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REIHENTHEORIE — WELCHES KONVERGENZKRITERIUM PASST
Kein einzelnes Kriterium klärt jede Reihe. Jedes ist auf eine bestimmte Form des allgemeinen Glieds zugeschnitten — konstantes Verhältnis, reine Potenz von n, Fakultät, wechselnde Vorzeichen — und das falsche liefert meist „unentscheidbar“ statt eines falschen Ergebnisses. Lies zuerst das Glied, erkenne seine Form, und das Kriterium ergibt sich von selbst.
01
Glied hat die Form: Jede beliebige Reihe. Prüfe das zuerst; es kostet einen einzigen Grenzwert.
Kriterium: lim an ≠ 0 ⇒ ∑an → ∞
Rechenbeispiel: Σ1/n hat aₙ → 0, das Kriterium sagt also nichts — und die Reihe divergiert trotzdem.
Diesen Fall öffnen: Harmonisch
02
Glied hat die Form: Jedes Glied ist ein festes Vielfaches des vorigen: aₙ₊₁/aₙ = r, durchgehend dasselbe r.
Kriterium: Σarn, |r| < 1
Rechenbeispiel: Σ(1/2)ⁿ hat r = 1/2, konvergiert also — und die Summe ist exakt a/(1 − r).
Diesen Fall öffnen: Geometrisch
03
Glied hat die Form: Das Glied ist 1/nᵖ und sonst nichts: keine Fakultät, kein wechselndes Vorzeichen.
Kriterium: Σ1/np, p > 1
Rechenbeispiel: 1/n² konvergiert (p = 2); 1/n divergiert (p = 1). Die Grenze liegt genau bei p = 1.
Diesen Fall öffnen: p-Reihe
04
Glied hat die Form: Das Glied enthält n!, cⁿ oder nⁿ. Berechne L = lim |aₙ₊₁/aₙ|.
Kriterium: L = lim |an+1/an|
Rechenbeispiel: Σ1/n! ergibt L = lim 1/(n+1) = 0 < 1, konvergiert also — und zwar sehr schnell.
Diesen Fall öffnen: e−1-Reihe
05
Glied hat die Form: Das Glied trägt (−1)ⁿ, und die Beträge fallen stetig gegen null.
Kriterium: Σ(−1)nbn, bn ↓ 0
Rechenbeispiel: Σ(−1)ⁿ⁺¹/n konvergiert gegen ln 2, obwohl Σ1/n divergiert.
Diesen Fall öffnen: Alt. harmonisch
06
Glied hat die Form: Das Glied zerfällt in eine Differenz f(n) − f(n+1), meist per Partialbruchzerlegung.
Kriterium: Σ[f(n) − f(n+1)]
Rechenbeispiel: 1/(n(n+1)) = 1/n − 1/(n+1), also Sₙ = 1 − 1/(n+1) → 1.
Diesen Fall öffnen: Teleskopierend
Die 50. Partialsumme von 1 + 1/2 + 1/3 + … beträgt 4,499, die Glieder sind auf 0,02 gesunken, und das Quotientenkriterium ergibt 0,98. Alles auf dem Bedienfeld sieht nach Konvergenz aus. Beweisen Sie, dass sie divergiert — und berechnen Sie dann, wie weit man gehen müsste, um 100 zu erreichen.
Schaffen wir zuerst das Quotientenkriterium aus dem Weg. Es vergleicht aufeinanderfolgende Glieder, und für 1/n beträgt dieses Verhältnis (n − 1)/n, was in jedem Fall von unten gegen 1 steigt. Das Kriterium liefert unentscheidbar, nicht konvergiert. Eine Seite, die 0,98 ohne dieses Wort ausgeben würde, wäre durch Auslassung irreführend.
Der Beweis stammt von Oresme und ist sieben Jahrhunderte alt. Fasst man die Glieder in Blöcken zusammen, die jeweils bei einer Zweierpotenz enden: 1/3 + 1/4 ist größer als 1/2, die nächsten vier Glieder sind größer als 1/2, die nächsten acht ebenfalls. Jeder Block trägt mindestens ein Halbes bei, und es gibt unendlich viele Blöcke.
Das beweist zwar die Divergenz, liefert aber keine Geschwindigkeit, und erst die Geschwindigkeit macht die Divergenz angesichts einer gedruckten Summe von 4,5 glaubwürdig. Ein Vergleich der Summe mit ∫dx/x liefert eine: Die Partialsummen folgen ln n plus einer Konstanten, und diese Konstante ist γ.
Testen wir es. ln 50 + γ = 4,489239 gegenüber den gedruckten 4,499205, und die verbleibenden 0,009967 sind das nächste Glied der Entwicklung, 1/2n = 0,01. Die Näherung ist nicht bloß nah; sie ist auf eine Weise nah, die ihren eigenen Fehler vorhersagt.
Kehren wir es also um. Eine Summe von 10 benötigt etwa e^(10−γ) ≈ 12 000 Glieder. Eine Summe von 100 benötigt e^(100−γ).
Antwort
Das Werkzeug gibt nach 50 Gliedern 4,499205 aus und nennt die Reihe divergent, und beides ist zugleich wahr — was die gesamte Schwierigkeit dieses Beispiels ausmacht. Die Summe wächst wie ln n, überschreitet also schließlich jedes endliche Ziel. Das Erreichen von 10 dauert etwa 12 000 Glieder; das Erreichen von 100 dauert 1,5 × 10⁴³. Divergenz ist eine Aussage über die Ewigkeit, nicht über die nächsten paar Tausend Glieder, und 1/n ist der Standardbeweis dafür, dass dies nicht dasselbe ist. Stellt man die Reihe auf 1/n² um, pendeln sich dieselben 50 Glieder bei 1,625 ein und bleiben dort: π²/6 ist 1,645, und der gesamte unendliche Rest ist 0,02 wert.