Primzahlsieb & Ulam-Spirale

Die genaue Verteilung der Primzahlen wird durch die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion ζ(s) bestimmt. Alle 10¹³ bekannten nicht-trivialen Nullstellen liegen auf der kritischen Geraden Re(s) = 1/2. Ein Beweis dafür für alle Nullstellen würde die schärfstmöglichen Schranken für die Primzahlzählfunktion liefern — und ein Preisgeld von 1 Million Dollar (Millennium-Preis) einbringen. Stand 2025 ist sie unbewiesen.

Das Sieb des Eratosthenes findet Primzahlen durch Ausschluss, nicht durch Einzelprüfung. Beginne bei 2, streiche jedes Vielfache, springe zur nächsten überlebenden Zahl und wiederhole; was nie gestrichen wird, ist prim. Der clevere Kniff: Um alle Zahlen bis n zu sieben, musst du nur Vielfache der Primzahlen bis √n entfernen. Für alles unter 100 genügt es also, Vielfache von 2, 3, 5 und 7 zu streichen.

1963 kritzelte der Mathematiker Stanisław Ulam aus Langeweile während eines Vortrags die ganzen Zahlen in eine quadratische Spirale und markierte die Primzahlen — verblüffend klare diagonale Streifen tauchten auf. Diese Diagonalen folgen primzahlreichen quadratischen Formeln wie Eulers n² + n + 41, die für jedes n von 0 bis 39 eine Primzahl liefert. Warum manche Diagonalen so dicht bleiben, ist bis heute nicht vollständig verstanden.