Schwarzkörperstrahlungs-Explorer

Passe die Temperatur an, um zu sehen, wie sich Form und Peak-Wellenlänge der thermischen Emission verändern.

Rechenbeispiel — Schwarzkörperstrahlungs-Explorer

Wien-Peak-Wellenlänge	502.04 nm
Spektralband des Peaks	Sichtbar

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Schwarzkörperstrahlungs-Explorer

Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt an, wie hell ein idealer Wärmestrahler bei jeder Wellenlänge leuchtet — aus einer einzigen Zahl: seiner Temperatur. Es lohnt sich nicht nur, weil es stimmt, sondern weil der Weg dorthin die Physik zwang zu akzeptieren, dass Energie in diskreten Paketen kommt. Diese Kurve ist der Ort, an dem das Quantum begann.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

B(λ, T): die spektrale Strahldichte — Helligkeit pro Wellenlängenintervall. Die Kurve auf dieser Seite zeigt nur ihre Form; die Anzeige nennt keinen Strahldichtewert.
λ_max: die Peak-Wellenlänge, die einzige Zahl, die diese Seite ausgibt: 502.04 nm bei 5772 K, 241.48 nm bei 12000 K, 9659.24 nm bei 300 K.
h: das Plancksche Wirkungsquantum. Setzt man es auf null, fällt das Gesetz auf die klassische Vorhersage zurück, die gescheitert ist.
k_B T: die thermische Energieskala. Eine Wellenlänge ist hell, wenn ihr Photon weniger kostet als dieser Betrag, und dunkel, wenn es weit mehr kostet.

Woher die Formel kommt

Zähle, auf wie viele Arten Licht in einem warmen Kasten schwingen kann. Kurze Wellenlängen passen auf weit mehr Arten hinein als lange — die Anzahl wächst wie 1/λ⁴. Die klassische Physik gibt dann jeder einzelnen dieselbe mittlere Energie, k_B T.
Diese Vorhersage ist eine Katastrophe. Ohne kürzeste Wellenlänge wird die gesamte abgestrahlte Energie unendlich — jeder warme Körper, auch du, würde den Raum mit Ultraviolett fluten. Das ist die Ultraviolettkatastrophe, kein Rundungsfehler, sondern ein glatter Widerspruch dazu, dass warme Gegenstände einfach ruhig dastehen.
Plancks Reparatur: Eine Schwingung der Frequenz ν darf Energie nur in ganzen Vielfachen von hν tragen. Kurze Wellenlänge heißt großes hν, und wenn hν die Größe k_B T weit übersteigt, reicht die thermische Energie nicht einmal für ein einziges Paket — diese Mode bleibt dunkel.
Genau das ist der Term e^(hc/λk_B T) − 1 im Nenner des Gesetzes. Er unterdrückt kurze Wellenlängen exponentiell, und dadurch kippt die Kurve, statt endlos zu steigen — und eine Kurve, die kippt, hat ein Maximum. Ableiten und null setzen liefert genau die Wellenlänge, die diese Seite anzeigt.

So liest du, was du siehst

Die Kurve ist auf ihr eigenes Maximum normiert, ihre Höhe trägt also keine Information — jede Temperatur reicht bis an den oberen Rand. Aussagekräftig sind hier nur die Form und die Lage des Maximums. In Wirklichkeit ist ein heißerer Körper bei jeder Wellenlänge heller und nicht bloß blauer, und dieser Unterschied ist in dieser Darstellung bewusst unsichtbar.

Setzt voraus: Einen Körper im thermischen Gleichgewicht bei einer einzigen definierten Temperatur, undurchsichtig, der alles Auftreffende absorbiert und nichts reflektiert. Reale Oberflächen bleiben um einen Faktor namens Emissionsgrad dahinter zurück, der die gesamte Kurve herunterskaliert, ohne ihre Form oder ihr Maximum zu verändern.
Versagt, wenn: Das Plancksche Gesetz beschreibt nur thermische Emission. Eine Leuchtstoffröhre, eine Neonreklame und ein Laser erzeugen Licht, ohne heiß zu sein, und ihre Spektren sind schmale Linien, die diese Kurve bei keiner Temperatur annähert. Die Seite zeigt auch eine leisere Grenze: Lade das Raumtemperatur-Beispiel, und das Maximum wandert auf 9659.24 nm, weit hinter den rechten Rand — die Darstellung zeichnet dann gar keine Peak-Markierung mehr. Die Physik ist unverändert, nur das Fenster ist zu schmal.

Das Maximum der Sonne ist grün 🖖

Lade die Voreinstellung „Sonne“: Das Werkzeug meldet ein Maximum bei 502 nm und färbt sein Farbfeld grün – denn 502 nm ist grünes Licht. Sonnenlicht ist aber weiß. Ein Maximum ist eine einzige Wellenlänge, während dein Auge die ganze Kurve summiert, und ein Planck-Spektrum bei 5772 K liefert beiderseits dieses Maximums reichlich Rot und Blau – gemittelt ergibt das Weiß. Das Farbfeld ist ehrlich zum Maximum und irreführend zum Stern. Im Blick behalten sollte man: Von den vier Voreinstellungen fällt nur das Maximum der Sonne überhaupt in den sichtbaren Bereich; der Glühfaden liegt bei 1035 nm im Infraroten und der 12.000-K-Stern bei 241 nm im Ultravioletten.

Warum alles Warme leuchtet 🖖

Alles oberhalb des absoluten Nullpunkts strahlt Licht ab. Dieses Werkzeug zeigt das Gesetz dahinter: Die Form des Spektrums eines schwarzen Körpers hängt allein von seiner Temperatur ab, nie von seinem Material. Ein Stück Eisen und ein ferner Stern mit derselben Temperatur erzeugen genau dieselbe Kurve. Die Farbe ist ein Thermometer: Von Rotglut bis Blauweiß lässt sich die Temperatur unmittelbar am Leuchten ablesen.

Das Universum ist der perfekte Schwarze Körper 🖖

Der makelloseste je gemessene Schwarze Körper steht in keinem Labor — es ist der gesamte Himmel. Die kosmische Mikrowellen-Hintergrundstrahlung, ein Überbleibsel aus der Zeit rund 380.000 Jahre nach dem Urknall, folgt einem Planck-Spektrum bei T = 2.725 K auf besser als 0.01% genau und erreicht ihr Maximum nahe 1.06×10⁻³ m im Mikrowellenbereich. NASAs Instrument FIRAS fand keine Abweichung größer als wenige Teile in 10⁵ — das älteste Licht der Kosmologie ist zugleich die sauberste thermische Kurve der Physik.

Aufgabe vollständig gelöst

Die Wiensche Konstante aus dem Planckschen Strahlungsgesetz für eine Oberfläche mit 5772 K 6 Schritte
Sonnenlicht stammt von einer 5772 K heißen Oberfläche. Leiten Sie die Wiensche Konstante aus dem Planckschen Strahlungsgesetz ab, anstatt sie nachzuschlagen, bestimmen Sie die Wellenlänge des Maximums — und berechnen Sie dann die Gesamtstrahlungsleistung der Sonne aus denselben zwei Zahlen.
1. Das Plancksche Strahlungsgesetz gibt die Intensität pro Wellenlänge an. Das Maximum liegt dort, wo seine Ableitung verschwindet — differenziert man also, ist das Ergebnis keine gewöhnliche Gleichung.
  
  $B_{λ} (T) = \frac{2 h c ^{2}}{λ ^{5}} \frac{1}{e ^{h c / λk T} - 1}, \frac{\partial B _{λ}}{\partial λ} = 0$
2. Die Substitution der dimensionslosen Größe x = hc/λkT führt die Ableitung auf eine transzendente Gleichung ohne geschlossene Lösung zurück. Eine Iteration ausgehend von x = 5 konvergiert bereits nach wenigen Durchgängen.
  
  $x = \frac{h c}{λk T} : x = 5 (1 - e^{- x}) ⟹ x = 4.9651$
3. Da x eine reine Zahl ist, ist das Produkt λT eine Konstante, die ausschließlich aus h, c und k gebildet wird. Genau deshalb existiert die Wiensche Verschiebungskonstante überhaupt: Keine Eigenschaft des Objekts übersteht die Algebra.
  
  $b = \frac{h c}{4.9651 k} = \frac{1.9864 \times 1 0 ^{- 25}}{6.8555 \times 1 0 ^{- 23}} = 2.8978 \times 1 0^{- 3} m K$
4. Teilen Sie durch die Temperatur. 502 nm liegt im grünen Bereich, worüber es sich nachzudenken lohnt — das Maximum der Sonne liegt im Grünen und sie wirkt dennoch weiß, weil das Auge die gesamte Kurve integriert, anstatt nur ihr Maximum anzuzeigen.
  
  $λ_{m a x} = \frac{b}{T} = \frac{2.8978 \times 1 0 ^{- 3}}{5772} = 5.0204 \times 1 0^{- 7} m = 502.04 nm$
5. Die Fläche unter derselben Planckschen Kurve entspricht dem Stefanschen Gesetz, und die vierte Potenz macht Sterne so unerbittlich: 10 % heißer bedeutet 46 % heller.
  
  $F = σ T^{4} = 5.6704 \times 1 0^{- 8} \times 577 2^{4} = 6.294 \times 1 0^{7} W/ m^{2}$
6. Multiplizieren Sie mit der Oberfläche. Das ist die Leuchtkraft der Sonne, und sie stimmt auf die angegebenen Ziffern genau mit dem gemessenen Wert überein.
  
  $L = 4 π R_{⊙}^{2} F = 6.082 \times 1 0^{18} \times 6.294 \times 1 0^{7} = 3.828 \times 1 0^{26} W$
Antwort

502,04 nm und 3,83 × 10²⁶ W. Die zweite Zahl ist die erstaunliche: Die Farbe des Sonnenlichts und der Sonnenradius genügen, um die Leuchtkraft der Sonne auf vier signifikante Stellen zu bestimmen — ohne eine einzige Helligkeitsmessung in der gesamten Kette. Genau deshalb funktioniert stellare Astrophysik. Ein Stern ist zu weit entfernt, um ihn zu wiegen, und zu hell, um sich ihm zu nähern; doch sein Spektrum liefert die Temperatur, die Winkelgröße liefert den Radius, und das Stefansche Gesetz wandelt beides in ein Energiebudget um — woraus sich die Lebensdauer auf der Hauptreihe und letztlich eine Supernova ergeben.

$λ_{m a x} = \frac{b}{T} = 502.04 nm; 4 π R_{⊙}^{2} σ T^{4} = 3.828 \times 1 0^{26} W$

Quellen (3)

The distribution the curve is drawn from: M. Planck, "Ueber das Gesetz der Energieverteilung im Normalspectrum." Annalen der Physik 309(3), 553–563, 1901.
The 5772 K solar effective temperature the Sun preset uses: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.
The Wien displacement constant used to place the peak marker: E. Tiesinga, P. J. Mohr, D. B. Newell and B. N. Taylor, "CODATA recommended values of the fundamental physical constants: 2018." Reviews of Modern Physics 93(2), 025010, 2021.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-11

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Zimmertemperatur - Bei 300 K liegt das Maximum bei 9659 nm, also 9,7 Mikrometern. Das ist tief im Infrarot und genau der Bereich, für den Wärmebildkameras gebaut sind.
Sonnenähnliche Photosphäre - Bei 5772 K liegt das Maximum bei 502 nm. Nur bei dieser Voreinstellung fällt es überhaupt in den sichtbaren Bereich. Das Werkzeug färbt das Feld grün; Sonnenlicht ist weiß.
Heißer O/B-Stern - Bei 12000 K liegt das Maximum mit 241 nm im Ultravioletten. Der Stern erscheint trotzdem blauweiß, denn dein Auge sieht den Ausläufer der Kurve und nicht ihr Maximum.
Glühfaden - Bei 2800 K liegt das Maximum mit 1035 nm jenseits des roten Endes des sichtbaren Spektrums. Eine Glühlampe ist hauptsächlich eine Infrarotheizung, die nebenbei sichtbar glüht.