Calculadora da Esfera de Hill

Calcule o raio de Hill a partir do tamanho da órbita, das massas e da excentricidade, e estime faixas conservadoras de órbita estável.

Exemplo resolvido — Calculadora da Esfera de Hill

Razão de massas	1.00×10⁻⁶
Fator de raiz cúbica	0.01000
No periélio	0.9833AU
Raio de Hill	0.009837AU
Raio de Hill (km)	1.472×10⁶km
Prógrada estável	7.36×10⁵km
Retrógrada estável	1.03×10⁶km

Estes são os valores que a calculadora mostra ao abrir a página. Altere qualquer entrada acima para os recalcular.

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por que os Júpiteres quentes não têm luas — e onde vive o JWST 🖖

Um Júpiter quente a 0,04 UA tem uma esfera de Hill de apenas ~450.000 km. A zona prógrada estável termina em ~225.000 km — menor que a órbita da Lua ao redor da Terra, de 384.400 km. Qualquer lua que existisse foi varrida durante a migração do planeta para dentro, e nenhuma nova poderia sobreviver ali. É por isso que nunca se confirmou uma exolua ao redor de um Júpiter quente. A mesma geometria explica onde os telescópios espaciais estacionam: os pontos de Lagrange L1 e L2 ficam a quase exatamente um raio de Hill da Terra (~1,5 milhão de km). O JWST orbita L2, o que o coloca bem dentro do limite gravitacional da Terra — longe o suficiente para escapar da interferência atmosférica e térmica, perto o suficiente para que a gravidade da Terra o mantenha ligado contra as perturbações solares. A esfera de Hill não é apenas um limite teórico; é o endereço do nosso observatório mais poderoso.

Onde o domínio de um planeta vence o do Sol 🖖

Uma lua vive num cabo de guerra: seu planeta a puxa para perto enquanto o Sol, muito mais massivo, tenta arrancá-la. A esfera de Hill marca onde o planeta vence — dentro dela as órbitas podem ser estáveis; fora, o satélite se afasta para sua própria trajetória ao redor do Sol. O raio cresce apenas com a raiz cúbica da razão de massas, por isso muda devagar. Como regra prática, uma lua em órbita prógrada normal só permanece segura até cerca de metade do raio de Hill, e é por isso que as luas reais se aglomeram bem dentro do limite.

Luas que orbitam ao contrário sobrevivem mais longe 🖖

Por incrível que pareça, uma lua que gira ao contrário — retrógrada, no sentido oposto ao do planeta — permanece estável até cerca de 0.7 do raio de Hill, enquanto uma prógrada se solta passado cerca de 0.5. O movimento invertido suaviza o puxão repetido do Sol a cada órbita. Não é mera curiosidade: quase todas as luas externas distantes de Júpiter e Saturno são retrógradas, justamente porque só essas órbitas amplas perduram.

Problema resolvido na íntegra

Limite onde algo ainda pode orbitar a Terra em vez do Sol 5 passos
A que distância da Terra é que algo ainda pode orbitar a Terra em vez de ser capturado pelo Sol — e estará a Lua bem dentro desse limite? Terra: m = 5.972 × 10²⁴ kg, a = 1 AU, e = 0.0167. Sol: M = 1.989 × 10³⁰ kg.
1. O raio de Hill é onde a atração de um planeta sobre um corpo pequeno se iguala à força de maré do Sol a essa distância. A raiz cúbica é a marca desse equilíbrio: é a razão entre duas massas elevada à potência de um terço, porque a gravidade diminui com o inverso do quadrado enquanto o termo de maré não o faz.
  
  $r_{H} \approx a (1 - e) 3 \frac{m}{3 M}$
2. Calcule primeiro a razão de massas — esta é a grandeza que a calculadora acima apresenta como “mass ratio”, e note que é m/3M, e não m/M.
  
  $\frac{m}{3 M} = \frac{5.972 \times 1 0 ^{24}}{3 ( 1.989 \times 1 0 ^{30} )} = 1.00 \times 1 0^{- 6}$
3. Extraia a raiz cúbica. Note como a raiz cúbica comprime brutalmente: um milionésimo torna-se um centésimo, pelo que a esfera de influência da Terra é cerca de 1% da sua distância ao Sol, embora a Terra tenha um milionésimo da massa do Sol.
  
  $3 1.00 \times 1 0^{- 6} = 0.01000$
4. Multiplique pela distância do periélio — o ponto mais próximo da órbita, porque é aí que o Sol compete mais fortemente e onde, por isso, o limite é menor.
  
  $r_{H} = 1 AU \times (1 - 0.0167) \times 0.01000 = 0.009837 AU = 1.472 \times 1 0^{6} km$
5. Agora teste a Lua em relação a esse valor. As órbitas progradas só são estáveis até cerca de metade do raio de Hill, portanto essa é a linha que a Lua tem de superar.
  
  $r_{Moon} = 3.84 \times 1 0^{5} km = 0.26 r_{H} < 0.5 r_{H}$
Resposta

1.472 × 10⁶ km, e a Lua a 3.84 × 10⁵ km encontra-se a 0.26 desse valor — confortavelmente dentro até do limite mais rigoroso de meia esfera de Hill para órbitas progradas. A raiz cúbica é a razão pela qual isto funciona: é uma função de tal forma compressiva que um planeta com um milionésimo da massa da sua estrela ainda domina uma região 1% tão vasta quanto a sua órbita. É também por isso que a captura é rara e porque as luas irregulares distantes são todas retrógradas — as órbitas retrógradas permanecem estáveis até cerca de 0.7 r_H, mais longe do que as progradas.

$r_{H} = a (1 - e) 3 \frac{m}{3 M} = 1.472 \times 1 0^{6} km$

Referências (2)

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-07-08

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Problemas de exemplo

Terra ao redor do Sol - A Terra ao redor do Sol produz um raio de Hill próximo de 0.01 UA, estabelecendo um limite aproximado para satélites estáveis.
Júpiter ao redor do Sol - Júpiter tem uma esfera de Hill muito grande, capaz de sustentar muitas luas distantes.
Lua ao redor da Terra - A Lua ao redor da Terra tem uma esfera de Hill muito menor, o que limita a estabilidade de longo prazo de sub-satélites.
Júpiter quente em órbita próxima - Júpiteres quentes em órbitas próximas têm esferas de Hill compactas, dificultando a retenção de luas em órbitas largas.