Zinseszins-Explorer

wie exponentielles Wachstum lineares Denken überholt

Startwerte — Zinseszins-Explorer

Startkapital (P)	1000
Jahreszinssatz (r)	7
Laufzeit (t)	30
Zielbetrag (X)	10000
Aufzinsungsmodus	monatlich (n = 12)
Benutzerdefinierte Perioden pro Jahr (n)	12
Stetiges Aufzinsen anzeigen	off
Währungssymbol anzeigen	off

Ändere oben einen Regler, und die Ergebnisse werden neu berechnet.

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Häufigeres Verzinsen bringt jedes Mal weniger 🖖

Häufigere Verzinsung bringt tatsächlich mehr, doch der zusätzliche Ertrag wird mit jedem Schritt kleiner. Nimm die Voreinstellung Aktienmarkt: 10.000 $ zu 7 % über dreißig Jahre. Bei jährlicher Verzinsung entstehen 76.122,55 $, bei vierteljährlicher 80.191,83 $, bei monatlicher 81.164,97 $ und bei täglicher 81.645,26 $. Der erste Wechsel bringt 4.069 $, der nächste 973 $, danach sind es noch 480 $. Von stündlicher zu stetiger Verzinsung, also zum Grenzfall A = Pe^rt, kommen gerade einmal 69 Cent hinzu. Fast der gesamte Mehrertrag entsteht schon beim ersten Schritt über die jährliche Verzinsung hinaus.

Zinsen, die eigene Zinsen erzeugen 🖖

Der Zauber des Zinseszinses liegt darin, dass die Zinsen jeder Periode zum Guthaben addiert werden, sodass du in der nächsten Periode Zinsen auf einen größeren Betrag erhältst. Diese Rückkopplung sorgt dafür, dass Ersparnisse sich beschleunigen, statt linear zu wachsen. Eine praktische Faustregel ist die 72er-Regel: Teile 72 durch den jährlichen Prozentsatz, um zu schätzen, in wie vielen Jahren sich dein Geld verdoppelt. Bei 6% sind das etwa 12 Jahre.

Hier wurde die Zahl e geboren 🖖

Verzinse $1 ein Jahr lang mit 100%. Jährlich verzinst ergibt das $2, monatlich etwa $2.61 und täglich rund $2.71. Je öfter du verzinst, desto näher rückt das Ergebnis an e ≈ 2.71828 heran. Jacob Bernoulli stieß 1683 beim Studium des Zinseszinses auf diesen Grenzwert — genau dort hat die Konstante e ihren Ursprung.

ZINSESZINS — WELCHE FRAGE, UND IN WELCHE RICHTUNG WIRKT ER?

In welchem Zinseszins-Fall bist du?

Zinsen auf Zinsen sind die ganze Idee, und sie machen aus der Geraden eine Kurve: A = P(1 + r/n)^(nt) statt P(1 + rt). In welchem Fall du bist, hängt von deiner Frage ab. Was bringt das Aufzinsen tatsächlich? Wie lange bis zur Verdopplung? Was passiert, wenn dieselbe Kurve auf deine Schulden zeigt? Und wie viel macht die Zinsperiode wirklich aus?

Ein mäßiger Zinssatz über lange Zeit — der Abstand zur einfachen Verzinsung A = P(1 + r/n)^nt

Wie lange bis zur Verdopplung — und warum 72 funktioniert t_2× ≈ 72 / r%

Dieselbe Kurve, gegen dich gerichtet — Schulden verzinsen sich genauso (1 + r/n)ⁿ − 1

Wie oft verzinst wird — und warum die Antwort bald egal ist n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Ein mäßiger Zinssatz über lange Zeit — der Abstand zur einfachen Verzinsung

Was du weißt: Ein Zinssatz, den es auf Erspartes wirklich gibt, jahrzehntelang liegen gelassen. Vergleiche A = P(1 + r/n)^(nt) mit der Geraden P(1 + rt) der einfachen Verzinsung.

Formel: A = P(1 + r/n)^nt

Rechenbeispiel: 5 000 zu 4 %, monatlich verzinst, über 20 Jahre → 11 112,91 gegenüber 9 000 bei einfacher Verzinsung — der Zinseszins ist 2 112,91 wert

Diesen Fall öffnen: Sicheres Sparen

Ein mäßiger Zinssatz über lange Zeit — der Abstand zur einfachen Verzinsung. Die Zinseszinskurve löst sich von der Geraden der einfachen Verzinsung, zunächst langsam. Ein Zinssatz, den es auf Erspartes wirklich gibt, jahrzehntelang liegen gelassen. Vergleiche A = P(1 + r/n)^(nt) mit der Geraden P(1 + rt) der einfachen Verzinsung. — Die Zinseszinskurve löst sich von der Geraden der einfachen Verzinsung, zunächst langsam.

Wie lange bis zur Verdopplung — und warum 72 funktioniert

Was du weißt: Ein höherer Zinssatz über lange Zeit. Entscheidend ist nicht der Jahresgewinn, sondern die Verdopplungszeit, die allein vom Zinssatz abhängt und nicht vom Startbetrag.

Formel: t_2× ≈ 72 / r%

Rechenbeispiel: 10 000 zu 7 %, monatlich verzinst, verdoppeln sich alle 9,93 Jahre; 30 Jahre ergeben also gut drei Verdopplungen: 81 164,97 oder das 8,12-Fache der Einlage

Diesen Fall öffnen: Aktienmarkt Ø

Wie lange bis zur Verdopplung — und warum 72 funktioniert. Jede Verdopplung dauert dieselben 9,93 Jahre, die Kurve wird also steiler, ohne ihre Regel zu ändern. Ein höherer Zinssatz über lange Zeit. Entscheidend ist nicht der Jahresgewinn, sondern die Verdopplungszeit, die allein vom Zinssatz abhängt und nicht vom Startbetrag. — Jede Verdopplung dauert dieselben 9,93 Jahre, die Kurve wird also steiler, ohne ihre Regel zu ändern.

Dieselbe Kurve, gegen dich gerichtet — Schulden verzinsen sich genauso

Was du weißt: Die Formel weiß nicht, wem das Geld gehört. Bei hohem Zinssatz ist die Verdopplungszeit kurz, und unbezahlte Salden wachsen wie Ersparnisse.

Formel: (1 + r/n)ⁿ − 1

Rechenbeispiel: 3 000 zu 20 %, monatlich verzinst, über 5 Jahre → 8 087,91. Die Verdopplungszeit beträgt 3,49 Jahre, der effektive Jahreszins 21,94 % statt 20 %.

Diesen Fall öffnen: Kreditkartenschuld

Dieselbe Kurve, gegen dich gerichtet — Schulden verzinsen sich genauso. Ein hoher Zinssatz lässt dieselbe Kurve schnell steil werden — hier wächst sie gegen dich. Die Formel weiß nicht, wem das Geld gehört. Bei hohem Zinssatz ist die Verdopplungszeit kurz, und unbezahlte Salden wachsen wie Ersparnisse. — Ein hoher Zinssatz lässt dieselbe Kurve schnell steil werden — hier wächst sie gegen dich.

Wie oft verzinst wird — und warum die Antwort bald egal ist

Was du weißt: Ein größeres n hebt den Effektivzins, aber mit rasch abnehmendem Ertrag. Jenseits täglicher Verzinsung liegst du im Rundungsbereich der stetigen Grenze A = Pe^(rt).

Formel: n → ∞ ⇒ A = Pe^rt

Rechenbeispiel: 1 000 zu 7 % über 30 Jahre: 7 612,26 jährlich, 8 116,50 monatlich, 8 164,53 täglich und 8 166,17 stetig

Diesen Fall öffnen: Tägliches Aufzinsen

Wie oft verzinst wird — und warum die Antwort bald egal ist. Effektivzins über der Zinshäufigkeit: Fast der gesamte Gewinn ist bei monatlicher Verzinsung erreicht. Ein größeres n hebt den Effektivzins, aber mit rasch abnehmendem Ertrag. Jenseits täglicher Verzinsung liegst du im Rundungsbereich der stetigen Grenze A = Pe^(rt). — Effektivzins über der Zinshäufigkeit: Fast der gesamte Gewinn ist bei monatlicher Verzinsung erreicht.

Quellen (1)

Insight block 3 — where the limit turned up: J. Bernoulli, "Quaestiones nonnullae de usuris, cum solutione problematis de sorte alearum." Acta Eruditorum, May 1690, 219–223 — the compound-interest question whose limit is e.

Aufgaben vollständig gelöst

Der Wert eines Prozentpunkts Zinssatz über dreißig Jahre 5 Schritte
Was ist ein Prozentpunkt Zinssatz über dreißig Jahre wert, und wie schneidet dies im Vergleich zu einer häufigeren Verzinsung ab? Das Werkzeug geht von P = 1.000 bei nominell 7 % mit monatlicher Verzinsung über 30 Jahre aus, wobei der kontinuierliche Grenzwert daneben dargestellt wird.
1. Bei monatlicher Verzinsung wird der Jahreszins in zwölf gleiche Teile geteilt und jeder Teil auf das jeweils aufgelaufene Guthaben angewendet. Dreißig Jahre entsprechen 360 dieser Abschnitte.
  
  $i = \frac{r}{n} = \frac{0.07}{12} = 0.0058 \overline{3}, N = n t = 12 \times 30 = 360$
2. Jeder Abschnitt multipliziert das Guthaben mit demselben Faktor, sodass die gesamten dreißig Jahre diesem einen Faktor hoch die Anzahl der Abschnitte entsprechen.
  
  $A = P (1 + i)^{N} = 1000 (1.0058 \overline{3})^{360} = 8116.50, I = A - P = 7116.50$
3. Das kontinuierliche Modell ersetzt die 360 Schritte durch einen Grenzwert, und es ist die Variante, mit der zu arbeiten sich lohnt, da Zinssatz und Zeit dort nur als Produkt rt auftreten. Die Differenz zwischen den beiden Modellen dient als Überprüfung, dass das Ersetzen des einen durch das andere das Ergebnis nicht verändert.
  
  $A_{c} = P e^{r t} = 1000 e^{0.07 \times 30} = 8166.17, Δ = A_{c} - A = 49.67 (0.61%)$
4. Ändert sich r um δ, so ändert sich rt um tδ, sodass das Endguthaben mit e^tδ multipliziert wird – ein Faktor, der allein durch den Zeithorizont bestimmt wird und kein P enthält. Die Neuberechnung des exakten monatlichen Guthabens bei 6 % prüft, ob man dieser Abkürzung vertrauen kann.
  
  $\frac{A ( r + δ )}{A ( r )} \approx e^{t δ} : e^{- 0.30} = 0.7408 vs \frac{1000 ( 1.005 ) ^{360}}{8116.50} = \frac{6022.58}{8116.50} = 0.7420$
5. Drehen wir nun die Frage um: Welche Änderung des Zinssatzes hätte denselben Betrag erbracht wie eine unendlich häufige Verzinsung?
  
  $e^{t δ} = 1 + \frac{Δ}{A} ⟹ δ = \frac{ln ( 1.006120 )}{30} = \frac{0.006101}{30} = 2.03 \times 1 0^{- 4}$
Antwort

Das Guthaben erreicht 8.116,50, wovon 7.116,50 Zinsen sind, und der kontinuierliche Grenzwert liegt mit 8.166,17 knapp darüber – eine Differenz von 49,67. Diese 49,67 sind der gesamte Gewinn für eine unendlich häufige statt einer monatlichen Verzinsung, was etwa zwei Hundertsteln eines Prozentpunkts beim Zinssatz entspricht. Eine Senkung des Zinssatzes auf 6 % kostet stattdessen 2.093,92, was dem 42-Fachen entspricht, da der Zeithorizont jede Zinsänderung vervielfacht: Über t Jahre skaliert eine Änderung δ das Guthaben um e^tδ, sodass dreißig Jahre eine kleine Differenz in r in einen großen Geldbetrag verwandeln. Von den vier Zahlen, die Sie hier einstellen können, ist die Verzinsungshäufigkeit diejenige, die am wenigsten ins Gewicht fällt – drei Hundertstel Punkte beim Zinssatz wiegen bereits den gesamten Sprung von monatlicher zu kontinuierlicher Verzinsung auf.

$δ = \frac{ln ( 1 + Δ/ A )}{t} = 2.03 \times 1 0^{- 4} vs n : 12 \to \infty$
Aus 10.000 über 30 Jahre bei 7 % monatlichem Zinseszins 81.164,97 machen 7 Schritte
Die Tafel macht aus 10.000 in 30 Jahren bei 7% monatlicher Verzinsung 81.164,97. Das rechnet niemand im Kopf, und darum zitieren alle stattdessen die 72er-Regel: Geld verdoppelt sich in etwa 72/7 ≈ 10,3 Jahren. Woher kommt die 72 — und wann lügt sie?
1. Beginne mit der Zahl auf der Tafel, denn die Verdopplungszeit steckt bereits darin.
  
  $A = P (1 + \frac{r}{n})^{n t} = 10000 (1 + \frac{0.07}{12})^{360} = 81 164.97, I = A - P = 71 164.97$
2. Teile durch den Anfangsbetrag und frage, welche Zweierpotenz das ist. Etwas mehr als drei Verdopplungen in dreißig Jahren, eine Verdopplung dauert also 9,9310 Jahre — und beachte, dass sich das Kapital herausgekürzt hat. Deshalb fragt nie jemand, mit wie viel du angefangen hast.
  
  $\frac{A}{P} = 8.1165 = 2^{3.0209} ⟹ t_{2} = \frac{30}{3.0209} = 9.9310$
3. Leite es sauber her, statt es aus einem Verhältnis abzulesen: setze den Endwert gleich dem doppelten Kapital und löse auf. Das P kürzt sich aus demselben Grund, und das Ergebnis stimmt auf vier Nachkommastellen mit dem Weg darüber überein.
  
  $2 P = P (1 + \frac{r}{n})^{n t_{2}} ⟹ t_{2} = \frac{ln 2}{n ln ( 1 + r / n )} = \frac{0.693147}{12 ln ( 1.00583 3 )} = 9.9310$
4. Nun der Vergleich mit der Faustregel. Die 72er-Regel ist für jährliche Verzinsung formuliert, also n = 1: die exakte Verdopplungszeit ist 10,2448 Jahre, die Regel sagt 10,2857. Fünfzehn Tage daneben, auf ein Jahrzehnt.
  
  $n = 1 : t_{2} = \frac{ln 2}{ln 1.07} = 10.2448 \frac{72}{7} = 10.2857 Δ = 0.0409 (\approx 15 d)$
5. Woher also die 72? Multipliziere die Verdopplungszeit mit dem Zinssatz in Prozent, und das r kürzt sich fast heraus. Entwickelt man den Logarithmus bis zum zweiten Glied, bleibt gar keine Konstante übrig, sondern 69,31 mit einer kleinen Korrektur, die mit dem Zinssatz wächst.
  
  $100 r t_{2} = \frac{100 r ln 2}{ln ( 1 + r )} \approx \frac{100 r ln 2}{r ( 1 - \frac{r}{2} )} = \frac{69.31}{1 - \frac{r}{2}} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2})$
6. Werte das bei drei Zinssätzen aus. Die wahre Konstante wandert nach oben, und 72 ist schlicht der Wert, den sie bei etwa 8% durchläuft — ein Kompromiss, zentriert auf die Zinssätze, über die man tatsächlich streitet.
  
  $r = 2% : 70.01 r = 8% : 72.05 r = 15% : 74.39$
7. Eines bleibt damit unerklärt: 69,31 rundet auf 69, und über niedrige Zinssätze hinweg ist 70 näher an der Wahrheit als 72. Gewonnen hat keines von beiden.
  
  $72 = 2^{3} \cdot 3^{2} \Rightarrow 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 7270 = 2 \cdot 5 \cdot 7 \Rightarrow 1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70$
Antwort

Die Konstante ist keine: sie läuft von 70,0 bei 2% über 72,1 bei 8% bis 74,5 bei 15%, und 72 ist der Wert, bei dem sie für eine typische langfristige Rendite gerade steht. Dass die Faustregel sie der genaueren 69,3 oder 70 vorzieht, ist Arithmetik, nicht Analysis. 72 = 2³·3² teilt glatt durch 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24 und 36; 70 = 2·5·7 teilt glatt durch fast nichts, was in einem Gespräch über Zinsen vorkommt. Eine Kopfrechenregel muss im Kopf teilbar sein, und das hat die Genauigkeit geschlagen.

$t_{2} r_{%} \approx 69.31 (1 + \frac{r}{2}) : 70.0 (2%), 72.1 (8%), 74.5 (15%)$

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

Anhand veröffentlichter Quellen geprüft. Korrekturen willkommen. Redaktionsrichtlinie · Korrekturen

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Beispielaufgaben

Sicheres Sparen - 5.000 $ zu 4 %, zwanzig Jahre lang monatlich verzinst, wachsen auf 11.112,91 $ an – etwas mehr als das Doppelte. Bei stetiger Verzinsung kämen lediglich 14,79 $ hinzu.
Aktienmarkt Ø - 10.000 $ zu 7 %, dreißig Jahre lang monatlich verzinst, wachsen auf 81.164,97 $ an. Das ist mehr als das Achtfache des Anfangskapitals, obwohl sich der Zinssatz nie geändert hat.
Kreditkartenschuld - Aus 3.000 $ Schulden zu 20 % werden bei monatlicher Verzinsung nach fünf Jahren 8.087,91 $. Dieselbe Rechnung, die Ersparnisse wachsen lässt, arbeitet bei Schulden ebenso unerbittlich gegen dich.
Tägliches Aufzinsen - 1.000 $ zu 7 %, dreißig Jahre lang täglich verzinst, ergeben 8.164,53 $. Bis zum Grenzwert der stetigen Verzinsung von 8.166,17 $ fehlen nur 1,64 $. Tägliche Verzinsung liegt also bereits sehr nahe am Grenzfall.