Musik- & Mathe-Labor

Zahlentheorie, Polyrhythmen & Stimmungsvergleich

Rechenbeispiel — Musik- & Mathe-Labor

● Spur A (5/8)	1 0 1 0 1 1 0 1
● Spur B (7/12)	1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1
Rein	+50 Cent

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Zwölf reine Quinten überschießen sieben Oktaven 🖖

Stapelt man zwölf reine Quinten, jede im Frequenzverhältnis 3:2, müsste man sieben Oktaven höher wieder auf dem Ausgangston landen. Man tut es nicht. (3/2)¹² = 129,7463, während sieben Oktaven 2⁷ = 128 ergeben — die Spirale verfehlt die Oktave um 1,4%, das ist das pythagoreische Komma von 23,46 Cent. Es gibt keine Möglichkeit, ein Tasteninstrument so zu stimmen, dass gleichzeitig jede Quinte und jede Oktave rein bleibt, denn 3 und 2 haben keine gemeinsame Potenz. Die zwölfstufig gleichstufige Stimmung löst das, indem sie jeder Quinte 1,955 Cent abschneidet: alle zwölf werden leicht zu tief und keine ist exakt richtig. Jedes Klavier, das du gehört hast, ist absichtlich und gleichmäßig verstimmt.

Wie aus einer Zahl ein Akkord wird 🖖

Jede ganze Zahl zerfällt in Primfaktoren — ihre unteilbaren Bausteine. Dieses Werkzeug macht aus jedem Primfaktor ein musikalisches Intervall: 2 ist eine Oktave, 3 eine reine Quinte, 5 eine große Terz. So klingt die Zahl 6 = 2 × 3 als Oktave mit darüberliegender Quinte, während eine Primzahl wie 7 einen einzelnen reinen Ton spielt. Man hört buchstäblich das arithmetische Gerüst einer Zahl.

Rhythmen aus einem Teilchenbeschleuniger 🖖

Die gleichmäßig verteilten Beat-Muster stammen aus Bjorklunds Algorithmus, der zur Taktung von Neutronenpulsen in einer Spallations-Neutronenquelle in Los Alamos erdacht wurde. 2005 bemerkte der Informatiker Godfried Toussaint, dass seine Ausgaben weltweit Volksrhythmen entsprechen — eine Voreinstellung, E(5,8), ist der kubanische Cinquillo. Noch verblüffender: Die Methode ist Euklids über 2000 Jahre alter Algorithmus für den größten gemeinsamen Teiler.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine reine Quinte mit einer 1,96-Cent-Lücke auf einem Klavier 6 Schritte
Eine reine Quinte beträgt 3/2 in reiner Stimmung und 2^(7/12) auf einem Klavier. Der Abstand beträgt 1,96 Cent. Finden Sie heraus, warum man dies nicht einfach beheben konnte.
1. Zwei Definitionen desselben Intervalls. Die eine ist ein Verhältnis kleiner ganzer Zahlen, was es konsonant klingen lässt; die andere ist eine zwölfte Wurzel, wodurch es auf eine Tastatur passt.
  
  $just fifth = \frac{3}{2} = 1.500; equal fifth = 2^{7/12} = 1.4983$
2. Cent ordnen beide einer logarithmischen Skala zu, auf der eine Oktave 1200 beträgt und sich Intervalle addieren. Die reine Quinte ist keine runde Cent-Zahl, die gleichstufige konstruktionsgemäß schon.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{3}{2} = 1200 (0.584963) = 702.0 cents; 1200 \cdot \frac{7}{12} = 700.0 cents$
3. Der Unterschied ist gering — weit unter den 5 Cent, die die meisten Hörer bei einem ausgehaltenen Ton bemerken, weshalb die gleichstufige Stimmung überhaupt erträglich ist.
  
  $difference = 701.96 - 700.00 = 1.96 cents$
4. Schichten Sie nun zwölf davon übereinander und vergleichen Sie das Ergebnis mit sieben Oktaven, wo zwölf Quinten eigentlich landen sollten.
  
  $(\frac{3}{2})^{12} = 129.746 against 2^{7} = 128$
5. Der Abstand in Cent ist das Pythagoreische Komma, und er beträgt etwa einen viertel Halbton — unüberhörbar.
  
  $1200 lo g_{2} \frac{129.746}{128} = 23.46 cents$
6. Und es ist genau dieser kleine Fehler, zwölfmal genommen. Beim Schichten ging nichts verloren oder kam hinzu; die gleichstufige Stimmung teilt das Komma einfach durch zwölf und zahlt es einmal pro Quinte.
  
  $12 \times 1.955 = 23.46$
Antwort

Weil zwölf dieser Abstände 23,46 Cent ergeben, und das ist ein reales Intervall, das man hören kann. Schichtet man zwölf reine Quinten übereinander, landet man bei 129,746; schichtet man sieben Oktaven übereinander, landet man bei 128. Die beiden sollten derselbe Ton sein, unterscheiden sich jedoch um 1,4 %, das Pythagoreische Komma. Es gibt keine Stimmung, die jede Quinte rein hält und den Kreis schließt, denn 3/2 hoch eine beliebige ganze Zahl ist niemals eine Potenz von 2 — die Primfaktorzerlegungen können nicht übereinstimmen. Jede Tasteninstrument-Stimmung ist daher eine Entscheidung darüber, wo das Komma platziert wird: Verteilt man es gleichmäßig auf alle zwölf Quinten, erhält man die gleichstufige Stimmung, was jeweils 1,96 Cent kostet; oder man versteckt es in Tonarten, die niemand spielt, was die historischen Stimmungen taten und warum für sie geschriebene Musik in verschiedenen Tonarten unterschiedlich klingt.

$12 just fifths \neq = 7 octaves$

Quellen (1)

Insight block 3 — the algorithm, and the observation that it makes folk rhythms: E. Bjorklund, "The Theory of Rep-Rate Pattern Generation in the SNS Timing System." Los Alamos National Laboratory, SNS ASD Tech Note 2003. G. T. Toussaint, "The Euclidean algorithm generates traditional musical rhythms." Proceedings of BRIDGES: Mathematical Connections in Art, Music and Science, 47–56, 2005.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

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Beispielaufgaben

Natürliche Zahlen - Natürliche Zahlen Arpeggio: Beobachte, wie sich das Primfaktor-Mandala ausdehnt.
Fibonacci - Fibonacci-Ambientsequenz: Noten skalieren nach außen passend zu den Spiralwerten.
Polyrhythmus - Polyrhythmus-Loop: ein 5-Schlag- und 7-Schlag-euklidischer Rhythmus parallel.
Stimmungsvergleich - Stimmungsvergleich: Vergleiche reine Stimmung (3:2) mit gleichschwebender Temperatur (2^(7/12)).