Discador matemático de endereços Stargate

Clique nos glifos do teclado para construir um endereço, depois pressione Discar para ver o portal travar cada chevron. O painel de matemática mostra quantos endereços ordenados o conjunto de 39 símbolos pode produzir.

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Lição

A teoria — Discador matemático de endereços Stargate

Um endereço de portal é uma seleção ordenada sem repetição — uma permutação. A ordem importa (os mesmos símbolos marcados numa sequência diferente são um endereço diferente) e nenhum símbolo se repete, que é exatamente o caso contado por P(n, k) = n! / (n − k)!.

O que significa cada símbolo

n: o número de símbolos disponíveis no anel: 39.
k: quantos são marcados: 7.
P(n, k): a contagem de seleções ordenadas, 39! / 32! = 77,519,922,480.
destinations: a contagem menor, 1,987,690,320 — endereços que realmente vão para algum lado, uma vez reservado um dos sete.

De onde vem a fórmula

Contar a marcação diretamente. O primeiro símbolo tem 39 opções; o segundo tem 38, porque nenhum símbolo se repete; o terceiro 37, e assim sucessivamente para sete escolhas.
Multiplicando: 39 × 38 × 37 × 36 × 35 × 34 × 33. Escrito com fatoriais isto é 39! / 32!, já que o 32! final é precisamente a parte não utilizada — que é a fórmula apresentada acima, = 77,519,922,480.
Agora fixe o último glifo como o ponto de origem, e apenas seis ficam livres dos 38 restantes: P(38, 6) = 38 × 37 × 36 × 35 × 34 × 33 = 1,987,690,320. Esse é o segundo número, e é exatamente o primeiro dividido por 39.

Como ler o que vê

Duas contagens lado a lado com a fórmula entre elas. O aspeto interessante é a sua razão: o valor dos destinos é o total dividido por exatamente 39, o que é a assinatura aritmética de ter reservado uma das sete posições.

Pressupõe: Que nenhum símbolo se repete e que a ordem importa. Se omitir a primeira condição, elevaria 39 à sétima potência; se omitir a segunda, estaria a contar combinações, o que para 7 em 39 é menor por um fator de 7! = 5040.
Falha quando: Contagens elevadas dão uma falsa sensação de grandeza a uma pesquisa. Quase dois mil milhões de endereços parecem uma galáxia inesgotável, mas uma contagem de permutações não diz nada sobre quantos são válidos — a maioria das sequências não apontaria para lado nenhum, tal como a maioria das sequências de sete letras não são palavras. Contar as possibilidades é a metade fácil; saber quais têm significado é a metade difícil, e nenhum fatorial lho dirá.

Por que permutações e não combinações? 🖖

Um endereço Stargate não é um conjunto de símbolos, é uma sequência — o chevron 1 trava primeiro, o chevron 2 em seguida, e assim por diante, então discar os mesmos sete glifos em outra ordem traça um caminho de rotação física completamente diferente e, pela lógica da própria série, um destino diferente. Essa é exatamente a distinção entre permutações e combinações: escolher quais 7 dos 39 glifos usar é um problema de combinação, mas o próprio processo de discagem é uma permutação, e existem 7! = 5.040 formas de reordenar um mesmo conjunto de 7 símbolos. Esse fator de 5.040 é o motivo pelo qual P(39, 7) supera muito C(39, 7) — a ordem não é um detalhe técnico aqui, é todo o mecanismo sobre o qual a rede fictícia de portais funciona.

O sétimo glifo diz 'você está aqui' 🖖

Na lógica da série, apenas seis glifos escolhem o destino; o sétimo é o ponto de origem — um símbolo fixo que identifica o portão de onde você disca, como o remetente num envelope. Por isso o painel mostra dois números: o total de endereços P(39, 7) e as variantes de destino P(38, 6), que ignoram a posição de origem. A consequência elegante: o total é exatamente 39 vezes o número de destinos, já que qualquer um dos 39 glifos poderia ocupar esse marcador de origem.

Sete chevrons mal cobrem a galáxia 🖖

A rede de portais abrange a Via Láctea, com cerca de 10¹¹ a 4×10¹¹ estrelas estimadas. Ainda assim, um endereço de 7 glifos gera apenas P(39, 7) ≈ 7.75×10¹⁰ possibilidades — menos que as estrelas da galáxia, então sete chevrons não conseguem dar a cada estrela seu próprio endereço. Troque a ferramenta para 8 chevrons e o número salta por um fator de 32 para cerca de 2.48×10¹², enfim superando o censo estelar. Esse chevron extra não é enfeite: é o que torna o espaço de endereços grande o suficiente.

Problema resolvido na íntegra

Soma de verificação para uma predefinição de 7 glifos ponderada por 17( i + 3) 8 passos
A predefinição 7 glifos (estável) marca 3, 9, 17, 21, 28, 35, 1. O painel pondera o glifo na posição i — contando a partir de zero — por 17(i + 3), soma e reduz mod 97. Calcule a soma de controlo à mão; depois, decida se marcar dois desses glifos na ordem inversa poderia alguma vez passar despercebido.
1. Escreva primeiro os pesos, pois tudo o que se segue é aritmética sobre eles. Sete posições, sete pesos, e aumentam em passos de exatamente 17 — essa regularidade é todo o motor da demonstração no final.
  
  $w_{i} = 17 (i + 3), i = 0, \dots, 6 : 51, 68, 85, 102, 119, 136, 153$
2. Multiplique o número de cada glifo pelo peso da respetiva posição e some. Nada é modular ainda; trata-se de uma soma ordinária, e o 17 poderia ser colocado em fator comum em todos os termos, se preferisse.
  
  $i = 0 \sum 6 v_{i} w_{i} = 3 (51) + 9 (68) + 17 (85) + 21 (102) + 28 (119) + 35 (136) + 1 (153) = 12, 597$
3. Divida agora por 97 e guarde o resto: 129 vezes o 97 cabem inteiramente em 12 597 e deixam 84. É esse o valor indicado no painel Soma de controlo (mod 97), e é o último número que esta dedução retira da ferramenta; tudo o que se segue é seu.
  
  $12, 597 = 129 \times 97 + 84 ⟹ C = 12, 597 mod 97 = 84$
4. Eis a pergunta a que o painel não consegue responder. Troque os glifos nas posições i e j: todos os outros termos na soma permanecem inalterados, pelo que o total varia apenas por uma quantidade — os dois glifos trocaram de peso. Desenvolva a expressão e a diferença dos pesos reduz-se a 17(i − j), porque os pesos formam uma progressão aritmética com razão 17.
  
  $Δ = (v_{j} w_{i} + v_{i} w_{j}) - (v_{i} w_{i} + v_{j} w_{j}) = (v_{j} - v_{i}) (w_{i} - w_{j}) = 17 (i - j) (v_{j} - v_{i})$
5. Teste essa fórmula em vez de confiar nela. As posições 0 e 1 contêm 3 e 9, logo Δ = 17(0 − 1)(9 − 3) = −102, e −102 deixa 92 mod 97 — prevendo 84 + 92 = 176, que é 79. Peça à ferramenta os mesmos sete glifos com os dois primeiros trocados, ?address=9,3,17,21,28,35,1, e o painel indica 79.
  
  $i = 0, j = 1 : Δ = 17 (- 1) (9 - 3) = - 102 \equiv 92, C^{'} = 84 + 92 = 176 \equiv 79 (mod 97)$
6. Para que uma troca passe despercebida, Δ tem de ser não apenas pequeno, mas zero mod 97 — a soma de controlo tem de voltar a ser 84. Assim, 97 tem de dividir 17(i − j)(v_j − v_i). O número 97 é primo e não divide 17, e um produto é múltiplo de um número primo apenas se um dos seus fatores já o for: logo, 97 tem de dividir a diferença entre posições ou a diferença entre glifos por si só.
  
  $Δ \equiv 0 (mod 97) ⟺ 97 ∣ 17 (i - j) (v_{j} - v_{i}), g cd (17, 97) = 1 \Rightarrow 97 ∣ (i - j) \lor 97 ∣ (v_{j} - v_{i})$
7. Nenhuma das duas o pode fornecer. Duas posições diferentes distam no máximo 8 entre si, porque existem no máximo nove chevrons; dois glifos diferentes escolhidos de 1 a 39 diferem no máximo 38. Ambas as diferenças são não nulas e ambas são menores que 97, pelo que Δ nunca é 0 mod 97. Nenhuma transposição de dois glifos é invisível para esta soma de controlo — nem para este endereço, nem para qualquer endereço que se possa marcar, porque nove chevrons é o que mantém a diferença entre posições abaixo de 97. Forneça à ferramenta um endereço mais longo através do URL e essa garantia é a primeira coisa a desaparecer.
  
  $1 \leq ∣ i - j ∣ \leq 8 < 97, 1 \leq ∣ v_{j} - v_{i} ∣ \leq 38 < 97 ⟹ Δ \neq \equiv 0 (mod 97)$
8. Detetar todas as transposições não é o mesmo que certificar o endereço, e é aqui que o painel discretamente promete mais do que cumpre. Das 5 039 outras ordenações destes mesmos sete glifos, 62 também resultam em 84 — quando 97 compartimentos iguais dariam cerca de 52. Aproximadamente uma em cada cem ordens erradas é lida como correta. Rejeita o erro de marcação mais comum e nada mais.
  
  $7! - 1 = 5, 039, # {C = 84} - 1 = 62, \frac{62}{5 , 039} = 1.23% \approx \frac{1}{97} = 1.03%$
Resposta

84 — e nenhuma troca de dois glifos pode alguma vez mantê-la em 84. No entanto, essa garantia é um limite, não uma propriedade de somas de controlo: só se mantém enquanto 97 for maior do que a maior diferença entre posições e a maior diferença entre glifos. Amplie o anel para 98 glifos e ela falha de imediato — 1, 98, 17, 21, 28, 35, 3 e 98, 1, 17, 21, 28, 35, 3 produzem ambos 35, porque a sua diferença de 97 é aniquilada pelo módulo (calculado aqui; o anel da ferramenta para em 39). É precisamente por isso que os dígitos de controlo do IBAN são calculados mod 97 em vez de mod 10: escolha um primo maior do que qualquer variação possível no campo e todas as transposições serão forçadas a revelar-se. A ferramenta calcula a soma de controlo e nada diz sobre o que ela deteta, e o valor de 62 em 5 039 é a segunda coisa que nunca calcula — aquela que nos faz deixar de confiar no painel.

$C = (i \sum 17 (i + 3) v_{i}) mod 97 = 84, Δ = 17 (i - j) (v_{j} - v_{i}) \neq \equiv 0 (mod 97)$

Referências (1)

Ordered selections without repetition, which is what P(n, k) counts: I. Niven, "Permutations and Combinations," in Mathematics of Choice: How to Count Without Counting, 7–26. Mathematical Association of America.

Pela equipa 42Math · Atualizado 2026-06-07

Verificado com fontes publicadas. Correções bem-vindas. Política editorial · Correções

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Problemas de exemplo

7 glifos (estável) - O endereço padrão de 7 símbolos — 6 glifos de destino mais o seu ponto de origem — é a espinha dorsal da rede Stargate. De um conjunto de 39 símbolos existem 77,519,922,480 endereços ordenados possíveis: troque a posição de dois glifos e você discará para um planeta completamente diferente.
Terra → Abydos - O primeiríssimo endereço de portal discado nas telas: da Terra para Abidos, o mundo desértico do filme de 1994 e do piloto de SG-1. Mesma estrutura de 7 glifos de qualquer endereço padrão — é a ordem travada chevron por chevron que realmente codifica o destino.
8 glifos (longo alcance) - Acrescente um 8º glifo para um endereço de longo alcance e o espaço de endereços explode para 2,480,637,519,360 ordenações possíveis — 32× maior que a rede padrão de 7 símbolos, já que cada chevron extra multiplica a contagem por mais um símbolo disponível.
Manual (6 glifos) - Seis glifos, sem ponto de origem: P(39, 6) = 2.349.088.560 endereços ordenados. Adicione o sétimo chevron e a contagem se multiplica por 33, não por 39. O último símbolo é escolhido a partir do que os seis primeiros deixaram no anel, e esse grupo cada vez menor constitui a totalidade do fatorial decrescente no painel acima.