Calculadora de Fases da Lua

Sete das dez linhas da tabela colocam uma fórmula na coluna da fórmula. A linha do Mês sinódico coloca um número: S = 29,5306 d, afirmado. Deduza-o, em vez disso — a partir da linha do Mês sideral imediatamente abaixo, mais um dado que a ferramenta nunca menciona.

1. Um mês é uma corrida entre duas velocidades angulares, por isso comece por converter uma delas. O mês sideral é a volta completa da Lua em relação às estrelas fixas, e isso corresponde a 360° exatos nos 27,3217 d impressos.

   $${\omega }_{\mathrm{M}}=\frac{360^{\circ }}{T_{\mathrm{sid}}}=\frac{360^{\circ }}{27.3217\mathrm{d}}=13.17634^{\circ }{\mathrm{d}}^{-1}$$

2. A fase, contudo, não é medida em relação às estrelas — é medida em relação ao Sol, e a direção do Sol não é fixa, porque a Terra orbita em seu redor. O Sol deriva, portanto, uma volta completa em relação a essas mesmas estrelas por ano sideral, 365,2564 d. Este é o único número que não vem da página; tem de o trazer.

   $${\omega }_{\odot }=\frac{360^{\circ }}{T_{\mathrm{E}}}=\frac{360^{\circ }}{365.2564\mathrm{d}}=0.985609^{\circ }{\mathrm{d}}^{-1}$$

3. Agora execute um mês sideral e veja o que falta. A Lua está de volta ao lado da sua estrela inicial, mas o Sol avançou θ₀, e a Lua precisa de mais um tempo t₁ para fechar esse intervalo e ser iluminada da mesma maneira.

   $${\theta }_0={\omega }_{\odot }{T}_{\mathrm{sid}}=0.985609\times 27.3217=26.9285^{\circ },t_1=\frac{{\theta }_0}{{\omega }_{\mathrm{M}}}=\frac{26.9285}{13.17634}=2.0437\mathrm{d}$$

4. O Sol não fica à espera durante a perseguição. Nesses 2,0437 d, ele move-se novamente, pela fração r do intervalo que já tinha aberto, e novamente durante a correção dessa diferença — uma série geométrica, razão pela qual o atraso verdadeiro é t₁ dividido por 1 − r em vez de t₁. Como r é apenas 0,075, toda a perseguição infinita custa apenas mais 8% do que a primeira estimativa.

   $$r=\frac{{\omega }_{\odot }}{{\omega }_{\mathrm{M}}}=\frac{0.985609}{13.17634}=0.074801,\Delta t=t_1\sum _{k=0}^{\infty }{r}^k=\frac{t_1}{1-r}=2.0437\times 1.080849=2.2089\mathrm{d}$$

5. Adicione a perseguição ao mês sideral — ou salte a série por completo, uma vez que a fase avança à diferença das duas velocidades e 360° sobre essa diferença dá a mesma resposta. Ambos os caminhos chegam a 29,5306 d, que é precisamente o que a linha do Mês sinódico afirma, e 29,531 d é o que a sua coluna de valores imprime.

   $$S=T_{\mathrm{sid}}+\Delta t=27.3217+2.2089=29.5306\mathrm{d}⟺S=\frac{360^{\circ }}{{\omega }_{\mathrm{M}}-{\omega }_{\odot }}=\frac{360}{12.190731}=29.5306\mathrm{d}$$

6. Depois, verifique a aritmética de uma segunda forma, sem usar absolutamente nada de fora da tabela: subtraia os dois valores impressos.

   $$S-T_{\mathrm{sid}}=29.531-27.322=2.209\mathrm{d}\approx \Delta t=2.2089\mathrm{d}$$