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Bloch-Kugel-Explorer

Ein-Qubit-Zustände, Basismessungen und Gatter-Rotationen auf der Bloch-Kugel

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Bei δ = π löschen sich die beiden Hälften exakt aus 🖖

Auf dem Äquator ist der Zustand eine gleichmäßige Aufteilung von |0⟩ und |1⟩, eine Z-Messung ist also ein Münzwurf, ganz gleich was die Phase tut. Trotzdem entscheidet die Phase alles – sie zeigt sich nur in der X- und Y-Basis. Das Zeiger-Panel macht es sichtbar: Es zeichnet A = 1 + eiδ und lässt δ von selbst durchlaufen, als Animation und nicht als Bedienelement. Die Amplitude ist |A| = 2cos(δ/2), die Wahrscheinlichkeit folgt also cos²(δ/2): volle 100 % bei δ = 0, genau 50 % bei δ = π/2 und eine saubere Null bei δ = π, wo zwei Einheitszeiger in entgegengesetzte Richtungen weisen und sich zu nichts addieren. Gleiche Besetzungen, entgegengesetztes Ergebnis – diese Auslöschung ist die Ressource, die jeder Quantenalgorithmus ausgibt.

Ein Qubit passt auf einen Globus 🖖

Der gesamte Zustand eines einzelnen Qubits ist nur ein Punkt auf der Oberfläche dieser Kugel. Der Nordpol ist |0⟩, der Südpol ist |1⟩, und alles dazwischen ist eine Superposition. Der Breitengrad (θ) legt fest, wie sich die Wahrscheinlichkeiten zwischen 0 und 1 aufteilen — die Pole bedeuten Gewissheit, der Äquator eine 50/50-Münze —, während der Längengrad (φ) die Phase bestimmt. Praktisch heißt das: Eine Messung in der Z-Basis fragt einfach, zu welcher Hemisphäre dein Punkt neigt.

720° bis man wieder daheim ist 🖖

Beachte den halben Winkel: Der Zustand verwendet cos(θ/2), nicht cos(θ). Dieser Faktor zwei ist das Kennzeichen einer tiefen Verbindung — 3D-Drehungen bilden die Gruppe SO(3), doch der wahre Zustandsraum eines Qubits ist SU(2), die sich zweimal um sie windet. Die Folge ist verblüffend: Dreht man ein Qubit volle 360°, kippt sein Zustandsvektor zu -|ψ⟩, statt zurückzukehren; erst eine zweite Umdrehung, volle 720°, stellt ihn wieder her. Jedes Elektron zeigt dieses Spinor-Verhalten, veranschaulicht durch Diracs Gürteltrick.

Aufgabe vollständig gelöst

  1. Ein Qubit bei θ = 90°, das wie eine Münze 50/50 liefert 5 Schritte

    Ein Qubit bei θ = 90° zeigt 50/50. Das sieht aus wie eine Münze. Finden Sie heraus, warum das nicht so ist — und wo die Gewissheit geblieben ist.

    1. Ein reiner Qubit-Zustand besteht aus zwei Winkeln auf einer Kugel. θ bestimmt, wie sich die Wahrscheinlichkeit zwischen |0⟩ und |1⟩ aufteilt; φ legt eine Phase fest, die die Z-Messung überhaupt nicht sehen kann.

    2. Bei θ = 90° sind die beiden Kosinusse gleich, sodass beide Ergebnisse genau die Hälfte betragen. In der Z-Basis gemessen ist dies tatsächlich nicht von einer fairen Münze zu unterscheiden.

    3. Aber der Zustand enthält mehr als diese zwei Wahrscheinlichkeiten. Der Bloch-Vektor zeigt entlang +x, und seine Länge ist 1.

    4. Länge 1 bedeutet, dass der Zustand rein ist — er liegt auf der Oberfläche der Kugel. Eine echt zufällige Münze wäre ein gemischter Zustand im Zentrum mit der Länge 0, und beide ergeben 50/50 in Z.

    5. Der Unterschied zeigt sich in einer anderen Basis. Dieser Zustand ist |+⟩, und eine Messung entlang x liefert jedes Mal mit Gewissheit +.

    Antwort

    Das Werkzeug gibt 50,00% für beide Ergebnisse mit einem Bloch-Vektor von (1, 0, 0) aus. Die Lehre daraus ist, dass 50/50 eine Aussage über die gewählte Basis ist, nicht über den Zustand. Eine Münze ist in jeder Basis zufällig; dieses Qubit ist in einer Basis zufällig und in einer anderen vollständig bestimmt, und auf der Oberfläche der Kugel wird genau dieser Unterschied sichtbar. Schalten Sie die Basisauswahl von Z auf X um und beobachten Sie, wie derselbe Zustand 100/0 anzeigt, ohne dass sich irgendetwas an ihm geändert hat.

Quellen (2)
  • The sphere and the vector picture it is named for: F. Bloch, "Nuclear Induction." Physical Review 70(7–8), 460–474, 1946.
  • Single-qubit states, the half-angle, and interference in the X/Y bases: M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th anniversary edition, §1.2 and §4.2. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-1-107-00217-3.

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