Kausalitäts-Sandbox

Erzeuge synthetische Daten aus verschiedenen Kausalstrukturen und beobachte, wie sich Korrelation und Steigung verändern.

Rechenbeispiel — Kausalitäts-Sandbox

Korr(X,Y)	−0.8871
Steigung Y~X	−0.8077
Korr(X,Z)	0.9452
Korr(Y,Z)	−0.9315

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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warum Kausaldiagramme Korrelationstabellen schlagen 🖖

Eine Korrelation zeigt, dass sich zwei Variablen gemeinsam bewegen — nicht warum. Dieselbe Zahl kann aus drei grundverschiedenen Strukturen entstehen:

Direkte Ursache (X → Y): Entfernt man X, ändert sich Y.
Konfundierer (Z → X, Z → Y): Z verursacht beides; X und Y sind korreliert, aber keines verursacht das andere. Kontrolliert man für Z, verschwindet die Korrelation.
Collider (X → Z ← Y): X und Y sind unabhängig, aber wenn man nach Z selektiert oder bedingt, entsteht ein scheinbarer Zusammenhang zwischen ihnen.

Der gerichtete azyklische Graph (DAG) im Diagramm kodiert, welche Variablen Ursachen und welche Wirkungen sind. Ohne ihn lassen sich diese Fälle anhand eines einzelnen Korrelationskoeffizienten nicht unterscheiden — deshalb beginnt kausale Inferenz stets mit einem Strukturmodell, nicht mit einer Korrelationsmatrix.

Korrelation ist Sehen, Kausalität ist Tun 🖖

Hier hängt alles von einem Unterschied ab: Beobachtest du eine Variable nur, oder greifst du in sie ein? Konfundierende Variablen und Kollider täuschen dich, weil du stets Daten beobachtest, die bereits durch einen verborgenen Prozess geprägt wurden. Ein randomisiertes Experiment umgeht dieses Problem. Wird X per Münzwurf zugewiesen, werden alle auf X gerichteten Pfeile gekappt. Bleibt dann eine Korrelation mit Y bestehen, muss sie kausal sein. Deshalb kann eine kontrollierte Studie eine Frage klären, die sich mit Beobachtungsdaten allein niemals entscheiden ließe.

das Berkeley-Zulassungsparadoxon 🖖

Das Simpson-Szenario ist kein Spielzeug. 1973 wurden an der Graduiertenzulassung von UC Berkeley rund 44% der Männer aufgenommen, aber nur 35% der Frauen — scheinbar ein Zeichen von Benachteiligung. Fachbereich für Fachbereich jedoch wurden Frauen mit leicht höheren Quoten zugelassen; sie hatten sich nur weit häufiger auf die umkämpftesten Fächer beworben. Das Zusammenfassen über alle Fachbereiche kehrte den Trend innerhalb der Gruppen um — genau die Umkehr, die die gestrichelte Linie hier nachzeichnet.

Aufgabe vollständig gelöst

Korrelation von −0,887 über 400 Punkte mit festgehaltenem Z 6 Schritte
X und Y korrelieren über 400 Punkte hinweg mit −0,887. Berechnen Sie, wie viel davon übrig bleibt, wenn Z konstant gehalten wird, und geben Sie an, wie sicher Sie bei beiden Zahlen sein können.
1. Drei Korrelationen, alle ermittelt aus denselben 400 Punkten. Alles Folgende ist Arithmetik auf Basis dieser drei Zahlen — ein weiterer Zugriff auf die Daten ist nicht erforderlich, was der nützliche Teil daran ist.
  
  $r_{X Y} = - 0.8871, r_{X Z} = 0.9452, r_{Y Z} = - 0.9315$
2. Die partielle Korrelation fragt danach, was von X–Y übrig bleibt, wenn man von beiden den durch Z erklärten Anteil abzieht. Die Formel entspricht der Korrelation der beiden Residuen, ausgedrückt durch die rohen Korrelationen.
  
  $r_{X Y \cdot Z} = \frac{r _{X Y} - r _{X Z} r _{Y Z}}{( 1 - r _{X Z}^{2} ) ( 1 - r _{Y Z}^{2} )}$
3. Im Zähler entscheidet sich das Ergebnis. Der Effekt von Z auf X multipliziert mit dem Effekt von Z auf Y macht 0,8805 der beobachteten 0,8871 aus — die Korrelation ist ein Schatten, kein Signal.
  
  $numerator = - 0.8871 - (0.9452) (- 0.9315) = - 0.8871 + 0.8805 = - 0.0066$
4. Der Nenner dient nur der Skalierung. Beachten Sie, dass er sich aus der nicht durch Z erklärten Varianz zusammensetzt; deshalb führt ein Z, das fast alles erklärt, zu einer instabilen Schätzung.
  
  $denominator = 0.1066 \times 0.1322 = 0.1188 ⟹ r_{X Y \cdot Z} = - 0.055$
5. Nun versehen wir beide mit einem Fehlerbalken. Fishers z-Transformation überführt eine Korrelation in eine annähernd normalverteilte Größe, und die Multiplikation mit √(n−3) ergibt den Abstand zu null in Standardfehlern.
  
  $z = \frac{1}{2} ln \frac{1 + r}{1 - r} n - 3 : r = - 0.8871 \Rightarrow z = - 28.1; r = - 0.0553 \Rightarrow z = - 1.10$
6. Für eine überschlägige Prüfung beträgt der Standardfehler von r nahe null 1/√(n−3). Bei 0,050 ist eine partielle Korrelation von −0,055 einen Standardfehler entfernt.
  
  $SE (r) \approx \frac{1}{n - 3} = \frac{1}{397} = 0.050$
Antwort

Davon bleibt fast nichts übrig: −0,0553. Transformiert man beide in Fishers z, liegt die rohe Korrelation 28 Standardfehler von null entfernt, während die partielle Korrelation bei 1,1 liegt — der Unterschied zwischen dem sichersten Befund im Datensatz und einem Ergebnis, das man in einem Viertel der Fälle allein durch Rauschen erwarten würde. Daraus ergeben sich zwei Warnhinweise. Die partielle Korrelation ist die Differenz zweier nahezu gleicher Zahlen, 0,8871 gegenüber 0,8805, sodass die vier eingegebenen Ziffern im Ergebnis kaum zwei einbringen. Und diese Arithmetik kann Ihnen nicht sagen, ob Z eine Störvariable oder ein Mediator ist; das ergibt sich erst aus dem Wissen darüber, was Z ist. Das Konditionieren auf einen Mediator zerstört einen realen Effekt genauso gründlich wie das Konditionieren auf eine Störvariable einen falschen zerstört.

$r_{X Y} = - 0.8871 ⟶ r_{X Y \cdot Z} = - 0.0553 28 σ ⟶ 1.1 σ$

Quellen (1)

Insight block 3 — Simpson's paradox in the case that made it famous: P. J. Bickel, E. A. Hammel and J. W. O'Connell, "Sex Bias in Graduate Admissions: Data from Berkeley." Science 187(4175), 398–404, 1975.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-06-04

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Beispielaufgaben

Kausal - X verursacht Y, und es gibt keine weitere Ursache: r = 0,9401. Hältst du Z konstant, bleibt r mit 0,9400 nahezu gleich. In diesem Graphen führt kein Pfeil von oder zu Z; die Kontrolle von Z ändert daher nichts. Das ist der Kontrollfall.
Konfundierer - Zwischen X und Y gilt r = -0,8871, obwohl keines das andere verursacht. Hältst du Z konstant, fällt der Wert auf -0,0553: Fast die gesamte Korrelation ging auf Z zurück.
Collider - X und Y sind per Konstruktion unabhängig. Durch die Auswahl anhand von Z bleiben 143 von 400 Punkten übrig; schon dann gilt r = -0,4288. Konditionierst du zusätzlich auf Z, sinkt der Wert auf -0,8127. Der Zusammenhang ist vollständig künstlich erzeugt.
Simpson - Für die zusammengefassten Daten beträgt die Steigung +0,121, in den beiden Untergruppen dagegen -0,619 und -0,624. Jeder einzelne Trend verläuft abwärts, der Gesamttrend jedoch aufwärts.