Kausalitäts-Sandbox

Erzeuge synthetische Daten aus verschiedenen Kausalstrukturen und beobachte, wie sich Korrelation und Steigung verändern.

Rechenbeispiel — Kausalitäts-Sandbox

Korr(X,Y)	−0.8871
Steigung Y~X	−0.8077
Korr(X,Z)	0.9452
Korr(Y,Z)	−0.9315

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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warum Kausaldiagramme Korrelationstabellen schlagen 🖖

Eine Korrelation zeigt, dass sich zwei Variablen gemeinsam bewegen — nicht warum. Dieselbe Zahl kann aus drei grundverschiedenen Strukturen entstehen:

Direkte Ursache (X → Y): Entfernt man X, ändert sich Y.
Konfundierer (Z → X, Z → Y): Z verursacht beides; X und Y sind korreliert, aber keines verursacht das andere. Kontrolliert man für Z, verschwindet die Korrelation.
Collider (X → Z ← Y): X und Y sind unabhängig, aber wenn man nach Z selektiert oder bedingt, entsteht ein scheinbarer Zusammenhang zwischen ihnen.

Der gerichtete azyklische Graph (DAG) im Diagramm kodiert, welche Variablen Ursachen und welche Wirkungen sind. Ohne ihn lassen sich diese Fälle anhand eines einzelnen Korrelationskoeffizienten nicht unterscheiden — deshalb beginnt kausale Inferenz stets mit einem Strukturmodell, nicht mit einer Korrelationsmatrix.

Korrelation ist Sehen, Kausalität ist Tun 🖖

Hier hängt alles von einem Unterschied ab: Beobachtest du eine Variable nur, oder greifst du in sie ein? Konfundierende Variablen und Kollider täuschen dich, weil du stets Daten beobachtest, die bereits durch einen verborgenen Prozess geprägt wurden. Ein randomisiertes Experiment umgeht dieses Problem. Wird X per Münzwurf zugewiesen, werden alle auf X gerichteten Pfeile gekappt. Bleibt dann eine Korrelation mit Y bestehen, muss sie kausal sein. Deshalb kann eine kontrollierte Studie eine Frage klären, die sich mit Beobachtungsdaten allein niemals entscheiden ließe.

das Berkeley-Zulassungsparadoxon 🖖

Das Simpson-Szenario ist kein Spielzeug. 1973 wurden an der Graduiertenzulassung von UC Berkeley rund 44% der Männer aufgenommen, aber nur 35% der Frauen — scheinbar ein Zeichen von Benachteiligung. Fachbereich für Fachbereich jedoch wurden Frauen mit leicht höheren Quoten zugelassen; sie hatten sich nur weit häufiger auf die umkämpftesten Fächer beworben. Das Zusammenfassen über alle Fachbereiche kehrte den Trend innerhalb der Gruppen um — genau die Umkehr, die die gestrichelte Linie hier nachzeichnet.

Aufgabe vollständig gelöst

Korrelation von −0,8871 über 400 Punkte bei konstant gehaltenem Z 6 Schritte
X und Y korrelieren über 400 Punkte mit −0,8871. Berechne, wie viel davon übrig bleibt, wenn Z konstant gehalten wird, und gib an, wie sicher du dir bei beiden Werten sein darfst.
1. Drei Korrelationen, alle ermittelt aus denselben 400 Punkten. Alles Folgende ist Arithmetik auf Basis dieser drei Zahlen — ein weiterer Zugriff auf die Daten ist nicht erforderlich, was der nützliche Teil daran ist.
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. Die partielle Korrelation fragt danach, was von X–Y übrig bleibt, wenn man von beiden den durch Z erklärten Anteil abzieht. Die Formel entspricht der Korrelation der beiden Residuen, ausgedrückt durch die rohen Korrelationen.
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. Im Zähler entscheidet sich das Ergebnis. Der Effekt von Z auf X multipliziert mit dem Effekt von Z auf Y macht 0,8805 der beobachteten 0,8871 aus — die Korrelation ist ein Schatten, kein Signal.
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. Der Nenner dient nur der Skalierung. Beachten Sie, dass er sich aus der nicht durch Z erklärten Varianz zusammensetzt; deshalb führt ein Z, das fast alles erklärt, zu einer instabilen Schätzung.
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1323 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. Setze nun bei beiden einen Fehlerbalken an. Fishers Transformation macht aus einer Korrelation etwas annähernd Normalverteiltes. Multiplizierst du mit √(n−3), erhältst du den Abstand von null in Standardfehlern. Für die partielle Korrelation gilt √(n−4), da sie einen Freiheitsgrad an Z verloren hat.
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 - k : r = - 0.8871 (k = 0) \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 (k = 1) \Rightarrow z = - 1.10$
6. Als grobe Kontrolle: Der Standardfehler von r nahe null ist 1/√(n−3). Da dieser bei 0,050 liegt, ist eine partielle Korrelation von −0,055 knapp über einen Standardfehler entfernt.
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
Antwort

Fast nichts davon bleibt übrig: −0,0553. Wandle beide in Fishers z um. Die Rohkorrelation liegt dann 28 Standardfehler von null entfernt, die partielle nur 1,1. Das ist der Unterschied zwischen dem sichersten Wert im Datensatz und einem Resultat, das du allein durch Rauschen in einem Viertel der Fälle erwarten würdest. Zwei Warnungen gibt es gratis dazu. Der Zähler ist eine Differenz aus zwei fast gleichen Zahlen, 0,8871 gegenüber 0,8805. Die vier Ziffern, die du hineinsteckst, liefern dir im Ergebnis also kaum zwei. Und diese Arithmetik verrät dir nicht, ob Z ein Confounder statt eines Mediators ist. Das verdankst du allein dem Wissen, was Z ist. Die Kontrolle eines Mediators zerstört einen echten Effekt genauso gründlich wie die Kontrolle eines Confounders einen falschen.

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

Quellen (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

Vom 42Math-Team · Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen.