Carnot-Maschine-Simulator

Die Carnot-Maschine definiert den theoretisch maximalen Wirkungsgrad jeder Wärmekraftmaschine.

Rechenbeispiel — Carnot-Maschine-Simulator

η (Wirkungsgrad)	1 - 300/600
W (Verrichtete Arbeit)	1000 × 0.500
QC (Abgeführte Wärme)	1000 - 500.0

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Lektion

Die Theorie — Carnot-Maschine-Simulator

Eine Wärmekraftmaschine entnimmt einem heißen Körper Wärme, wandelt einen Teil davon in Arbeit um und gibt den Rest an etwas Kaltes ab. Der Carnot-Wirkungsgrad ist der größte Anteil, den irgendeine Maschine umwandeln kann, und er ist allein durch die beiden Temperaturen festgelegt: η = 1 − T_C/T_H. Nicht der Brennstoff, nicht das Arbeitsmedium, nicht die Konstruktion — die Temperaturen.

Was die einzelnen Symbole bedeuten

T_H, T_C: die Temperaturen des warmen und des kalten Reservoirs, in Kelvin. Absolute Temperaturen: Die Formel ist ein Verhältnis, eine Skala mit willkürlichem Nullpunkt liefert also ein willkürliches Ergebnis.
Q_H: die Wärme, die dem warmen Reservoir in einem Zyklus entnommen wird.
Q_C: die Wärme, die an das kalte abgegeben wird. Sie macht eine Maschine erst zur Maschine — auf null setzen lässt sie sich nicht.
η: W/Q_H, der Anteil der aufgenommenen Wärme, der als Arbeit herauskommt.

Woher die Formel kommt

Beginne mit der Buchhaltung. Über einen vollständigen Zyklus kehrt die Maschine in ihren Ausgangszustand zurück, speichert also nichts: Alles, was hineingeht, muss herauskommen. W = Q_H − Q_C, und damit η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H. Der Wirkungsgrad ist nun vollständig eine Frage des Verhältnisses Q_C/Q_H.
Achte darauf, was damit NICHT ausgeschlossen ist. Die Energieerhaltung allein hat nichts gegen Q_C = 0 und η = 1 — eine Maschine, die ihre gesamte Wärme in Arbeit verwandelt. Der erste Hauptsatz verbietet das nicht. Die Grenze muss von woanders kommen.
Sie kommt von der Entropie. Q_H aus dem warmen Reservoir zu entnehmen senkt dessen Entropie um Q_H/T_H; Q_C in das kalte abzugeben hebt dessen Entropie um Q_C/T_C. Die Maschine selbst kehrt in ihren Ausgangszustand zurück, die Gesamtänderung sind also genau diese beiden. Der zweite Hauptsatz verbietet eine Abnahme, also Q_C/T_C ≥ Q_H/T_H.
Umgestellt: Q_C/Q_H ≥ T_C/T_H, eingesetzt in Schritt 1 ergibt das η ≤ 1 − T_C/T_H. Gleichheit verlangt eine Gesamtentropieänderung von exakt null, also einen vollkommen reversiblen Zyklus. Der Carnot-Wert ist damit keine geschickte Konstruktion, sondern die Decke, an der jede Konstruktion gemessen wird — und jede reale Irreversibilität erhöht Q_C und senkt η.

So liest du, was du siehst

Das linke Feld zeigt den Zyklus in Druck-Volumen-Achsen: zwei Isothermen bei T_H und T_C, verbunden durch zwei Adiabaten; die eingeschlossene Fläche ist die Arbeit pro Zyklus. Das rechte Feld zeigt dasselbe als Fluss — Q_H hinein aus dem warmen Block, W zur Seite hinaus, Q_C hinunter in den kalten Block — mit den drei Zahlen an ihren Pfeilen. Änderst du nur Q_H, behält die Schleife ihre Form und alle Energien skalieren; änderst du eine Temperatur, ändert die Schleife ihre Proportionen.

Setzt voraus: Zwei Reservoirs, die so groß sind, dass die Wärmeentnahme das eine nicht abkühlt und das andere nicht erwärmt, und ein reversibel geführter Zyklus — so langsam, dass das Arbeitsmedium in jedem Augenblick im Gleichgewicht ist. Beide Temperaturen in Kelvin. Vorausgesetzt wird außerdem, dass die Reservoirs das Einzige sind, womit die Maschine in Kontakt steht: keine Reibung, keine Wärme, die am Zyklus vorbei statt durch ihn hindurch fließt.
Versagt, wenn: Die ΔS-Zeile ist für jede Eingabe null, und das ist eine Eigenschaft der Rechnung, kein Urteil über die Maschine. Q_C wird hier als Q_H − W berechnet, mit W aus der Carnot-Formel, wodurch Q_C/T_C und Q_H/T_H identisch gleich werden — die Zeile bestätigt, dass der Carnot-Zyklus der reversible ist, und kann nichts anderes feststellen. Eine reale Maschine erzeugt Entropie, und der ehrliche Weg, das hier zu sehen, ist der Vergleich eines gemessenen Wirkungsgrads mit der Decke, die diese Seite ausgibt — nicht die Suche nach einem ΔS ungleich null.

In Celsius gerechnet wirkt die Maschine um die Hälfte besser 🖖

Die Eingaben dieses Werkzeugs sind in Kelvin angegeben, und das ist keine Formsache — η = 1 − T_C/T_H ist ein Verhältnis absoluter Temperaturen und bricht zusammen, sobald man eine Skala mit willkürlichem Nullpunkt einsetzt. Nimm die Dampf-Voreinstellung, 773 K über 373 K, die das Werkzeug mit 51,7 % ausweist. Dieselben Temperaturen sind 500 °C und 100 °C, und 1 − 100/500 ergibt 80 %. An der Maschine hat sich nichts geändert, nur am Nullpunkt der Skala. Bei milderen Temperaturen ist es schlimmer: 100 °C gegen 20 °C sind tatsächlich 21,4 % und lesen sich in Celsius als 80 % — eine Übertreibung um das 3,7-Fache. Der tiefere Grund: genau dieses Verhältnis macht den absoluten Nullpunkt zu einem echten Ort und nicht zu einer Konvention — der Wirkungsgrad erreicht 1 genau dann, wenn T_C auf 0 fällt, und keine andere Skala hat eine Null, die etwas bedeutet.

Nur die Temperaturen zählen 🖖

Der Carnot-Wirkungsgrad η = 1 − T_C/T_H hängt allein von den beiden Reservoirtemperaturen ab — nie vom Brennstoff, vom Gas oder davon, wie raffiniert die Maschine gebaut ist. Beide Temperaturen müssen in Kelvin angegeben werden, daher ist 300 °C nicht „10-mal heißer" als 30 °C. Praktische Folgerung: Für mehr Arbeit muss man die Temperaturspanne vergrößern — T_H erhöhen oder T_C senken. 100 % sind unerreichbar, denn T_C = 0 K lässt sich nicht erreichen.

Die effizienteste Maschine liefert null Leistung 🖖

Es gibt einen Haken, den Lehrbücher oft auslassen: Den Carnot-Grenzwert erreicht man nur, wenn der Zyklus unendlich langsam läuft, damit jeder Takt reversibel bleibt. Eine unendlich langsame Maschine liefert aber verschwindend geringe Leistung — praktisch nutzlos. 1975 fragten Curzon und Ahlborn stattdessen nach dem Wirkungsgrad bei maximaler Leistung und fanden η = 1 − √(T_C/T_H). Für eine Maschine mit 1800 K / 600 K ergibt das ≈ 42 % — viel näher an echten Kraftwerken als Carnots 67 %.

DIE CARNOT-GRENZE — WAS DIE OBERGRENZE SETZT UND WAS ES KOSTET, SIE ZU HEBEN

In welchem Carnot-Fall bist du?

Das Beste, was eine Wärmekraftmaschine leisten kann, ist η = 1 − Tc/Th, und bemerkenswert ist, was fehlt: der Brennstoff, das Arbeitsmedium, die Baugröße. Es zählen nur die beiden Temperaturen, und nur als Verhältnis. Dieser eine Ausdruck sagt dir, wo die Grenze liegt, warum echte Motoren heiß laufen und warum dieselbe Hardware, die eine schlechte Maschine ergibt, eine ausgezeichnete Wärmepumpe abgibt.

Temperaturverhältnis zwei zu eins — die Hälfte der Wärme wird Arbeit η = 1 − Tc/Th

Sehr heiße Quelle — die Grenze steigt, die Wirklichkeit bleibt zurück T_h ↑ ⇒ η ↑

Eine echte Maschine — die kalte Seite zählt so viel wie die heiße T_c ↓ ⇒ η ↑

Sehr kalte Senke — hohe Grenze aus lauwarmer Quelle η = 1 − T_c/T_h

Kleiner Temperaturabstand — schlechte Maschine, ausgezeichnete Wärmepumpe COP = T_c/(T_h − T_c)

Temperaturverhältnis zwei zu eins — die Hälfte der Wärme wird Arbeit

Was du weißt: Beide Reservoirtemperaturen in Kelvin. η = 1 − Tc/Th, und sonst geht nichts in die Rechnung ein.

Wirkungsgrad: η = 1 − Tc/Th

Rechenbeispiel: Th = 600 K gegen Tc = 300 K → η = 1 − 0,5 = 50 %. Von 1000 J aus der heißen Seite werden 500 J zu Arbeit, 500 J gehen kalt hinaus.

Diesen Fall öffnen: 50 % Wirkungsgrad

Temperaturverhältnis zwei zu eins — die Hälfte der Wärme wird Arbeit. Die Hälfte des Eingangs wird Arbeit, die Hälfte verlässt das kalte Reservoir — das Verhältnis bestimmt die Aufteilung. Beide Reservoirtemperaturen in Kelvin. η = 1 − Tc/Th, und sonst geht nichts in die Rechnung ein. — Die Hälfte des Eingangs wird Arbeit, die Hälfte verlässt das kalte Reservoir — das Verhältnis bestimmt die Aufteilung.

Sehr heiße Quelle — die Grenze steigt, die Wirklichkeit bleibt zurück

Was du weißt: Eine Verbrennungstemperatur weit über der Umgebung. Das Verhältnis Tc/Th wird klein, der theoretische Wirkungsgrad klettert gegen 1.

Wirkungsgrad: T_h ↑ ⇒ η ↑

Rechenbeispiel: Th = 2500 K gegen Tc = 300 K → η = 88 %. Von 5000 J erlaubt die Grenze 4400 J Arbeit und nur 600 J Abwärme.

Diesen Fall öffnen: Automotor

Sehr heiße Quelle — die Grenze steigt, die Wirklichkeit bleibt zurück. Eine heiße Quelle schrumpft die Abwärme zu einem dünnen Strom, jedenfalls im Prinzip. Eine Verbrennungstemperatur weit über der Umgebung. Das Verhältnis Tc/Th wird klein, der theoretische Wirkungsgrad klettert gegen 1. — Eine heiße Quelle schrumpft die Abwärme zu einem dünnen Strom, jedenfalls im Prinzip.

Eine echte Maschine — die kalte Seite zählt so viel wie die heiße

Was du weißt: Beide Temperaturen sind durch Arbeitsmedium und Kondensator festgelegt. Tc zu senken hilft genau so viel wie Th im selben Verhältnis zu heben.

Wirkungsgrad: T_c ↓ ⇒ η ↑

Rechenbeispiel: Th = 773 K gegen Tc = 373 K → η = 51,7 %, aus 2000 J also 1035 J Arbeit und 965 J Abwärme.

Diesen Fall öffnen: Dampfmaschine

Eine echte Maschine — die kalte Seite zählt so viel wie die heiße. Beide Reservoirs sind Hebel; die Kondensatortemperatur verschiebt die Grenze so sicher wie der Kessel. Beide Temperaturen sind durch Arbeitsmedium und Kondensator festgelegt. Tc zu senken hilft genau so viel wie Th im selben Verhältnis zu heben. — Beide Reservoirs sind Hebel; die Kondensatortemperatur verschiebt die Grenze so sicher wie der Kessel.

Sehr kalte Senke — hohe Grenze aus lauwarmer Quelle

Was du weißt: Die heiße Seite ist bloß Raumtemperatur, die kalte flüssiger Stickstoff. Es zählt das Verhältnis, nicht wie heiß sich die Quelle anfühlt.

Wirkungsgrad: η = 1 − T_c/T_h

Rechenbeispiel: Th = 300 K gegen Tc = 77 K → η = 74,3 %. Aus 500 J erlaubt die Grenze 372 J Arbeit.

Diesen Fall öffnen: Kryogen

Sehr kalte Senke — hohe Grenze aus lauwarmer Quelle. Eine kalte Senke leistet dasselbe wie eine heiße Quelle, denn es geht nur das Verhältnis der beiden ein. Die heiße Seite ist bloß Raumtemperatur, die kalte flüssiger Stickstoff. Es zählt das Verhältnis, nicht wie heiß sich die Quelle anfühlt. — Eine kalte Senke leistet dasselbe wie eine heiße Quelle, denn es geht nur das Verhältnis der beiden ein.

Kleiner Temperaturabstand — schlechte Maschine, ausgezeichnete Wärmepumpe

Was du weißt: Die beiden Reservoirs liegen dicht beieinander. Der Wirkungsgrad bricht ein, doch derselbe Kreisprozess rückwärts wird hochwirksam.

Wirkungsgrad: COP = T_c/(T_h − T_c)

Rechenbeispiel: Th = 350 K gegen Tc = 300 K → η = 14,3 %, nur 143 J Arbeit aus 1000 J. Umgekehrt beträgt die Leistungszahl Tc/(Th − Tc) = 6,0.

Diesen Fall öffnen: Ineffizient

Kleiner Temperaturabstand — schlechte Maschine, ausgezeichnete Wärmepumpe. Ein schmaler Abstand verschwendet als Maschine die meiste Wärme und verschiebt sie rückwärts billig. Die beiden Reservoirs liegen dicht beieinander. Der Wirkungsgrad bricht ein, doch derselbe Kreisprozess rückwärts wird hochwirksam. — Ein schmaler Abstand verschwendet als Maschine die meiste Wärme und verschiebt sie rückwärts billig.

Quellen (2)

Insight block 3 — efficiency at maximum power, not at zero power: F. L. Curzon and B. Ahlborn, "Efficiency of a Carnot engine at maximum power output." American Journal of Physics 43(1), 22–24, 1975 — where η = 1 − √(T_C/T_H) comes from.
The limit itself: S. Carnot, Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. Bachelier, Paris, 1824.

Aufgaben vollständig gelöst

Eine Wärmekraftmaschine, die 1000 J zwischen 600 K und 300 K aufnimmt 5 Schritte
Eine Wärmekraftmaschine arbeitet zwischen 600 K und 300 K und nimmt 1000 J auf. Finde die maximale Arbeit, die sie überhaupt verrichten könnte — und finde dann heraus, warum ein Anheben der heißen Seite besser ist als ein Kühlen der kalten Seite.
1. Ein reversibler Kreisprozess kehrt in seinen Ausgangszustand zurück, also muss die Entropie das auch tun. Diese eine Anforderung verknüpft die beiden Wärmeströme mit den beiden Temperaturen, noch bevor irgendein Entwurf der Maschine in Betracht gezogen wird.
  
  $\oint \frac{δ Q}{T} = 0 ⟹ \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{Q _{C}}{T _{C}}$
2. Der Wirkungsgrad ist die abgegebene Arbeit geteilt durch die zugeführte Wärme, und Arbeit ist diejenige Wärme, die nicht abgeführt wurde. Das Einsetzen der Entropiebedingung eliminiert die Wärmemengen vollständig und lässt nur die Temperaturen übrig.
  
  $η = \frac{W}{Q _{H}} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{Q _{C}}{Q _{H}} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}}$
3. Werte dies aus. Der Simulator oben zeigt diese Ersetzung und nicht nur das Ergebnis, was genau der Punkt ist: Das Ergebnis hängt von nichts bezüglich des Arbeitsfluids, der Drücke oder der Mechanik ab.
  
  $η = 1 - \frac{300}{600} = 0.500$
4. Es müssen also 500 J der 1000 J verworfen werden. Nicht weil die Maschine schlecht gebaut ist — sondern weil eine perfekt reversible Maschine, die zwischen diesen Temperaturen arbeitet, ebenfalls genau so viel verwerfen würde.
  
  $W = η Q_{H} = 0.500 \times 1000 = 500 J, Q_{C} = 1000 - 500 = 500 J$
5. Vergleiche nun die beiden möglichen Verbesserungen. Erhöhe die Temperatur auf der heißen Seite um 200 K auf 800 K oder kühle die kalte Seite um die von der Umgebung erlaubten 50 K auf 250 K ab. Unter die Umgebungstemperatur kannst du nicht kühlen, ohne dass eine zweite Maschine dafür Arbeit aufwendet.
  
  $T_{H} = 800 K, T_{C} = 300 K : η = 0.625; T_{C} = 250 K : η = 0.583$
Antwort

500 J, und kein einziges Joule mehr. Die Erhöhung des heißen Reservoirs auf 800 K ergibt η = 0.625; die kalte Seite ist nach unten durch die Umgebung begrenzt, sodass reale Gewinne fast immer von oben kommen. Deshalb streben Düsentriebwerke nach höheren Turbineneintrittstemperaturen mit exotischen Legierungen und Schaufelkühlung, und deshalb sind die Kühltürme eines Kraftwerks kein Konstruktionsfehler — die 500 J, die sie abgeben, werden durch den zweiten Hauptsatz verlangt. Die Obergrenze ist hier keine Frage der Ingenieurkunst; eine perfekte Maschine erreicht dieselbe Zahl.

$η_{m a x} = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} (temperatures in K, always)$
Ein Wirkungsgrad von 50,0 % beim Rückwärtslaufen des gesamten Kreisprozesses 6 Schritte
Die Tafel zeigt einen Wirkungsgrad von 50,0 % und eine Gesamtentropieänderung von exakt 0,0000. Diese Null ist die interessantere Zahl: sie ist die Erlaubnis, den ganzen Kreisprozess rückwärts laufen zu lassen. Tu das — und frage, was aus einer Carnot-Maschine dann wird.
1. Beginne dort, wo die Tafel schon steht. Die Hälfte der aus dem heißen Reservoir entnommenen Wärme geht als Arbeit hinaus, die andere Hälfte wird kalt abgeworfen — das bedeutet 50 % hier, und 1000 J hinein ergeben 500 J heraus.
  
  $η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} = 1 - \frac{300}{600} = 0.500, W = η Q_{H} = 500 J, Q_{C} = Q_{H} - W = 500 J$
2. Nun die Entropiezeile. Was das kalte Reservoir gewinnt und was das heiße verliert, sind gleich groß und entgegengesetzt, also ist die Summe null — und ein Prozess mit null Entropieänderung ist per Definition umkehrbar. Nichts im Kreisprozess bevorzugt eine Richtung.
  
  $Δ S = \frac{Q _{C}}{T _{C}} - \frac{Q _{H}}{T _{H}} = \frac{500}{300} - \frac{1000}{600} = 1.6667 - 1.6667 = 0$
3. Also kehre ihn um. Stecke 500 J Arbeit hinein, und der Prozess hebt 500 J von der kalten Seite herauf und liefert 1000 J an die heiße. Durch die Arbeit geteilt: zwei Einheiten Wärme pro eingesetzter Einheit Arbeit — genau 1/η.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1000}{500} = 2 = \frac{1}{η}, \frac{Q _{C}}{W} = \frac{500}{500} = 1$
4. Beide Verhältnisse verdienen einen Namen. Gelieferte Wärme je Arbeitseinheit ist 2; der kalten Seite entzogene Wärme je Arbeitseinheit ist 1. Ihre Differenz ist immer exakt 1, und das ist kein Zufall: die Differenz der beiden Wärmen ist die Arbeit.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} - \frac{Q _{C}}{W} = \frac{Q _{H} - Q _{C}}{W} = \frac{W}{W} = 1 \forall T_{H} > T_{C}$
5. Nun die Zahl, auf die es in einem Haus ankommt. Schreibe das Verhältnis allein in Temperaturen: 20 °C innen gegen 0 °C außen sind 20 K Abstand, und der ideale Wert ist 14,65 — fast fünfzehn Joule Wärme je Joule Strom.
  
  $\frac{Q _{H}}{W} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : T_{H} = 293 K, T_{C} = 273 K ⟹ \frac{293}{20} = 14.65$
6. Die beiden Richtungen ziehen gegeneinander, und das ist der Stachel. Verkleinere den Temperaturabstand, und die Wärmepumpe wird großartig, während die Maschine unbrauchbar wird.
  
  $T_{H} - T_{C} \to 0 : \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} \to \infty, η = 1 - \frac{T _{C}}{T _{H}} \to 0$
Antwort

Lässt man eine Carnot-Maschine rückwärts laufen, wird aus ihrem Wirkungsgrad die Leistungszahl 1/η — hier 2, also 1000 J geliefert für 500 J Arbeit. Das liest sich wie 200 % und verletzt nichts, denn eine Wärmepumpe befördert Wärme, statt sie herzustellen. Der Feind der Maschine ist der Freund der Wärmepumpe: bei 293 K gegen 273 K liegt der Idealwert bei 14,65, während ein reales Gerät 3 bis 5 schafft. Der ganze Abstand zwischen 14,65 und 4 ist Irreversibilität — die Entropiezeile der Tafel, die dann nicht mehr null anzeigt.

$\frac{Q _{H}}{W} = \frac{1}{η} = \frac{T _{H}}{T _{H} - T _{C}} : 2 (600/300 K), 14.65 (293/273 K)$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

50 % Wirkungsgrad - Eine runde Zahl zum Merken: 600 K über 300 K halbiert das Verhältnis und ergibt genau 50,0% — von 1000 J hinein kommen 500,0 J als Arbeit heraus
Automotor - Eine Benzinflamme bei 2500 K mit Abgas bei 300 K erlaubt 88,0% und 4400,0 J von je 5000 — eine Obergrenze, von der reale Motoren kaum ein Drittel erreichen
Dampfmaschine - 773 K über 373 K sind 51,7%: überhitzter Dampf zum Kondensator, und trotzdem wird nur die Hälfte der Wärme zu Arbeit
Kryogen - Flüssiger Stickstoff bei 77 K als kalte Seite ergibt von Raumtemperatur aus 74,3% — das kalte Reservoir ist der billigere Hebel, und hier sieht man warum
Ineffizient - 350 K über 300 K sind 14,3%. Ein Gefälle von 50 Grad ergibt eine schlechte Maschine, wie gut sie auch gebaut ist — genau darum geht es in der Formel