Monte-Carlo-Pi-Explorer

Der Monte-Carlo-Fehler schrumpft proportional zu 1/√N, nicht zu 1/N — eine Folge des Zentralen Grenzwertsatzes, da die Schätzung ein Mittelwert aus N unabhängigen Innen/Außen-Münzwürfen ist, deren Varianz mit 1/N fällt. Diese Quadratwurzel ist teuer: Eine zusätzliche korrekte Nachkommastelle zu gewinnen braucht etwa 100× mehr Punkte, nicht 10× — deshalb kann die Punktwolke schon überzeugend kreisförmig aussehen, lange bevor die Nachkommastellen aufhören zu wackeln. Das ist auch der Grund, warum diese Methode in der Praxis kaum benutzt wird, um tatsächlich π zu berechnen — sie lohnt sich bei hochdimensionalen Integralen, wo deterministische Gittermethoden exponentiell mit der Dimension skalieren, während die 1/√N-Rate von Monte Carlo sich nicht um die Anzahl der Dimensionen kümmert.

Das Verblüffende: π ist eine feste, exakte Zahl, und doch bestimmt dieses Werkzeug sie allein mit Zufall. Jeder einzelne Punkt landet unvorhersehbar, rein zufällig innerhalb oder außerhalb des Kreises. Ihr laufender Mittelwert aber verhält sich zahm — das Gesetz der großen Zahlen garantiert, dass sich der verrauschte Anteil mit wachsender Punktzahl auf einen stabilen Wert einpendelt. Die Erkenntnis: Zufall wird, in Masse gemittelt, zu einem verlässlichen Messinstrument.

Lange vor Punkten auf dem Bildschirm schätzte das Buffonsche Nadelproblem (1777) π, indem man Nadeln über gleichmäßig gezogene Linien fallen ließ — wohl das erste Monte-Carlo-Experiment. 1901 berichtete Mario Lazzarini, 3,408 Würfe ergäben π = 3.1415929, auf sechs Nachkommastellen genau. Der Haken: das ist exakt 355/113, eine berühmte alte Näherung, und 3,408 ist verdächtig genau die Zahl an Würfen, die man dafür braucht — fast sicher hielt er in dem Moment an, als der Zufall den Zielwert traf.