Reihenkonvergenz-Explorer
Beobachte, wie die Partialsummen wachsen. Konvergiert die Reihe gegen einen endlichen Grenzwert, oder divergiert sie?
Grenzen unendlicher Summation 🖖
Die Konvergenz von Reihen prüft streng, ob sich unendlich summierte Terme einer endlichen Grenze nähern. Die harmonische Reihe divergiert bekanntermaßen, während geometrische Reihen Grenzwerte unter strengen Quotenbeschränkungen garantieren.
Was eine Partialsumme wirklich ist 🖖
Eine unendliche Reihe wird nie auf einen Schlag summiert. Man verfolgt stattdessen die Partialsumme SN, den laufenden Gesamtwert der ersten N Glieder, und beobachtet, wohin er für wachsendes N strebt. Flacht die Kurve im Diagramm zu einer waagerechten Linie ab, konvergiert die Reihe gegen diese Höhe; steigt sie weiter, divergiert sie. Konvergenz ist also nur eine Folge von Summen, die sich beruhigt.
Wie die harmonische Reihe Klötze stapelt 🖖
Stapelt man gleiche Klötze an der Tischkante, kann der oberste höchstens um ½ HN überstehen, die Hälfte der N-ten harmonischen Partialsumme. Weil die harmonische Reihe divergiert, hat dieser Überhang keine Grenze — mit genügend Klötzen ragt der oberste vollständig über die Tischkante hinaus und weiter. Schon 4 Klötze überragen eine ganze Klotzlänge, denn H4 ≈ 2.08.
Beispielaufgaben
- Harmonisch - Harmonische Reihe
- Basel (π²/6) - Basler Problem (π²/6)
- e−1-Reihe - Reihe für e−1
- Alt. harmonisch - Alt. harmonische Reihe
- Geometrisch - Geometrische Reihe
- Teleskopierend - Teleskopsumme
- p-Reihe - p-Reihe