Goldener Schnitt & Fibonacci-Spirale

Baue Fibonacci-Quadrate auf, vergleiche aufeinanderfolgende Verhältnisse und beobachte, wie sich die Rekursion dem Goldenen Schnitt annähert.

Startwerte — Goldener Schnitt & Fibonacci-Spirale

Glieder (N)	12

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

Interaktive Simulation wird geladen...

warum phi der Fixpunkt ist 🖖

Die Fibonacci-Rekursion ersetzt ein Verhältnis immer wieder durch 1 plus seinen Kehrwert: F(n)/F(n-1) = 1 + F(n-2)/F(n-1). Sobald sich dieses Verhältnis bei x stabilisiert, muss x = 1 + 1/x gelten, also x² = x + 1, und die positive Lösung ist phi. Die Spirale ist ein geometrisches Bild derselben Selbstähnlichkeit: Jedes größere Quadrat enthält das vorherige Rechteck plus ein neues Quadrat.

Das Verhältnis nähert sich Phi im Zickzack 🖖

Beobachte das Balkendiagramm: aufeinanderfolgende Fibonacci-Verhältnisse liegen abwechselnd knapp über und knapp unter φ, und der Abstand schrumpft mit jedem Schritt. Bei 21/13 = 1.615 bist du schon weniger als 0.003 von φ entfernt, und wenige Terme später stimmt das Verhältnis auf so viele Dezimalstellen mit φ überein, wie die Anzeige darstellen kann. Die Konvergenz ist schnell, und kein einzelnes Über- oder Unterschätzen bleibt lange weit daneben.

Die irrationalste aller Zahlen 🖖

Als Kettenbruch geschrieben ist φ = [1; 1, 1, 1, …] — nur Einsen, die kleinstmöglichen Koeffizienten. Das macht φ zur Zahl, die sich am schlechtesten durch Brüche annähern lässt, und ihre besten Näherungen sind genau die Fibonacci-Verhältnisse, die dieses Werkzeug zeigt. Die Natur nutzt das: Samen im Abstand von 360°/φ² ≈ 137.5° reihen sich nie zu Lücken auf und sorgen so für die dichte, gleichmäßige Packung von Sonnenblumen und Tannenzapfen.

Aufgabe vollständig gelöst

Messfehler von 144/89 = 1,617978 im Vergleich zu φ = 1,618034 6 Schritte
144/89 = 1,617978 gegenüber φ = 1,618034. Sagen Sie diesen Fehler voraus, bevor Sie ihn messen, und erklären Sie dann, warum φ die am schlechtesten zu approximierende Zahl der Mathematik ist.
1. Die definierende Gleichung wird nicht vorausgesetzt, sie ergibt sich zwingend: Wenn sich das Verhältnis aufeinanderfolgender Glieder irgendwo einpendelt, besagt die Rekursion, dass der Grenzwert dieser genügt.
  
  $\frac{F _{n + 1}}{F _{n}} \to φ ⟹ φ = 1 + \frac{1}{φ} ⟹ φ^{2} - φ - 1 = 0$
2. Lösen Sie die quadratische Gleichung und nehmen Sie die positive Wurzel.
  
  $φ = \frac{1 + 5}{2} = 1.618034$
3. Der zwölfte Näherungsbruch und der Fehler, den Sie vorhersagen sollen. Er ist negativ, und der vorherige war positiv — die Näherungsbrüche alternieren um φ.
  
  $\frac{F _{12}}{F _{11}} = \frac{144}{89} = 1.617978, error = - 5.65 \times 1 0^{- 5}$
4. Die Formel von Binet liefert den Fehler in geschlossener Form. Die konjugierte Wurzel ψ ist das, was die Fibonacci-Zahlen verwerfen, und sie ist genau das, was der Näherung fehlt.
  
  $ψ = \frac{1 - 5}{2} = - 0.618034, \frac{F _{n + 1}}{F _{n}} - φ = \frac{ψ ^{n}}{F _{n}} = \frac{- 0.005025}{89} = - 5.65 \times 1 0^{- 5}$
5. Vergleichen Sie dies mit dem Satz von Hurwitz, der die stärkstmögliche Aussage über die Approximation jeder irrationalen Zahl durch rationale Zahlen darstellt. Der Fehler liegt nicht bloß unter der Schranke, er liegt auf ihr.
  
  $Hurwitz : \frac{p}{q} - α < \frac{1}{5 q ^{2}} infinitely often; \frac{1}{5 \cdot 8 9 ^{2}} = 5.6459 \times 1 0^{- 5}$
6. Der Kettenbruch erklärt warum. Lauter Einsen ist die langsamste verfügbare Konvergenz, und der Goldene Winkel ist diese Tatsache, gewandelt in eine Wachstumsregel.
  
  $φ = [1; 1, 1, 1, \dots] ⟹ golden angle = \frac{36 0 ^{\circ}}{φ ^{2}} = 137.50 8^{\circ}$
Antwort

Der Fehler beträgt ψ¹¹/F₁₁ = −5,6461 × 10⁻⁵ und liegt exakt auf der Untergrenze, unter die keine irrationale Zahl fallen kann. Hurwitz bewies, dass für jede irrationale Zahl α unendlich viele rationale Zahlen mit |p/q − α| < 1/(√5 q²) existieren und dass die √5 nicht verbessert werden kann. Hier ist 1/(√5 × 89²) = 5,6459 × 10⁻⁵ — der tatsächliche Fehler und die theoretische Untergrenze stimmen auf einen Teil von vierzigtausend überein. Das ist es, was "die irrationalste Zahl" bedeutet: Nicht, dass φ mysteriös wäre, sondern dass ihre Kettenbruchentwicklung [1;1,1,1,…] niemals eine große Ziffer bietet, sodass kein Näherungsbruch je ein Schnäppchen macht und jeder einzelne genau auf der Schranke landet. Pflanzen nutzen dies aus. Samen, die im Abstand von 360°/φ² = 137,508° angeordnet sind, ordnen sich nie in Reihen an, weil ein Anordnen in Reihen bedeutet, dass der Winkel nahe an einem einfachen Bruchteil einer Umdrehung liegt — und φ ist nachweislich die Zahl, die am weitesten von jedem einfachen Bruch entfernt ist.

$\frac{ψ ^{11}}{F _{11}} = - 5.6461 \times 1 0^{- 5} against the Hurwitz floor \frac{1}{5 F _{11}^{2}} = 5.6459 \times 1 0^{- 5}$

Quellen (1)

Insight block 3 — the divergence angle, and why it packs without gaps: H. Vogel, "A better way to construct the sunflower head." Mathematical Biosciences 44(3–4), 179–189, 1979 — the 137.5° model this block describes.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-20

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

Alle Lektionen: Mathematik →

Beispielaufgaben

anfängliches Schwanken - Erste 5 Fibonacci-Zahlen: Verhältnis 5/3 = 1.667 — deutlich über φ = 1.618
nahe phi - 10 Zahlen: Verhältnis 89/55 = 1.618181… — nähert sich bis auf 0.004% an φ an
eingerastet - 16 Zahlen: Verhältnis 1597/987 = 1.6180339… — stimmt mit φ auf 7 signifikante Stellen überein
Binet-Probe - Formel von Binet: F(20) = 6765 aus dem geschlossenen Ausdruck mit φ und ψ