Fraktal-Explorer

Passe die Rekursionstiefe an und beobachte, wie selbstähnliche Muster aus einfachen Regeln entstehen.

Rechenbeispiel — Fraktal-Explorer

Tiefe	5
Dreiecke	243

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Fraktal-Explorer

Eine fraktale Dimension entsteht, wenn man darauf besteht, dass „Dimension“ heißen soll: wie stark sich Details beim Hineinzoomen vervielfachen — und das dann auf eine durch Wiederholung gebaute Form anwendet. Das Feld nennt sie für die gerade gezeigte Form, und die Zahlen sind nicht ganz: die Koch-Schneeflocke hat 1.262, das Sierpiński-Dreieck 1.585, die Cantor-Menge 0.631. Eine Form kann mehr sein als eine Linie und weniger als eine Fläche, und dieses Menü enthält acht davon.

Eine waagerechte Achse der fraktalen Dimension von 0 bis 2, auf der die acht Formen des Menüs zwischen Linie und Fläche eingetragen sind.

Die Cantor-Menge bei 0.631 ist die Überraschung: unterhalb der Dimension 1, mehr als eine Punktwolke und weniger als eine Linie. Ihre Gesamtlänge ist null, und sie hat dennoch überabzählbar viele Punkte.
Koch bei 1.262 und Sierpiński bei 1.585 besetzen genau den Raum, für den das Wort „Fraktal“ erfunden wurde — wirklich zwischen Linie und Fläche, weder Näherung noch Rundung.
Der Barnsley-Farn bei ≈ 1.893 kommt dem Ausfüllen der Fläche nahe, ohne es je zu tun; sein Wert ist ungefähr, weil sich seine vier Abbildungen überlappen.
Drei Konstruktionen landen bei genau 2 — Drachenkurve, Lévy-C-Kurve und Hilbert. Es sind keine Kurven, die dem Ausfüllen nahekommen; im Grenzwert füllen sie.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

N: wie viele Kopien ihrer selbst die Regel bei jedem Schritt erzeugt. Koch ersetzt eine Strecke durch 4, Sierpiński ein Dreieck durch 3.
r: um wie viel kleiner jede Kopie ist. Koch skaliert mit ⅓, Sierpiński mit ½, die Lévy-C-Kurve mit 1/√2.
D: die Hausdorff-Dimension, die das Feld druckt: log N / log(1/r) — der Exponent, der Kopienzahl und Skalierung in Einklang bringt.
depth: wie oft die Regel auf dem Bildschirm tatsächlich angewandt wurde. Bei 7 ist Schluss, und jedes D oben ist der Grenzwert für unendlich viele Schritte.

Woher die Formel kommt

Beginne mit Formen, denen du schon traust. Halbiere eine Linie, und es braucht 2 Kopien zum Wiederaufbau; halbiere ein Quadrat, 4; halbiere einen Würfel, 8. Das Muster ist N = (1/r)^D mit D gleich 1, 2 und 3 — Dimension ist der Exponent zwischen Kopien und Skalierung, und nichts an dieser Definition verlangt eine ganze Zahl.
Löse nach D auf. Logarithmieren von N = (1/r)^D ergibt D = log N / log(1/r). Genau diese Formel druckt das Feld, und jeder ihrer Bestandteile steht in der Konstruktionsregel darüber.
Lies eine Regel von der Seite ab und setze sie ein. Koch ersetzt eine Strecke durch 4 der Länge ⅓, also N = 4 und 1/r = 3, das ergibt log 4 / log 3 ≈ 1.262. Sierpiński ergibt log 3 / log 2 ≈ 1.585. Keine der beiden ist ganzzahlig, und das ist keine Näherung — es ist, was die Form ist.
Nun rechne dort, wo es überrascht. Die Lévy-C-Kurve ersetzt eine Strecke durch 2 mit 1/√2, also log 2 / log √2 = 2 exakt; Hilbert ersetzt eine durch 4 mit ½, also log 4 / log 2 = 2. Eine Dimension von genau 2 heißt: das sind keine Kurven, die umherwandern — im Grenzwert füllen sie eine Fläche, und deshalb schreibt das Feld „raumfüllend“ statt einer Dezimalzahl.

So liest du, was du siehst

Wechsle die Form und beobachte, wie die Zählzeile ihren Namen ändert: Dreiecke bei Sierpiński, Strecken bei Koch, Äste beim Baum, Intervalle bei Cantor, Punkte bei Hilbert und beim Farn. Das ist keine Zierde — „wie viele Teile“ bedeutet in jeder Konstruktion wirklich etwas anderes, und das Feld weigert sich, das in ein Wort zu pressen. Jede Zahl passt zur Formel daneben: bei Tiefe 4 zeigt Sierpiński 81 = 3⁴, Koch 768 = 3·4⁴, Cantor 16 = 2⁴, Hilbert 256 = 4⁴ und der Baum 31 = 2⁵ − 1. Stelle die Tiefe auf 0 und gehe dann Schritt für Schritt hoch; die Zählspalte ist die Regel, sichtbar gemachte Arithmetik.

Setzt voraus: Dass die Kopien exakt sind und sich nicht überlappen. D = log N / log(1/r) ist eine Aussage über strenge Selbstähnlichkeit — deshalb druckt das Feld für Koch und Sierpiński ein exaktes Logarithmenverhältnis und für den Barnsley-Farn ≈ 1.893 sowie für den Baum ≈ 1. Der Farn entsteht aus vier affinen Abbildungen mit verschiedenen Verhältnissen, die sich überlappen, und der Baum ändert seine Dimension, sobald du den Astwinkel änderst. Die Tilde leistet echte Arbeit.
Versagt, wenn: Nichts auf dem Bildschirm ist ein Fraktal. Der Tiefenregler endet bei 7, und bei Tiefe 7 ist die Koch-Kurve 3·4⁷ = 49.152 gerade Strecken mit vollkommen endlicher Gesamtlänge — ein gewöhnliches Vieleck der Dimension genau 1. Jeder Wert im Feld ist ein Grenzwert, auf den die Zeichnung zuläuft und den sie nie erreicht; umgekehrt gilt dasselbe: die raumfüllenden Kurven umschließen bei jeder wählbaren Tiefe die Fläche null. Die ehrliche Lesart dieser Seite ist, dass du eine Folge betrachtest — und das Fraktal ist das, wofür die Folge da ist.

Keiner dieser Fraktale kommt aus einem komplexen Polynom — jeder ist eine wiederholte Regel 🖖

Keine der acht Formen hier ist eine Mandelbrot-Menge, und keine benötigt komplexe Zahlen. Sie entstehen alle durch Ersetzung: Ein Streckenstück wird durch eine kleinere Anordnung von Streckenstücken ersetzt, dann wird derselbe Schritt wiederholt. Der Regler für die Tiefe gibt genau an, wie oft. Aus dieser Konstruktion lässt sich die Dimension unmittelbar ablesen. Bei der Koch-Kurve wird ein Streckenstück durch vier Streckenstücke mit jeweils einem Drittel der Länge ersetzt. Ihre Dimension beträgt daher log 4 / log 3 = 1,262. Bei der voreingestellten Tiefe 4 ist ihre Länge bereits (4/3)⁴ = 3,16-mal so groß wie die der Ausgangsstrecke. Beim Sierpinski-Dreieck ergibt sich log 3 / log 2 = 1,585. Für die Cantor-Menge gilt log 2 / log 3 = 0,631; sie hat also weniger als eine Dimension.

Eine Regel, wiederholt, wird zu allem 🖖

Jede Form hier entsteht aus einer einzigen Anweisung, die das Programm auf sich selbst anwendet. Ein Ast des Fraktalbaums bringt einfach zwei kürzere Äste hervor, und jeder von ihnen wiederholt dieselbe Regel — das ist Rekursion. Erhöhe die Tiefe um eins, und die Zahl der Äste verdoppelt sich, doch die Regel selbst ändert sich nie. Jeder verschachtelte Aufruf legt sich auf den Aufrufstapel und wird beim Fertigzeichnen wieder abgebaut.

Eine Drachenkurve durchzieht Jurassic Park 🖖

Die Drachenkurve in diesem Explorer ist der Heighway-Drache: Man faltet einen Papierstreifen wiederholt und öffnet jede Falz zu einem rechten Winkel. Michael Crichton setzte sie in seinen Roman Jurassic Park von 1990 ein — jeder der sieben Abschnitte beginnt mit der Kurve in einer tieferen Iteration und spiegelt, wie eine winzige Störung ins Chaos eskaliert. Ausgewählt vom Mathematiker Ian Malcolm, ist sie Mathematik als Erzählmittel.

Drei dieser acht Kurven haben genau die Dimension 2 🖖

Rechne dieselbe Arithmetik für den Rest des Menüs, und etwas Merkwürdiges fällt heraus. Der Drachen und die Lévy-C-Kurve ersetzen jeweils ein Segment durch zwei mit 1/√2 der Länge, das ergibt log 2 / log √2 = genau 2. Hilbert ersetzt eines durch vier mit halber Länge: log 4 / log 2 = wieder 2. Eine Dimension von genau 2 heißt, dass dies keine Kurven sind, die durch die Ebene wandern — bei unendlicher Tiefe füllen sie sie und besuchen jeden Punkt eines Gebiets. Deshalb wirken sie längst massiv, bevor der Tiefenregler ausgeht, während Koch mit 1,262 das nie tut.

Der Farn wird vom Zufall gezeichnet und kommt jedes Mal identisch heraus 🖖

Barnsley ist der Ausreißer: keine Substitutionsregel, sondern ein Chaos-Spiel. Beginne an einem Punkt, wähle zufällig eine von vier affinen Abbildungen — gewichtet mit 1 %, 85 %, 7 %, 7 % —, wende sie an, zeichne, wiederhole. Nichts daran sagt „Farn“, und doch erscheint ein Farn. Und zwar bei jedem Besuch derselbe, weil das Werkzeug seinen Generator mit festen 42 startet, sodass die Folge der Entscheidungen nie variiert. Der tiefere Punkt: es wäre auch egal, wenn sie variierte. Ein iteriertes Funktionensystem konvergiert auf seinen Attraktor, ganz gleich welchen Zufallsweg man hindurch nimmt. Der Zufall ist für die Methode wesentlich und für das Ergebnis belanglos.

Aufgabe vollständig gelöst

Das Sierpiński-Dreieck der Tiefe 5 mit 243 Teilen 5 Schritte
Bei Tiefe 5 hat das Sierpiński-Dreieck 243 Teile. Leiten Sie dies her und bestimmen Sie dann die Tiefe, bei der weniger als 1 % der ursprünglichen Fläche erhalten bleibt – und was der Umfang tut, während die Fläche verschwindet.
1. Die Konstruktion ist eine einzelne Rekursion: Jedes Dreieck wird zu drei. Ihre Lösung erfordert nicht mehr als die Erkenntnis, dass sie geometrisch ist.
  
  $N (n) = 3 N (n - 1), N (0) = 1 ⟹ N (n) = 3^{n}; N (5) = 243$
2. Jedes Teildreieck hat die halbe Seitenlänge, also ein Viertel der Fläche, und es gibt drei davon. Multipliziert man die beiden Faktoren, ergibt sich die Flächenregel.
  
  $s (n) = (\frac{1}{2})^{n} s_{0} \Rightarrow A (n) = 3^{n} (\frac{1}{4})^{n} A_{0} = (\frac{3}{4})^{n} A_{0}$
3. Werten Sie beide bei Tiefe 5 aus. Es verbleibt knapp ein Viertel der Fläche – 23,7 % – und der Rand hat bereits das 7,59-Fache seiner ursprünglichen Länge erreicht.
  
  $A (5) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024} = 23.7%, P (5) = (\frac{3}{2})^{5} = 7.59 \times$
4. Die Dimension ist definiert durch den Exponenten, der Anzahl × Größe^D unter dieser Regel konstant hält. Drei Kopien bei halbem Maßstab erzwingen 3 = 2^D, ohne dass irgendetwas aus der Zeichnung einfließt.
  
  $N (n) s (n)^{D} = const \Rightarrow 3 \cdot 2^{- D} = 1 \Rightarrow D = \frac{lo g 3}{lo g 2} = 1.585$
5. Lösen Sie nun die Flächenregel nach der Tiefe auf, bei der 1 % verbleibt. Logarithmen ergeben 16,01, somit Tiefe 17 – und bis dahin hat die Anzahl der Dreiecke 129 Millionen überschritten, weshalb das Werkzeug weit davor anhält.
  
  $(\frac{3}{4})^{n} < 0.01 \Rightarrow n > \frac{ln 0.01}{ln 0.75} = 16.01 \Rightarrow n = 17, N = 3^{17} = 129140163$
Antwort

Tiefe 17, an der es 129.140.163 Dreiecke gibt. Die beiden Größen bewegen sich in entgegengesetzte Richtungen und beide tun dies geometrisch: Die Fläche fällt als (3/4)ⁿ gegen Null, während der Gesamtumfang als (3/2)ⁿ unbeschränkt wächst. Eine Form, deren Fläche gegen Null strebt und deren Rand gegen Unendlich strebt, ist nicht schlechtartig, sie ist schlicht weder eindimensional noch zweidimensional – und der Exponent, der beides miteinander versöhnt, log 3 / log 2 = 1,585, ist das, was „Dimension“ bedeuten muss, sobald man solche Formen zulässt. Wohlgemerkt ist dies nichts, was am Bild gemessen wird; es ergibt sich allein aus der Zählregel.

$N = 3^{5} = 243, A = (\frac{3}{4})^{5} = 23.7%, D = \frac{l o g 3}{l o g 2} = 1.585$

Quellen (3)

Where fractional dimension entered general use — the paper behind the dimensions quoted here: B. Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension." Science 156, 636–638, 1967.
The chaos game and the fern, from the book that introduced both: Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere. Academic Press, 1988. ISBN 978-0-12-079062-3.
The dragon curve as a storytelling device, section by section: Michael Crichton, Jurassic Park. Alfred A. Knopf, 1990. ISBN 978-0-394-58816-2.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-06-12

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Sierpinski - Tiefe 6: 3⁶ = 729 Dreiecke. Übrig sind 17,8 % der ursprünglichen Fläche, während der Rand 11,39-mal so lang ist wie zu Beginn. Dimension: log 3 / log 2 = 1,585.
Koch-Schneeflocke - Tiefe 4: Jedes Streckenstück wurde viermal hintereinander durch vier Streckenstücke mit je einem Drittel der Länge ersetzt. Der Linienzug ist deshalb (4/3)⁴ = 3,16-mal so lang wie die Ausgangsstrecke. Dimension: 1,262.
Fraktaler Baum - Tiefe 10: Die Zahl der Äste verdoppelt sich bei jedem Schritt. So entstehen nach einer Regel aus drei Linien 2¹⁰ = 1.024 Spitzen.
Drachenkurve - Tiefe 12: 2¹² = 4.096 Streckenstücke. Seine Dimension beträgt genau 2. Deshalb wirkt der Drachen so kompakt: Bei unendlicher Tiefe füllt er einen Bereich der Ebene aus.
Cantor-Menge - Der einzige Eintrag mit einer Dimension unter 1: log 2 / log 3 = 0,631. Bei Tiefe 6 umfassen die 64 verbleibenden Intervalle noch 8,8 % der ursprünglichen Länge.
Barnsley-Farn - Hier gilt keine Ersetzungsregel, sondern ein Chaosspiel: Vier affine Abbildungen werden zufällig mit den Gewichtungen 1 %, 85 %, 7 % und 7 % ausgewählt. Das Werkzeug startet seinen Zufallsgenerator mit 42, sodass der Farn bei jedem Besuch gleich aussieht.
Hilbert-Kurve - Ein Streckenstück wird durch vier Streckenstücke mit jeweils halber Länge ersetzt. Daher gilt genau log 4 / log 2 = 2. Bei Tiefe 5 bedecken die 1.024 Zellen bereits das Quadrat.
Lévy-C-Kurve - Zwei Streckenstücke mit jeweils 1/√2 der ursprünglichen Länge ergeben log 2 / log √2 = 2. Das ist dieselbe Dimension wie bei der Drachenkurve, und zwar aus demselben Grund.

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3Blue1Brown·Fractals are typically not self-similar