Abstandsgesetz-Explorer

Kraft, Bestrahlungsstärke und Fluss nehmen alle mit 1/r² ab — weil sie sich über eine Kugel ausbreiten, deren Oberfläche mit 4πr² wächst.

Rechenbeispiel — Abstandsgesetz-Explorer

G	6.674×10⁻¹¹ Nm²kg⁻²
m₁	5.97×10²⁴ kg
m₂	1 kg
Entfernung r	6.37×10⁶ m
r²	4.06×10¹³ m²
Kugeloberfläche 4πr²	5.10×10¹⁴ m²

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Voyager 1 läuft mit 22 W — und wir hören sie noch immer 🖖

Voyager 1 ist inzwischen ~163 AE von der Sonne entfernt (≈ 2,4 × 10¹³ m). Setzt man das in die Formel für die Bestrahlungsstärke ein: E = 3,828 × 10²⁶ / (4π × (2,4 × 10¹³)²) ≈ 0,051 W/m² — etwa 26.600 Mal schwächer als Sonnenlicht auf der Erde, also genau 163². Solarzellen wären nutzlos. Voyager läuft daher mit radioaktivem Zerfall (einem Radioisotopen-Generator), der rund 250 W nutzbaren Strom liefert. Ihr Funksender strahlt mit 22 W ab — etwa so viel wie ein schwacher LED-Streifen verbraucht. Bis das Signal die Antennen des Deep Space Network der Erde (70 m Durchmesser) erreicht, hat das 1/r²-Gesetz diese 22 W über eine Kugel von der Größe des inneren Sonnensystems verteilt. Die empfangene Leistung liegt bei etwa 10⁻¹⁸ W. Deshalb müssen die Empfangsantennen riesig sein und die Empfänger von der NASA nahezu auf den absoluten Nullpunkt gekühlt werden, um das Signal überhaupt zu hören. Dasselbe Gesetz, dieselbe Geometrie — ob es nun Sonnenlicht ist, das dein Gesicht wärmt, oder das Flüstern des am weitesten entfernten Artefakts der Menschheit.

Warum doppelte Entfernung nur ein Viertel der Helligkeit bedeutet 🖖

Die Regel ist reine Geometrie. Energie, die eine Punktquelle verlässt, verteilt sich gleichmäßig über die Oberfläche einer wachsenden Kugel, und deren Fläche wächst mit 4πr². Verdoppelt man die Entfernung, verteilt sich dieselbe Energie über die vierfache Fläche, sodass die Intensität auf ein Viertel sinkt — nicht auf die Hälfte. Deshalb kühlt man so schnell aus, wenn man von einem Lagerfeuer zurücktritt, und deshalb zeigt dieses Werkzeug Gravitation, Licht und elektrische Kraft auf ein und derselben Kurve.

Das 1/r²-Gesetz ist ein Fingerabdruck des 3D-Raums 🖖

Der Exponent ist nicht willkürlich — er entspricht der Zahl der Raumdimensionen minus eins. Wir erhalten 1/r², weil die Fläche einer Kugel im dreidimensionalen Raum mit r² wächst. In einem hypothetischen 4D-Universum würde die Gravitation mit 1/r³ abfallen, und Paul Ehrenfest zeigte 1917, dass Planetenbahnen dann instabil wären — Planeten würden in den Stern stürzen oder davonfliegen. Stabile Sonnensysteme und damit Leben hängen vielleicht davon ab, dass der Raum genau drei Dimensionen hat.

Aufgabe vollständig gelöst

Die eine Umlaufbahn, auf der ein Satellit regungslos hängt 5 Schritte
Die Erde zieht 1 kg an ihrer Oberfläche mit 9,82 N an. Bestimmen Sie nur damit die eine Umlaufbahn, auf der ein Satellit regungslos über einem Punkt auf dem Äquator steht. Dies ist Gravitation mit m₁ = 5,972 × 10²⁴ kg, m₂ = 1 kg und r = 6371 km.
1. Das Newtonsche Gravitationsgesetz mit den eingesetzten Zahlen. Entscheidend für den weiteren Verlauf sind nicht die 9,82 N, sondern das Produkt GM = 3,986 × 10¹⁴ in SI-Einheiten, da sich die Eigenmasse des Satelliten im nächsten Schritt herauskürzt und nicht wieder auftaucht.
  
  $r^{2} = (6.371 \times 1 0^{6})^{2} = 4.06 \times 1 0^{13} m^{2}; F = \frac{G m _{1} m _{2}}{r ^{2}} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14} \times 1}{4.06 \times 1 0 ^{13}} = 9.82 N$
2. Bei einer Kreisbahn entspricht genau diese Gravitationsbeschleunigung der erforderlichen Zentripetalbeschleunigung. Durch Gleichsetzen beider Werte kürzt sich die umlaufende Masse heraus, sodass eine einzige Beziehung zwischen dem Radius und der Winkelgeschwindigkeit verbleibt.
  
  $\frac{GM}{r ^{2}} = ω^{2} r ⟹ r^{3} = \frac{GM}{ω ^{2}}$
3. Die Winkelgeschwindigkeit ist vorgegeben und nicht frei wählbar: Um über einem festen Punkt zu verharren, muss sich der Satellit exakt synchron mit der Erde drehen. Die Erde dreht sich einmal in 86.164 s statt in 86.400 s, da ein Sonnentag zusätzlich die Wegstrecke ausgleichen muss, die die Erde auf ihrer Umlaufbahn zurücklegt. Die Verwendung von 86.400 führt zu einer um 77 km zu hohen Umlaufbahn, und ein Satellit auf dem falschen Radius bleibt nicht über seinem Punkt stehen.
  
  $ω = \frac{2 π}{86 164 s} = 7.292 \times 1 0^{- 5} rad/s, ω^{2} = 5.318 \times 1 0^{- 9} s^{- 2}$
4. Daraus die Kubikwurzel ziehen. Die 42.163 km sind vom Erdmittelpunkt aus gemessen; zieht man die auf dem Bedienfeld bereits angegebenen 6371 km ab, verbleiben etwa 35.790 km Höhe — die üblicherweise genannten 35.786 km entsprechen derselben Umlaufbahn, gemessen vom Äquatorradius, der um 7 km größer ist.
  
  $r^{3} = \frac{3.986 \times 1 0 ^{14}}{5.318 \times 1 0 ^{- 9}} = 7.495 \times 1 0^{22} m^{3} ⟹ r = 4.2163 \times 1 0^{7} m = 42163 km$
5. Die Gravitation dort draußen gehorcht genau dem Gesetz, das auf dieser Seite dargestellt ist. Der Radius hat sich um den Faktor 6,62 vergrößert, sodass die Anziehungskraft um das Quadrat dieses Faktors schwächer geworden ist.
  
  $(\frac{42 163}{6371})^{2} = 43.8 ⟹ g (r) = \frac{9.82}{43.8} = 0.2242 m/ s^{2}$
Antwort

Das Werkzeug gibt 9,82 N für 1 kg bei einem Abstandsquadrat von 4,06 × 10¹³ m² aus. Was daraus folgt, ist keine willkürlich gewählte Höhe: 42.163 km ist der einzige Radius, dessen Umlaufzeit mit der Erddrehung übereinstimmt, sodass die geostationäre Umlaufbahn eine mathematische Lösung und keine Designentscheidung ist. Dadurch wird der geostationäre Gürtel zu einem einzigen Kreis von 264.900 km Umfang, und jeder Satellit, der ortsfest bleiben muss — Fernsehen, Wetter, die meisten Relaisstationen —, muss sich irgendwo darauf befinden. Ein Grad dieses Kreises entspricht 736 km, weshalb Orbitpositionen durch internationale Verträge zugewiesen und nicht einfach beansprucht werden. Und die Anziehungskraft dort draußen ist 43,8-mal schwächer als unter unseren Füßen — was der 1/r²-Kurve dieser Seite entspricht, weiterverfolgt bis auf sechseinhalb Erdradien.

$r_{GEO} = 3 \frac{GM}{ω ^{2}} = 42163 km, 2 π r_{GEO} = 264900 km$

Quellen (1)

Voyager transmitter power, antenna sizes and received signal levels: R. Ludwig and J. Taylor, "Voyager Telecommunications." DESCANSO Design and Performance Summary Series, Article 4. Jet Propulsion Laboratory, 2002.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

Erdoberfläche - Schwerkraft an der Erdoberfläche (m2=1 kg): F ≈ 9.8 N — das entspricht 1 kg-Kraft
Mondumlaufbahn - Mondbahnabstand: 1 kg spürt F ≈ 0.0027 N — ≈3600× schwächer als an der Oberfläche
Sonnenlicht auf der Erde - Sonnenlicht bei der Erde (1 AU): Bestrahlungsstärke ≈ 1361 W/m² — die Solarkonstante
Doppelte Entfernung - 2× Erdabstand: Bestrahlungsstärke sinkt auf ≈ 340 W/m² — genau ¼ der Solarkonstante
Protonen - Proton-Proton bei 1 fm: Coulombkraft ≈ 230 N — muss von der starken Kernkraft überwunden werden