Explorer für das Benfordsche Gesetz

Wähle eine Zahlenmenge. Vergleiche ihre Anfangsziffern mit dem Benfordschen Gesetz. Ändere dann die Einheiten und beobachte, welche Datensätze sich verschieben.

Rechenbeispiel — Explorer für das Benfordsche Gesetz

Chi-Quadrat	0,2
Mittlere absolute Abweichung	0,08%
Schlechteste Ziffer	7, weicht um 0,2% ab

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

Interaktive Simulation wird geladen...

Warum die erste Ziffer fast in einem Drittel der Fälle eine 1 ist 🖖

Die neun Ziffern sind nicht gleich wahrscheinlich. Die Anfangsziffer ist nämlich nicht gleichmäßig über die Werte verteilt, sondern über die Logarithmen. Von 1 auf 2 zu kommen bedeutet eine Verdopplung. Der Schritt von 8 auf 9 entspricht einem Anstieg von 12,5 %. Eine Größe, die durch Multiplikation wächst, verbringt daher sechseinhalbmal so viel Zeit mit einer führenden 1 wie mit einer führenden 9. Und log₁₀(2) = 0,301 entspricht exakt dem Anteil einer Zehnerpotenz, den die Spanne von 1 bis 2 einnimmt. Jeder Wert in dem Gesetz entstammt dieser einen Berechnung: log₁₀(1 + 1/d). Das liefert 30,1 % für die 1 und 4,6 % für die 9.

Ändere die Einheiten. Finde heraus, welche Daten das Gesetz je erfüllen konnten 🖖

Multiplizierst du jeden Wert mit einer Konstanten, verschiebt sich jeder Logarithmus um denselben Betrag. Eine Menge, die ihre Logarithmen bereits gleichmäßig verteilt, bleibt somit unverändert. Das lässt sich hier direkt überprüfen, statt es nur als Behauptung hinzunehmen. Nimm die Fibonacci-Zahlen. Rechne sie um, als ob Zentimeter zu Zoll werden, und danach Meilen zu Kilometern. Du erhältst 30,1 %, 30,1 % sowie 30,0 %. Chi-Quadrat verlässt nie den Bereich von 0,03 bis 0,19. Mach das nun mit den Körpergrößen. In Zentimetern beginnt jeder Wert mit 1. In Zoll beginnen 86 % mit der 6. In Fuß starten 96 % mit 5. Es sind dieselben Menschen. Ein wichtiger Vorbehalt, bevor du es probierst: Die Multiplikation mit einer Zehnerpotenz verschiebt lediglich das Komma. Daher belässt ×100 jeden Datensatz exakt an seiner ursprünglichen Stelle. Das schließt auch die unpassenden Mengen ein. Dieser Faktor dient ganz bewusst als Kontrolle.

Die Spanne muss an einer Zehnerpotenz enden. Echte Daten tun das nie. 🖖

Ein üblicher Ratschlag besagt, das Gesetz erfordere Daten über mehrere Größenordnungen hinweg. Dieser Rat stimmt, doch die Begründung ist falsch. Verteile Werte logarithmisch gleichmäßig über exakt eine Zehnerpotenz. Sie erfüllen das Gesetz perfekt: 30,2 % bei der Anfangsziffer 1, ein Chi-Quadrat von 11,3 bei fünftausend Werten. Das ist keine Näherung, denn Logarithmen, die gleichmäßig über eine ganze Zehnerpotenz verteilt sind, entsprechen per Definition dem Benfordschen Gesetz. Zwei, drei, vier, sechs und zehn Zehnerpotenzen liefern Chi-Quadrat-Werte von 8,1, 5,0, 4,8, 5,2 und 7,5. Alles im grünen Bereich. Setze die Spanne nun auf 1,5 Zehnerpotenzen. Chi-Quadrat springt auf 456 und das Gesetz wird glatt abgelehnt. Dies geschieht bei einer größeren Spannweite als zuvor. Die angefangene halbe Zehnerpotenz zählt ihre niedrigen Ziffern doppelt, und es gibt keinen Ausgleich dafür. Echte Daten werden nur gerettet, weil dieser Rest beim Wachsen der Spanne bedeutungslos wird. Der Fehler dieser halben Zehnerpotenz fällt von 4.707 bei 0,5 Zehnerpotenzen auf 456 bei 1,5. Danach sinkt er über 191, 101 sowie 57 auf 32 bei 6,5. Messungen in der Praxis enden niemals exakt an einer Zehnerpotenz. Mehrere Größenordnungen bewirken letztlich nur ein ausgefranstes Ende, das zu klein ist, um noch ins Gewicht zu fallen.

Aufgaben vollständig gelöst

Erwartete Häufigkeit und Chi-Quadrat-Beitrag für 24 von 200 Spesenabrechnungen 6 Schritte
Ein Wirtschaftsprüfer zieht 200 Spesenabrechnungen und stellt fest, dass 24 davon mit der Ziffer 1 beginnen. Entspricht das dem Benfordschen Gesetz? Berechne die erwartete Anzahl, den Beitrag dieser einzelnen Ziffer zum Chi-Quadrat-Wert und welches Gesamtergebnis vorliegen müsste, bevor du handeln könntest.
1. Beginne mit der Vorhersage des Gesetzes. Die Wahrscheinlichkeit für eine führende 1 beträgt log₁₀(1 + 1/1) = log₁₀ 2 = 0,30103. Bei 200 Abrechnungen liegt die erwartete Anzahl somit bei 0,30103 × 200.
  
  $P (d = 1) = lo g_{10} (1 + \frac{1}{1}) = lo g_{10} 2 = 0.30103$
2. Das ergibt 60,2 Abrechnungen. Der Prüfer fand 24. Es fehlen also 36,2 Abrechnungen, und dieses Defizit tritt ausgerechnet bei der Ziffer auf, die laut Gesetz mit großem Abstand am häufigsten vorkommen müsste.
  
  $E_{1} = 0.30103 \times 200 = 60.21 claims$
3. Das Chi-Quadrat addiert einen Term pro Ziffer, und zwar jeweils (beobachtet − erwartet)² ÷ erwartet. Für die führende 1 lautet dieser Term (24 − 60,21)² ÷ 60,21.
  
  $χ^{2} = d = 1 \sum 9 \frac{( O _{d} - E _{d} ) ^{2}}{E _{d}}$
4. (−36,21)² ergibt 1.310,9, und die Division durch 60,21 liefert 21,77. Der gesamte Test hat acht Freiheitsgrade und sein kritischer 5%-Wert liegt bei 15,507. Diese einzige Ziffer hat die Prüfgröße also bereits im Alleingang über die Verwerfungsgrenze getrieben.
  
  $\frac{( 24 - 60.21 ) ^{2}}{60.21} = \frac{1310.9}{60.21} = 21.77$
5. Damit ist die reine Rechnung abgeschlossen, die Interpretation aber noch nicht. Das Chi-Quadrat wächst mit der Stichprobe: Die gleichen Proportionen bei 2.000 Abrechnungen würden einen zehnmal größeren Term liefern. Ein großer, völlig korrekter Datensatz kann also wegen einer Abweichung durchfallen, die niemand als Betrug bezeichnen würde. Aus diesem Grund geben Wirtschaftsprüfer stattdessen die mittlere absolute Abweichung an, die nicht mit n wächst.
  
  $MAD = \frac{1}{9} d = 1 \sum 9 \frac{O _{d}}{n} - P (d)$
6. Die sachlich angemessene Schlussfolgerung lautet also: Diese 200 Forderungen weisen nicht die von Benfords Gesetz vorhergesagte Verteilung der führenden Ziffern auf. Wofür das ein Beleg ist, lässt sich an den Ziffern allein nicht erkennen. Ein Unternehmen mit einer Genehmigungsgrenze von £999 erzeugt aus völlig harmlosen Gründen eine Häufung führender Neunen; dasselbe gilt für ein Unternehmen, das einen festen Tagessatz erstattet.
Antwort

Erwartet werden 60,2 Abrechnungen, die mit 1 beginnen; 24 wurden gefunden. Diese Ziffer allein steuert 21,77 zu einer Prüfgröße bei, deren kritischer 5%-Wert bei 15,507 liegt. Der Test verwirft, aber Verwerfen ist nicht dasselbe wie Aufdecken. Das Benfordsche Gesetz ist ein Filter, der einem Prüfer zeigt, wo er genauer hinsehen muss. Jede veröffentlichte Anwendung in dieser Funktion – angefangen bei Mark Nigrinis Steuerprüfungen in den 1990er Jahren – wertet eine solche Abweichung als Anlass, die Akten aufzuschlagen, und nicht als abschließenden Befund. Genau aus diesem Grund gibt das Tool neben dem Chi-Quadrat auch die mittlere absolute Abweichung aus: Wechsle zu einem Datensatz von 5.000 Einträgen und beobachte, wie das Chi-Quadrat in die Höhe schießt, während sich die Abweichung kaum verändert.
Ein Chi-Quadrat von 0,2, und warum ausgerechnet das verdächtig ist 6 Schritte
Lade die Voreinstellung Fibonacci. Das Chi-Quadrat steht bei 0,2, der kritische 5%-Wert bei 15,507; die Folge besteht den Test also mit großem Abstand. Rechne aus, wie wahrscheinlich eine derart gute Übereinstimmung ist, und entscheide dann, was ein sehr kleines Chi-Quadrat einem Wirtschaftsprüfer sagen sollte.
1. Vergleiche zuerst die Häufigkeiten. Tausend Fibonacci-Zahlen legen 301 Werte in das Fach der führenden 1, das Gesetz verlangt 301,03. Die größte Abweichung über alle neun Fächer trifft die Ziffer 7: 56 beobachtet gegen 57,99 erwartet. Das ist nicht nah dran. Das ist beinahe exakt.
  
  $O = (301, 177, 125, 96, 80, 67, 56, 53, 45), E = (301.0, 176.1, 124.9, 96.9, 79.2, 67.0, 58.0, 51.2, 45.8)$
2. Ein Chi-Quadrat mit acht Freiheitsgraden hat den Erwartungswert 8 und die Standardabweichung 4. Die Karte rundet auf 0,2, dahinter steht 0,1695. Das sind zwei Standardabweichungen unter dem Mittelwert einer Größe, die gar nicht unter null gehen kann.
  
  $χ^{2} = 0.1695 on 8 df, E [χ_{8}^{2}] = 8, sd = 16 = 4$
3. Der untere Rand hat hier eine geschlossene Form: Bei acht Freiheitsgraden fällt die unvollständige Gammafunktion auf vier Terme zusammen. Eine Tabelle brauchst du nicht.
  
  $P (χ_{8}^{2} \leq x) = 1 - e^{- x /2} (1 + \frac{x}{2} + \frac{( x /2 ) ^{2}}{2} + \frac{( x /2 ) ^{3}}{6})$
4. Setz 0,1695 ein, und heraus kommt 2,0 × 10⁻⁶. Etwa eine von einer halben Million Stichproben passt so genau zum Gesetz. Stell den Datensatz bei gleicher Größe auf die logarithmisch gleichverteilte Stichprobe um, also auf den Mechanismus selbst, zufällig gezogen: Die Karte zeigt dann 5,6.
  
  $P (χ_{8}^{2} \leq 0.1695) = 2.0 \times 1 0^{- 6} (1 in 498, 235)$
5. Die Erklärung: Die Fibonacci-Zahlen waren nie eine Stichprobe. log₁₀ Fₖ ist k log₁₀ φ minus einer Konstanten, die führenden Ziffern hängen also an den Nachkommaanteilen der Vielfachen von 0,2089876…, und diese Zahl ist irrational. Weyl bewies 1916, dass sich eine solche Folge gleichmäßig verteilt.
  
  $lo g_{10} F_{k} = k lo g_{10} φ - lo g_{10} 5 + o (1), lo g_{10} φ = 0.2089876 \dots \in / Q$
6. Und zwar gleichmäßiger, als der Zufall es schafft. Die Lücken, die eine Rotation dieser Art lässt, schrumpfen wie log N durch N, während N Zufallsziehungen Lücken der Größenordnung 1/√N hinterlassen; das Chi-Quadrat geht mit N mal dem Quadrat dieser Lücke. Tausend deterministische Glieder schlagen tausend zufällige also deutlich, und 0,17 ist, wie dieser Abstand aussieht.
  
  $D_{N} = O (\frac{l o g N}{N}) vs O (N^{- 1/2}), χ^{2} \sim N D_{N}^{2}$
Antwort

Etwa eins zu 500.000 unter jedem Zufallsmodell, womit die gute Passung zum Beleg dafür wird, dass diese Daten gar keine Stichprobe sind. Ein Chi-Quadrat-Test stellt genau eine Frage: Liegen die Daten weiter vom Gesetz entfernt, als der Zufall es zulässt? Dass Daten zu nah dran sind, kann er nicht sagen, und die Befundzeile lautet bei 0,17 genauso wie bei 8.

Für einen Prüfer kehrt das die übliche Lesart um. Ein Buchungsbestand, der Benford auf zwei Nachkommastellen trifft, hat ein Problem, und es ist dasselbe Problem, das R. A. Fisher 1936 an Mendels Erbsendaten aufwarf: Die Übereinstimmung mit der Theorie war enger, als eine Stichprobe sie hervorbringen kann. Wer über das Benfordsche Gesetz gelesen hat und daraus Ziffern erzeugt, hinterlässt genau diese Signatur, und sie ist leichter zu sehen als der Betrug, für den der Test gebaut wurde: Ehrliche Bücher kommen mit den ausgefransten Rändern einer echten Stichprobe an, tausend Fibonacci-Zahlen nicht.

$χ^{2} = 0.17 ⟹ not a sample; {k lo g_{10} φ} equidistributed (Weyl, 1916)$

Quellen (3)

The observation, made fifty-seven years before the law was named after somebody else: S. Newcomb, "Note on the Frequency of Use of the Different Digits in Natural Numbers." American Journal of Mathematics 4 (1881), p. 39.
Why the law is scale-invariant, which is the property the unit switch on this page tests: T. P. Hill, "A Statistical Derivation of the Significant-Digit Law." Statistical Science 10 (1995).
The paper the law is named for, and the one that first checked it against real data: F. Benford, "The Law of Anomalous Numbers." Proceedings of the American Philosophical Society 78 (1938), 551-572.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-27

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Beispielaufgaben

Fibonacci - Die ersten tausend Fibonacci-Zahlen. 30,1 % von ihnen beginnen mit einer 1 und Chi-Quadrat liegt bei 0,2. Das kommt dem Gesetz so nah, wie es für tausend Zahlen überhaupt möglich ist. Es wurde nichts angepasst. Die Folge ist schlicht, wie sie ist.
Körpergrößen (cm) - Zweitausend Körpergrößen von Erwachsenen in Zentimetern. Jede einzelne beginnt mit einer 1. Erwachsene sind zwischen etwa 145 cm und 195 cm groß, und in diesem Bereich fängt nichts mit einer anderen Ziffer an. Es handelt sich um die größtmögliche Abweichung und nicht um einen knappen Fehler.
Körpergrößen (Zoll) - Dieselben zweitausend Personen, jedoch in Zoll gemessen. Nun beginnen 86 % mit einer 6. Weder die Menschen noch ihre Körpergrößen haben sich verändert. Lediglich die Einheit ist eine andere, und genau das ist der Test.
Ausgedachte Zahlen - Tausend typische Zahlen, die Menschen erfinden, wenn man sie darum bittet. Die Ziffern sind ziemlich gleichmäßig verteilt, wobei die 1 am seltensten gewählt wurde. Chi-Quadrat beträgt 502. Genau deshalb nutzt man diesen Test bei Spesenabrechnungen.
Halbe Zehnerpotenz - Fünftausend Werte, die gleichmäßig über eine halbe Zehnerpotenz verteilt sind: von 1 bis etwa 3,2. Ganze 61 % beginnen mit einer 1 und Chi-Quadrat liegt bei 4.707. Erweiterst du die Spanne auf eine volle Zehnerpotenz, erfüllt derselbe Generator das Gesetz exakt. Bei einer Erweiterung auf 1,5 scheitert er wieder. Diesen Teil erwähnt meist niemand.