Déjà-vu-Detektor

Zufallsfolgen können unheimlich vertraut wirken

Startwerte — Déjà-vu-Detektor

Folgenlänge	40
Muster-Fenstergröße	3
Simulationsdurchläufe	3000

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Für Gewissheit braucht es 120 Symbole, für Fifty-fifty nur 13 🖖

Das Schubfachprinzip sagt, wann eine Wiederholung unvermeidlich wird: Bei 64 möglichen Drei-Symbol-Fenstern enthält eine Folge von 120 Symbolen 118 Fenster und kann keiner mehr ausweichen. Über den Zeitpunkt, ab dem eine Wiederholung wahrscheinlich ist, sagt es nichts – das leistet die Geburtstagsschranke, und die greift viel früher, bei etwa 1,177 × √64 ≈ 9 Fenstern. Schickt man 200.000 Zufallsfolgen durch den Fensterzähler dieses Werkzeugs, liegt der Umschlagpunkt bei Länge 13: 11 Fenster, 51,2 %. Die kürzeste Folge, die es zieht, 10 Symbole, wiederholt sich bereits in 30,5 % der Fälle, die kleinste Voreinstellung mit 30 Symbolen in 99,6 %. Vertrautheit wartet nicht auf die Garantie.

Warum vertraute Muster unvermeidlich sind 🖖

Dieses Aufblitzen von 'das kenne ich doch' ist dein Muster-Erkennungssystem im Gehirn — doch in einem kurzen Strom aus nur 4 Symbolen sind lokale Wiederholungen normal und nicht unheimlich. Bei Fenstergröße 3 gibt es nur 4³ = 64 mögliche Muster, sodass ein Lauf aus 120 Symbolen (118 Fenster) nach dem Schubfachprinzip mindestens eines wiederholen muss. Dieses Werkzeug zählt die tatsächlichen Wiederholungen und vergleicht sie mit einer Zufalls-Basislinie, um echte Überraschung von gewöhnlichem Zufall zu trennen.

Manche Muster ballen sich stärker 🖖

Zwei Fenster gleicher Länge neigen nicht gleich stark zum Verklumpen. Ein selbstüberlappendes Motiv wie AAAA oder ABAB kann sich mit einer verschobenen Kopie seiner selbst decken, sodass es nach dem ersten Auftreten dazu neigt, sofort erneut zu erscheinen — mit höherer Varianz in der Wiederholungszahl als ein nicht überlappendes Fenster wie ABCD. Guibas und Odlyzko erfassten dies über die Autokorrelation eines Musters. Das gefühlte Déjà-vu hängt also davon ab, welches Motiv wiederkehrt, nicht bloß davon, wie lang es ist.

Aufgabe vollständig gelöst

Ein 3-Symbol-Fenster, das über einen Strom von 50 Symbolen gleitet 6 Schritte
Ein Strom von 50 Symbolen wird aus den 4 Buchstaben A, B, C, D gezogen, und ein 3-Symbol-Fenster gleitet daran entlang. Dies ist der Zustand Länge 50, Fenster 3 des Bedienteils. Wie viele dieser Fenster sollten ein Muster zeigen, das bereits aufgetreten ist? Leiten Sie die Anzahl ab und finden Sie dann den kürzesten Strom, für den eine Wiederholung bereits wahrscheinlicher als 50 % ist.
1. Zählen Sie die Fenster, bevor Sie irgendetwas anderes zählen. Ein 3-Symbol-Fenster kann an Position 1 und an jeder Position bis 48 beginnen, da ein Beginn bei 49 über das Ende hinausragt. Das ergibt 48 Fenster, und 48 ist der Nenner, auf den jede Wiederholungsanzahl auf dem Bedienteil bezogen wird.
  
  $N = L - w + 1 = 50 - 3 + 1 = 48$
2. Zählen Sie nun, was sie sein könnten. 3 Plätze, jeweils 4 Buchstaben, sodass 64 Muster existieren. Es gibt weniger Fenster als Muster, was bedeutet, dass nichts eine Wiederholung erzwingt – das Schubfachprinzip hilft hier nicht weiter, und was auch immer geschieht, ist Zufall.
  
  $K = 4^{w} = 4^{3} = 64, N = 48 < K = 64$
3. Dreh die Frage um und betrachte ein bestimmtes Muster, etwa ABD. Ein einzelnes Fenster zeigt mit Wahrscheinlichkeit 63/64 nicht ABD. Nimm für die 48 Fenster unabhängige Ziehungen an; auf derselben Annahme beruht auch der Erwartungswert im Panel. Dann zeigen alle Fenster gemeinsam mit Wahrscheinlichkeit (63/64)⁴⁸ = 0,4696 kein ABD. Somit tritt ABD mit Wahrscheinlichkeit 1 − 0,4696 = 0,5304 mindestens einmal auf.
  
  $(1 - \frac{1}{64})^{48} = e^{48 l n (63/64)} = e^{- 0.7559} = 0.4696$
4. Diese 0,5304 ist die Wahrscheinlichkeit für jedes Muster gleichermaßen; multiplizieren Sie sie also mit allen 64 Mustern, um die erwartete Anzahl verschiedener Muster zu erhalten, die der Strom tatsächlich enthält.
  
  $E [D] = K [1 - (\frac{63}{64})^{48}] = 64 \times 0.5304 = 33.95$
5. Ein Fenster ist genau dann eine Wiederholung, wenn sein Muster schon einmal aufgetreten ist. Jedes vorkommende Muster steuert daher genau ein Fenster bei, das keine Wiederholung ist. Zieh die Anzahl der verschiedenen Muster von der Gesamtzahl der Fenster ab, und du erhältst die Zahl der Wiederholungen.
  
  $E [R] = N - E [D] = 48 - 33.95 = 14.05$
6. Ein zweiter Weg erklärt, warum die Antwort so groß ist. Anstatt nach Mustern zu fragen, fragen Sie nach Fensterpaaren: Zwei beliebige Fenster weisen mit der Wahrscheinlichkeit 1/64 dieselben 3 Symbole auf, und es gibt 1128 Paare zu prüfen.
  
  $(2 48) = \frac{48 \times 47}{2} = 1128, \frac{1128}{64} = 17.6$
Antwort

14,05 der 48 Fenster sind Wiederholungen, und 17,6 erwartete übereinstimmende Paare zeigen, dass dieses Ergebnis alles andere als knapp ist. Rechne die Paarzählung rückwärts, um herauszufinden, ab wann eine Wiederholung wahrscheinlicher ist als ihr Ausbleiben. Eine Zählvariable mit Mittelwert λ ist mit Wahrscheinlichkeit e^(−λ) gleich null. Diese Wahrscheinlichkeit fällt genau bei λ = ln 2 unter eine Hälfte. Setze also die erwartete Zahl der Übereinstimmungen gleich ln 2: Schon 10 Fenster genügen, also eine Folge aus 12 Symbolen. Das ist das Geburtstagsparadoxon mit 64 möglichen Geburtstagen statt 365. Deshalb ist es völlig erwartbar, dass sich eine Folge aus 50 Symbolen selbst wiederholt. Noch eine Einschränkung: Benachbarte Fenster haben 2 ihrer 3 Symbole gemeinsam. Damit sind sie entgegen der Annahme beider Rechnungen nicht unabhängig; der tatsächliche Kipppunkt liegt deshalb ungefähr ein Symbol weiter hinten.

$\frac{1}{K} (2 N) = ln 2 ⟹ N (N - 1) = 2 (64) (0.6931) = 88.7, N \approx 10, L = N + w - 1 = 12$

Quellen (1)

Insight block 3 — why AAAA clumps and ABCD does not: L. J. Guibas and A. M. Odlyzko, "String overlaps, pattern matching, and nontransitive games." Journal of Combinatorial Theory, Series A 30(2), 183–208, 1981 — the correlation polynomial that measures how a pattern overlaps a shifted copy of itself.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

kurzer Durchlauf - Kurze Sequenz mit 3-Symbol-Fenstern: Wiederholungen treten trotzdem schnell auf.
mittlerer Durchlauf - Eine mittellange Sequenz zeigt, dass wiederkehrende Muster rein zufällig normal sind.
dichtes Déjà-vu - Längere Sequenzen mit größeren Fenstern erzeugen weiterhin Deja-vu-Cluster.