Porta de deslocamento de fita de DNA

Toeholds transformam reconhecimento molecular em lógica, na velocidade da química.

Exemplo resolvido — Porta de deslocamento de fita de DNA

Saída booleana	1
Gatilho efetivo	100 nM
Taxa pseudo-primeira ordem	1,00 × 10⁻³ s⁻¹
Tempo até 90%	38,4 min

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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Portas de DNA calculam com química 🖖

Um toehold recruta a entrada e a migração de ramificação desloca a saída. A sequência decide quem reage; concentração e ligação decidem a velocidade.

Dois cursores, um só número 🖖

A resposta é y = 1 − exp(−kCt), pelo que o tempo até qualquer fração depende apenas do produto da constante de velocidade pela concentração do disparador. Duplique k e reduza C a metade: a curva é idêntica e ambas chegam aos 90 % em 2,3026/kC. O modelo tem um único grau de liberdade. Um toehold lento paga-se com concentração, até a concentração bater no preço do ADN.

Trinta e oito minutos para comutar 🖖

Com os valores por omissão, 10⁴ M⁻¹s⁻¹ e 100 nM, a porta precisa de 38 minutos para chegar aos 90 %: cerca de 2 × 10¹⁴ vezes uma porta de silício de 10 ps. Leve ambos a um teto plausível, 10⁶ M⁻¹s⁻¹ e 1 µM, e são 2,3 segundos — ainda 2 × 10¹¹ vezes mais lento. A lógica molecular ganha na energia por evento cerca de 10⁴ e perde no tempo 10¹¹.

Problema resolvido na íntegra

Que profundidade pode atingir um circuito de ADN num dia, a 38 minutos por porta 6 passos
Uma porta de deslocamento de cadeia atinge 90% de saída com uma constante de velocidade de 10⁴ M⁻¹s⁻¹ e um gatilho a 100 nM. Deduza o tempo. Em seguida, calcule quantas destas portas podem ser encadeadas num dia e indique o que isso limita.
1. A resposta é de primeira ordem relativamente ao gatilho: y = 1 − e^(−kCt). Defina y = 0,9 e reorganize a expressão: o 0,9 torna-se ln 10 = 2,3026, porque 1 − 0,9 é um décimo.
  
  $y = 1 - e^{- k C t} = 0.9 \Rightarrow k C t = ln 10 = 2.3026$
2. Assim, t = ln 10 ÷ (kC), e tudo o que diz respeito à porta fica condensado nesse único produto kC. Mais nada na expressão sobrevive à reorganização.
  
  $t = \frac{ln 10}{k C}$
3. Substitua os valores. 100 nM é 1 × 10⁻⁷ M, pelo que kC = 10⁴ × 10⁻⁷ = 10⁻³ s⁻¹, e t = 2,3026 ÷ 10⁻³ = 2.303 s, o que corresponde a 38,4 minutos.
  
  $k C = 1 0^{4} \times 1 0^{- 7} = 1 0^{- 3} s^{- 1} \Rightarrow t = 2, 303 s = 38.4 min$
4. Agora a parte que o painel não modela: ele mostra uma única porta, e um circuito é constituído por portas em série. Dez portas, cada uma à espera da anterior, demoram 23.026 s, o que corresponde a 6,4 horas.
  
  $t_{10} = \frac{10 ln 10}{k C} = 23, 026 s = 6.4 h$
5. Inverta o raciocínio e pergunte o que se obtém num dia. 86.400 ÷ 2.303 = 37,5 portas de profundidade. Um dia de química resulta num circuito com trinta e sete camadas de profundidade, e essa é a computação inteira, não trinta e sete operações por segundo.
  
  $\frac{86 , 400}{2 , 303} = 37.5 gates deep per day$
6. Leve ambos os parâmetros ao limite plausível, 10⁶ M⁻¹s⁻¹ e 1 µM: kC passa a 1 s⁻¹ e uma porta demora 2,30 s. Um dia dá então para 37.523 portas de profundidade — mil vezes melhor —, e uma porta de silício de 10 ps consegue ainda 8,64 × 10¹⁵ no mesmo dia.
  
  $k C = 1 0^{6} \times 1 0^{- 6} = 1 s^{- 1} \Rightarrow t = 2.30 s, 37, 523 deep$
Resposta

38,4 minutos por porta, logo 37,5 portas de profundidade num dia, ou 37.523 à melhor taxa que se pode plausivelmente atingir. O número que importa é a PROFUNDIDADE, não a quantidade, porque um circuito de deslocamento de cadeia é enormemente paralelo e irremediavelmente em série ao mesmo tempo: todas as portas de uma camada funcionam em simultâneo no mesmo tubo, e a camada seguinte não pode começar até que esta tenha terminado. Assim, a comparação correta não é com as operações por segundo de um chip — é com o caminho crítico de um chip, e aí a diferença é de 2,3 × 10¹⁴ por camada. É por isso que os circuitos de ADN publicados têm pouca profundidade: o circuito de raiz quadrada que Qian e Winfree construíram em 2011 executou apenas um punhado de camadas e demorou horas, e nenhum aumento de escala do tubo altera a profundidade. A química oferece a largura gratuitamente e paga a profundidade em tempo de relógio.

Percurso de aprendizagem

Calcular com moléculas

Conduz a Energia por operação segundos por operação.

Referências (2)

Experimental characterization and kinetic modeling of toehold-controlled strand displacement: D. Y. Zhang and E. Winfree, “Control of DNA Strand Displacement Kinetics Using Toehold Exchange.” Journal of the American Chemical Society 131(47), 17303–17314, 2009.
The scalable Boolean DNA circuit architecture behind the gate examples: L. Qian and E. Winfree, “Scaling up digital circuit computation with DNA strand displacement cascades.” Science 332(6034), 1196–1201, 2011.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-08-22

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Problemas de exemplo

porta E média - Um toehold médio a 100 nM chega a 90 % de saída em 38,4 min.
porta OU fraca - Um toehold cem vezes mais fraco demora cem vezes mais: 64 h para os mesmos 90 %.
porta E forte - Um toehold forte à mesma concentração lá chega em 23 s.
entrada E ausente - Falta uma entrada e, neste modelo idealizado, a porta AND não produz saída nenhuma.