Signalabtastung & Nyquist-Theorem

Leiten Sie die 6-dB-pro-Bit-Regel für einen 8-Bit-Wandler von Grund auf ab — woher stammt die isolierte 1,76? — und geben Sie dann an, was sie nicht verspricht.

1. Das Runden auf die nächstgelegene Stufe hinterlässt einen Fehler, der nicht größer als eine halbe Stufe ist, und bei einem dynamischen Signal verteilt sich dieser Fehler gleichmäßig über das Intervall. Seine Varianz ist das Integral von e² über eine Gleichverteilung.

   $$\Delta =\frac{V_{FS}}{2^N},e\sim \mathcal{U}\left(-\frac{\Delta }{2},\frac{\Delta }{2}\right),{\sigma }_e^2=\frac{1}{\Delta }{\int }_{-\Delta /2}^{\Delta /2}{e}^{2}de=\frac{{\Delta }^2}{12}$$

2. Das Referenzsignal ist ein Sinus, der den gesamten Eingangsbereich ausnutzt, sodass seine Leistung der Hälfte des Quadrats seiner Amplitude entspricht.

   $$P_{\text{sig}}=\frac{(V_{FS}/2{)}^2}{2}=\frac{V_{FS}^2}{8}$$

3. Dividieren Sie die beiden Werte. Der Vollaussteuerungsbereich kürzt sich heraus; dies ist der Grund, warum das Ergebnis eine reine Funktion der Bitanzahl und nicht der Spannung ist.

   $$\mathrm{SNR}=\frac{V_{FS}^2/8}{{\Delta }^2/12}=\frac{12}{8}{\left(\frac{V_{FS}}{\Delta }\right)}^2=\frac{3}{2}\cdot 2^{2N}$$

4. Bilden Sie die Logarithmen. Die 6,02 ist 20 log₁₀2 — ein Bit verdoppelt die Anzahl der Stufen — und die 1,76 ist die verbleibende 3/2 aus der vorherigen Zeile.

   $$\mathrm{SN}{\mathrm{R}}_{\mathrm{dB}}=10{\log }_{10}\frac{3}{2}+20N{\log }_{10}2=1.76+6.02N$$

5. Werten Sie das Ergebnis für 8 Bit aus, danach für 16. Jedes zusätzliche Bit bringt etwas mehr als 6 dB, sodass die acht zusätzlichen Bits der Audio-CD 48 dB einbringen.

   $$N=8:6.02(8)+1.76=49.92\mathrm{dB};N=16:98.08\mathrm{dB}$$