Hyperbelfunktionen-Explorer
Hyperbel- versus Kreisfunktionen, Identitätsprüfungen und geometrische Anschauung.
Nichteuklidische geodätische Projektionen 🖖
Hyperbelfunktionen bilden trigonometrische Beziehungen auf die Geometrie der Hyperbel ab. Die Identität cosh² - sinh² = 1 ist die Signatur der Minkowski-Raumzeit und diktiert streng die Kettenlinie einer hängenden Kette.
Nur getarnte Exponentialfunktionen 🖖
Lässt man die schicken Namen weg, sind sinh und cosh einfach aus den Exponentialfunktionen e^t und e^-t aufgebaut: cosh(t) = (e^t + e^-t)/2 und sinh(t) = (e^t - e^-t)/2. cosh ist also der Mittelwert einer wachsenden und einer schrumpfenden Exponentialfunktion, sinh die Hälfte ihrer Differenz. Deshalb fällt cosh nie unter 1 und sinh verläuft sauber durch den Ursprung.
Die Brücke, die kein i braucht 🖖
Man kann zwischen Hyperbel- und Kreisfunktionen umrechnen, ganz ohne imaginäre Zahlen, mit der Gudermann-Funktion gd(t): sin(gd t) = tanh(t) und tan(gd t) = sinh(t). Ihre Umkehrfunktion, ln(tan(π/4 + φ/2)), ist genau die vertikale Koordinate der Mercator-Projektion. Jede klassische Seekarte wird also im Stillen mit der Geometrie von sinh und cosh gezeichnet.
Beispielaufgaben
- Identitätsprüfung - Überprüfung der hyperbolischen Identität: cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1.
- tanh-Asymptote - tanh nähert sich +/-1 an, wenn |t| wächst, während tan im Gegensatz dazu divergiert.
- Kettenlinienform - Die cosh-Kurve entspricht dem Kettenlinienprofil hängender Ketten und Kabel.
- Ableitungsbeziehung - Ableitungsbeziehung: d/dx sinh = cosh und d/dx cosh = sinh.