Schwarzes-Loch-Rechner

Gib eine Masse in Sonnenmassen ein, um die Geometrie und Thermodynamik Schwarzer Löcher zu erkunden — von Mikro-Schwarzen-Löchern bis zu supermassereichen Quasar-Triebwerken.

Rechenbeispiel — Schwarzes-Loch-Rechner

Schwarzschild	29.5 km
Photonensphäre	44.3 km
ISCO	88.6 km
Hawking-Temp.	6.17 nK

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Nichts, was hineinfällt, geht verloren – es wird nur verwürfelt 🖖

1974 zeigte Hawking, dass Quanteneffekte nahe dem Ereignishorizont Schwarze Löcher thermisch strahlen lassen — als wären sie ein Schwarzer Körper mit der Temperatur T_H ∝ 1/M. Während das Loch strahlt, verliert es Masse und schrumpft, bis es schließlich vollständig verdampft. Doch hier liegt das Paradoxon: thermische Strahlung trägt keine Information darüber, was hineingefallen ist. Die Quantenmechanik verlangt, dass Information niemals zerstört wird — doch Hawkings Rechnung scheint sie auszulöschen. Dies ist das Informationsparadoxon Schwarzer Löcher. Jahrzehntelange Debatten brachten keine Lösung, bis neuere Arbeiten zu 'Inseln' und der Page-Kurve nahelegten, dass Information möglicherweise in subtilen Quantenkorrelationen der Hawking-Strahlung selbst kodiert ist — einer Verschränkungsstruktur, die für lokale Beobachter unsichtbar ist. Das Paradoxon ist nicht vollständig gelöst, doch der aktuelle Konsens lautet, dass die Unitarität erhalten bleibt: Information entkommt, kodiert auf eine Weise, die eine vollständige Theorie der Quantengravitation zur Entschlüsselung erfordert.

Eine Zahl bestimmt die gesamte Geometrie 🖖

Ein nicht rotierendes Schwarzes Loch wird vollständig durch seine Masse beschrieben. Kennt man den Schwarzschild-Radius r_s = 2GM/c², folgt jede weitere Kenngröße als festes Vielfaches: die Photonensphäre bei 1.5 r_s, die innerste stabile Umlaufbahn bei 3 r_s. Verdoppelt man die Masse, verdoppeln sich alle mit. Als Schwarzes Loch hätte die Sonne nur ~3 km Durchmesser, die Erde gerade einmal ~9 mm.

Schwarze Löcher werden heißer beim Schrumpfen 🖖

Gewöhnliche Objekte kühlen ab, wenn sie Energie verlieren; Schwarze Löcher tun das Gegenteil. Da T_H ∝ 1/M gilt, wird ein Loch beim Abstrahlen von Masse heißer statt kälter — eine negative Wärmekapazität. Die Verdampfung wird dadurch zum Selbstläufer: Je kleiner das Loch wird, desto schneller strahlt es, und es endet in einem finalen Ausbruch. Deshalb kann ein Schwarzes Loch nie ein stabiles thermisches Gleichgewicht mit einem unbegrenzten Wärmebad erreichen.

Aufgabe vollständig gelöst

Der Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs mit 10 Sonnenmassen 5 Schritte
Finde den Ereignishorizont eines Schwarzen Lochs mit 10 Sonnenmassen und beantworte dann etwas, das absurd klingt: Wie dicht muss ein Schwarzes Loch sein?
1. Nimm das Ergebnis für die Fluchtgeschwindigkeit und frage, wo sie der Lichtgeschwindigkeit entspricht. Dies ist die newtonsche Abkürzung — eine vollständige Herleitung erfordert die Allgemeine Relativitätstheorie — und sie liefert zufällig genau die richtige Antwort, was ein historischer Zufall ist, den man kennen sollte: Michell schrieb dies 1783 auf.
  
  $v_{esc} = \frac{2 GM}{R} = c ⟹ R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}}$
2. Setze zehn Sonnenmassen ein. Der Rechner oben gibt diesen Radius aus, und das auffällige Merkmal ist die Proportionalität und nicht die Zahl: R_s skaliert linear mit der Masse.
  
  $R_{s} = \frac{2 ( 6.674 \times 1 0 ^{- 11} ) ( 10 \times 1.989 \times 1 0 ^{30} )}{( 2.998 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 2.95 \times 1 0^{4} m = 29.5 km$
3. Zwei weitere Radien folgen als feste Vielfache, weshalb das Werkzeug sie zusammen ausgibt: Licht selbst kann bei 1.5R_s kreisen, und keine stabile Kreisbahn existiert innerhalb von 3R_s — diese innere Kante bestimmt die Größe einer Akkretionsscheibe.
  
  $r_{ph} = 1.5 R_{s} = 44.3 km, r_{ISCO} = 3 R_{s} = 88.6 km$
4. Nun die Konsequenz. Dichte ist Masse durch Volumen, und das Volumen steigt mit dem Kubus des Radius, während der Radius proportional zur Masse wächst — die Dichte fällt also mit dem umgekehrten Quadrat der Masse. Größere Schwarze Löcher sind weniger dicht.
  
  $ρ = \frac{M}{\frac{4}{3} π R _{s}^{3}} \propto \frac{M}{M ^{3}} = \frac{1}{M ^{2}}$
5. Drücke es in Zahlen aus. Ein stellares Schwarzes Loch ist dichter als ein Atomkern. Ein supermassereiches ist es nicht.
  
  $M = 10 M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{17} kg/ m^{3} M = 1 0^{8} M_{⊙} : ρ \approx 1.8 \times 1 0^{3} kg/ m^{3}$
Antwort

29.5 km, mit der Photonsphäre bei 44.3 km und der innersten stabilen Umlaufbahn bei 88.6 km. Aber die letzte Zeile ist diejenige, die verändert, wie sich das Objekt anfühlt: Ein Schwarzes Loch mit 10⁸ Sonnenmassen hat eine durchschnittliche Dichte von etwa 1800 kg/m³ — etwas dichter als Wasser, weniger dicht als Eisen. Du könntest den Horizont eines solchen Lochs überqueren, ohne lokal etwas zu bemerken. „Schwarzes Loch“ benennt eine Geometrie, keine Substanz, und der Horizont ist ein Ort, an dem ein Entkommen unmöglich wird, und keine Oberfläche aus irgendetwas.

$R_{s} = \frac{2 GM}{c ^{2}} \propto M ⟹ ρ \propto \frac{1}{M ^{2}}$

Quellen (2)

Insight blocks 1 and 3 — the radiation, and the 1/M temperature that makes evaporation run away: S. W. Hawking, "Black hole explosions?" Nature 248, 30–31, 1974.
The curve block 1 names: D. N. Page, "Information in black hole radiation." Physical Review Letters 71(23), 3743–3746, 1993 — where the entropy of the radiation is argued to turn over rather than rise forever.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Stellar (10 M☉) - Stellares Schwarzes Loch (10 M☉) → Rₛ ~ 29.5 km, Tₕ ~ 6.2 × 10⁻⁹ K
Sgr A* (4×10⁶ M☉) - Der Horizont von Sgr A* liegt bei 0,0790 AU. Das ist ein Fünftel der Strecke von der Sonne zum Merkur. Die Photonensphäre befindet sich bei 0,118 AU, die innerste stabile Kreisbahn bei 0,237 AU. Für einen Menschen am Horizont beträgt die Gezeitenbeschleunigung 1,16 mm/s², was etwa einem Zehntausendstel der Erdschwerkraft entspricht. Du würdest ihn passieren, ohne auch nur das Geringste zu spüren.
TON 618 (6,6×10¹⁰ M☉) - Ein Horizontradius von 0,0206 Lichtjahren, den das Licht in siebeneinhalb Tagen durchquert. Das sind rund 1.300 AU und damit achtmal weiter entfernt als Voyager 1. Die Hawking-Temperatur beträgt 9,35 × 10⁻¹⁹ K und die Verdampfungszeit 6,03 × 10⁹⁹ Jahre. Bei diesem Objekt hat also nichts Eile.
Primordial (10⁻⁸ M☉) - Ein Horizont mit 29,5 μm Durchmesser, kleiner als ein Sandkorn. Dazu eine Hawking-Temperatur von 6,17 K, die über dem Mikrowellenhintergrund von 2,725 K liegt. Das ist die entscheidende Schwelle: Dieses Loch strahlt mehr ab, als es aufnimmt, und kann tatsächlich verdampfen. Jedes Schwarze Loch mit stellarer Masse ist hingegen kälter als der Weltraum und wächst weiter. Gezeitenbeschleunigung am Horizont: 1,85 × 10²⁶ m/s².