Referências (2)

The seven-vertex directed Hamiltonian-path experiment this scaling argument starts from: L. M. Adleman, “Molecular Computation of Solutions to Combinatorial Problems.” Science 266(5187), 1021–1024, 1994.
The molecular-weight approximation used to turn nucleotide count into ssDNA mass: MIT OpenCourseWare, 5.36 Biochemistry Laboratory manual, 2009.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-22

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Problemas de exemplo

Adleman: 7 vértices - As sete cidades de Adleman precisam de 3,87 × 10⁻¹⁶ g de ADN. O difícil era filtrar, não o material.
Limite de um grama - Às vinte e uma cidades, uma cadeia por rota ultrapassa pela primeira vez o grama: 1,18 × 10¹ g.
Limite de um quilograma - Mais duas cidades e o grama passou a 6,52 × 10³ g — um fator de 550 por duas cidades.
Limite da massa da Terra - Trinta e nove cidades: 8,72 × 10²⁷ g, mais pesado do que a Terra.