Lektion
Die Theorie — Vergleich der Sternleuchtkraft
Leuchtkraft ist die gesamte Strahlungsleistung — jedes Watt, das ein Stern in alle Richtungen gleichzeitig abstrahlt. Sie gibt nicht an, wie hell der Stern erscheint: Die scheinbare Helligkeit nimmt mit der Entfernung ab, die Leuchtkraft hingegen nicht.
Was die einzelnen Symbole bedeuten
L- die Leuchtkraft des Sterns, hier sowohl als Vielfaches der Sonnenleuchtkraft als auch in Watt angegeben.
R- der Radius des Sterns. Er geht quadratisch ein, da die Oberfläche strahlt und der Flächeninhalt proportional zu
R²ist. T- die Effektivtemperatur der Oberfläche in Kelvin. Sie geht nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz mit der vierten Potenz ein.
L☉- der solare Index, der als Einheit verwendet wird. Die hier hinterlegten Werte sind die nominellen IAU-Standardwerte:
L☉ = 3.828 × 10²⁶ WundT☉ = 5772 K.
So liest du, was du siehst
Zwei Panels, und auf deren Reihenfolge kommt es an. Das erste gibt die Leuchtkraft als Verhältnis zur Sonne an, direkt aus (R/R☉)²(T/T☉)⁴ — bei den Standardwerten ergibt das 1 · 1 = 1 L☉. Erst das zweite rechnet das Verhältnis durch Multiplikation mit L☉ = 3.828 × 10²⁶ W in Watt um. Das Verhältnis benötigt keinerlei Naturkonstanten; die Angabe in Watt hingegen schon.
- Setzt voraus
- Eine Kugel, die als idealer Schwarzer Körper bei einer einheitlichen Temperatur strahlt. Reale Sterne weisen eine Randverdunkelung auf, sind durch Rotation abgeflacht und von Flecken bedeckt — und die effektive Temperatur ist per Definition die Temperatur eines Schwarzen Körpers, die die beobachtete Leistung erzeugen würde. Somit gilt das Gesetz der vierten Potenz hier per Definition und nicht durch Messung.
- Versagt, wenn
- Nichts hier berücksichtigt, was sich zwischen dem Stern und dem Teleskop befindet: Interstellarer Staub schwächt das Licht ab und rötet es, sodass eine aus der beobachteten Helligkeit abgeleitete Leuchtkraft eine Extinktionskorrektur benötigt, die auf dieser Seite nicht modelliert wird. Und der Radius eines Sterns ist keine Oberfläche, auf der man stehen könnte — er beschreibt die Tiefe, ab der das Gas aufhört, undurchsichtig zu sein.
Übung
Prüfe dich selbst
Sage die Antwort zuerst voraus und probiere es dann oben aus. Zeige die Lösung erst, wenn du dich entschieden hast — genau das macht es zur Übung.
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Stelle die Temperatur auf die Hälfte der solaren,
2886 K. Wie groß müsste der Stern sein, um weiterhin genau1 L☉abzustrahlen — und wo auf der Seite steht das Umtauschverhältnis ausdrücklich?Antwort anzeigen
R = 4 R☉, und die Aufschlüsselung zeigt warum:16 · 0.063 = 1 L☉. Der Radiusterm gewinnt genau den Faktor 16, den der Temperaturterm verliert. Das Umtauschverhältnis steht im Feld Local sensitivity —+1% T → +4% Lgegenüber+1% R → +2% L—, ein Prozent Temperatur ist also zwei Prozent Radius wert, und eine halbierte Temperatur auszugleichen erfordert den vierfachen Radius, nicht den doppelten. -
Stelle nun den Radius auf
10 R☉bei solarer Temperatur, was ein Verhältnis von100ergibt. Was steht in der Magnituden-Zeile, und warum ist die Zahl so glatt?Antwort anzeigen
Genau−5.00. Die Magnitudenskala ist so definiert, dass fünf Größenklassen einem Faktor 100 entsprechen:ΔM = −2.5 log₁₀(L/L☉), undlog₁₀(100) = 2. Deshalb ist eine einzelne Größenklasse das unhandliche100^(1/5) ≈ 2.512und nichts Glatteres — die runde Zahl wurde beim Faktor 100 gesetzt und musste irgendwo herkommen. Auch das Vorzeichen ist bemerkenswert: heller ist kleiner, ein Stern mit dem 100-Fachen der Sonne liegt also fünf Größenklassen darunter.
Aufgaben vollständig gelöst
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Leuchtkraft und Magnitudendifferenz von Rigel bei 78,9 Sonnenradien 6 Schritte
Rigel: 78,9 Sonnenradien bei 12.100 K. Berechnen Sie seine Leuchtkraft und seinen Helligkeitsabstand und geben Sie an, welche der beiden Eingangsgrößen Sie lieber genau messen würden. Dies ist der Zustand Rigel.
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Das gesamte Werkzeug beruht auf einer einzigen Gleichung: dem durch sich selbst dividierten Stefanschen Gesetz. Bis auf die beiden Verhältnisse kürzt sich alles heraus.
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Werten Sie die Faktoren getrennt aus, denn entscheidend ist, wie ungleich sie sind. Der Radius trägt drei Größenordnungen bei, die Temperatur kaum mehr als eine.
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Multiplizieren Sie die Faktoren und skalieren Sie anschließend mit der Sonnenleuchtkraft, um den dimensionslosen Bereich zu verlassen.
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Größenklassen entsprechen dem −2,5 log₁₀ eines Flussverhältnisses; ein Faktor von 120.000 bedeutet somit eine um 12,7 Größenklassen höhere Helligkeit. Das Minuszeichen entspricht der astronomischen Konvention, dass heller kleiner bedeutet.
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Die Zeilen für die Empfindlichkeit sind lediglich die Exponenten, interpretiert als Elastizitäten. Das ist die nützliche Form, wenn Sie entscheiden müssen, was gemessen werden soll.
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Drückt man das Verhältnis als Dauer aus, wird es greifbar.
Antwort
Die Temperatur um den Faktor zwei, der Radius hingegen um den Faktor dreihundert. Darin liegt kein Widerspruch: Das eine ist ein relativer, das andere ein absoluter Fehler. Im Stefan-Boltzmann-Gesetz hat die Temperatur den Exponenten 4, der Radius den Exponenten 2. Ein Fehler von 1 % bei T wirkt sich deshalb doppelt so stark aus wie ein Fehler von 1 % bei R. Genau diese Empfindlichkeit zeigt die Anzeige. Rigels Radius beträgt jedoch 78,9 Sonnenradien, seine Temperatur nur das 2,1-Fache der Sonnentemperatur. Daher trägt der Radiusfaktor 6.225 von 120.000 bei, der Temperaturfaktor lediglich 19,3. Am Exponenten erkennst du, welche Messgröße besondere Sorgfalt verlangt; am Wert siehst du, woher die Strahlungsleistung tatsächlich stammt. Rigel strahlt an einem Tag so viel Energie ab wie die Sonne in 329 Jahren.
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Leuchtkraft von Proxima Centauri bei 0,1542 Sonnenradien und 3042 K 5 Schritte
Proxima Centauri: 0,1542 Sonnenradien bei 3042 K. Bestimmen Sie seine Leuchtkraft und überprüfen Sie dann die Skala der Größenklassen durch Vergleich mit Rigel. Dies ist der Zustand Proxima Centauri.
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Dieselben zwei Faktoren, beide nun kleiner als eins. Beachten Sie, dass das Temperaturverhältnis kaum die Hälfte beträgt und dennoch einen Faktor dreizehn ausmacht, da es hoch vier genommen wird.
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Das Produkt beträgt 1,834 × 10⁻³ der Sonne – 1 Teil von 545 –, weshalb der uns nächstgelegene Stern ohne Teleskop unsichtbar ist.
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Eine Leuchtkraft unter eins ergibt einen positiven Helligkeitsabstand – der Stern ist um 6,84 Größenklassen schwächer als die Sonne.
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Nun die Gegenprobe: Bilden Sie direkt das Verhältnis der beiden Leuchtkräfte.
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Bilden Sie anschließend die Differenz der beiden Größenklassen und machen Sie den Logarithmus rückgängig. Beide Wege müssen zum selben Ergebnis führen, und diese Übereinstimmung zeigt, dass die Skala der Größenklassen nichts weiter als ein Logarithmus ist.
Antwort
1,834 × 10⁻³ L☉, und Rigel überstrahlt ihn um das 6,55 × 10⁷-Fache. Die Überprüfung ist der wesentliche Punkt: Die beiden Helligkeitsabstände betragen −12,70 und +6,84, was einer Differenz von 19,54 Größenklassen entspricht, und 1019,54/2,5 ergibt 6,55 × 10⁷ – dieselbe Zahl, die sich direkt aus den Leuchtkräften ergibt. Das ist kein Zufall, sondern die Definition; die Skala der Größenklassen wurde im zweiten Jahrhundert v. Chr. an die Empfindlichkeit des menschlichen Auges angepasst und 1856 auf genau fünf Größenklassen pro Faktor 100 formalisiert. Bei Proxima wirken beide Faktoren nach unten – Radius und Temperatur gemeinsam –, weshalb ein Stern mit einem 6,5-fach kleineren Sonnenradius letztlich 545-mal schwächer leuchtet.
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Lernpfad
Wie weit ist es entfernt?
Quellen (1)
- Where L☉ = 3.828 × 10²⁶ W and T☉ = 5772 K come from — the IAU 2015 nominal values this page uses: A. Prša et al., “Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3.” The Astronomical Journal 152, 41, 2016.