Monte-Carlo-Pi-Explorer

Zufallspunkte und Konvergenzverhalten

Rechenbeispiel — Monte-Carlo-Pi-Explorer

Absoluter Fehler	∣3.122000−3.141593∣≈1.959×10⁻²

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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warum der Fehler nur langsam schrumpft 🖖

Der Monte-Carlo-Fehler schrumpft proportional zu 1/√N, nicht zu 1/N — eine Folge des Zentralen Grenzwertsatzes, da die Schätzung ein Mittelwert aus N unabhängigen Innen/Außen-Münzwürfen ist, deren Varianz mit 1/N fällt. Diese Quadratwurzel ist teuer: Eine zusätzliche korrekte Nachkommastelle zu gewinnen braucht etwa 100× mehr Punkte, nicht 10× — deshalb kann die Punktwolke schon überzeugend kreisförmig aussehen, lange bevor die Nachkommastellen aufhören zu wackeln. Das ist auch der Grund, warum diese Methode in der Praxis kaum benutzt wird, um tatsächlich π zu berechnen — sie lohnt sich bei hochdimensionalen Integralen, wo deterministische Gittermethoden exponentiell mit der Dimension skalieren, während die 1/√N-Rate von Monte Carlo sich nicht um die Anzahl der Dimensionen kümmert.

ein fester Wert aus reinem Zufall 🖖

Das Verblüffende: π ist eine feste, exakte Zahl, und doch bestimmt dieses Werkzeug sie allein mit Zufall. Jeder einzelne Punkt landet unvorhersehbar, rein zufällig innerhalb oder außerhalb des Kreises. Ihr laufender Mittelwert aber verhält sich zahm — das Gesetz der großen Zahlen garantiert, dass sich der verrauschte Anteil mit wachsender Punktzahl auf einen stabilen Wert einpendelt. Die Erkenntnis: Zufall wird, in Masse gemittelt, zu einem verlässlichen Messinstrument.

die Nadel, die schummelte 🖖

Lange vor Punkten auf dem Bildschirm schätzte das Buffonsche Nadelproblem (1777) π, indem man Nadeln über gleichmäßig gezogene Linien fallen ließ — wohl das erste Monte-Carlo-Experiment. 1901 berichtete Mario Lazzarini, 3,408 Würfe ergäben π = 3.1415929, auf sechs Nachkommastellen genau. Der Haken: das ist exakt 355/113, eine berühmte alte Näherung, und 3,408 ist verdächtig genau die Zahl an Würfen, die man dafür braucht — fast sicher hielt er in dem Moment an, als der Zufall den Zielwert traf.

Aufgabe vollständig gelöst

Beurteilung, ob 3,122 bei 2000 Punkten ein schlechter Durchlauf ist 5 Schritte
Ist 3,122 ein schlechter Durchlauf? Der Standardzustand zieht N = 2000 Punkte mit dem Startwert 42, und 1561 davon landen im Viertelkreis. Ermitteln Sie, was eine gewöhnliche Anzahl gewesen wäre, bevor Sie die Schätzung beurteilen.
1. Jeder Punkt ist ein Versuch, der erfolgreich ist, wenn er in die Viertelscheibe fällt; da das umschreibende Quadrat den Flächeninhalt 1 hat, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit genau dieser Flächeninhalt. Bei 2000 unabhängigen Versuchen ist die Anzahl binomialverteilt, und der Erwartungswert einer Binomialverteilung ist die Anzahl der Versuche mal die Wahrscheinlichkeit.
  
  $p = \frac{π /4}{1} = 0.7853982, E [N_{in}] = N p = 2000 \times 0.7853982 = 1570.80$
2. Dieselben zwei Zahlen bestimmen die Streuung. Die beobachtete Anzahl liegt knapp zehn unter dem Erwartungswert, was kaum einer halben Standardabweichung entspricht; dieser Startwert ist also ein gewöhnlicher — was man feststellen sollte, bevor man ihm die Schuld an etwas gibt.
  
  $σ_{N_{in}} = N p (1 - p) = 337.10 = 18.360, z = \frac{1561 - 1570.80}{18.360} = - 0.534$
3. Die Schätzung ist die Anzahl multipliziert mit einer festen Konstanten, sodass ihre Standardabweichung der der Anzahl multipliziert mit derselben Konstanten entspricht. Hier kommt das vertraute 1/√N ins Spiel: Die Streuung der Anzahl wächst wie √N, während die Division durch N erfolgt.
  
  $\overset{π}{^} = \frac{4 N _{in}}{N} ⟹ σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4}{N} σ_{N_{in}} = \frac{4 \times 18.360}{2000} = 0.036720$
4. Der ausgegebene Fehler muss bei denselben 0,53 Standardabweichungen herauskommen, da die Multiplikation mit einer Konstanten einen Wert relativ zu seiner eigenen Streuung nicht verschieben kann. Es handelt sich um eine Tatsache in zwei Einheiten, nicht um zwei Tatsachen.
  
  $∣ \overset{π}{^} - π ∣ = ∣ 3.122000 - 3.141593 ∣ = 0.019593 = 0.534 σ_{\overset{π}{^}}$
5. Nun zu dem Teil, den kein Startwert beheben kann. Das Vierfache einer ganzen Zahl geteilt durch 2000 ist immer ein Vielfaches von 0,002, und π ist irrational, sodass es nie eine davon ist — der Fehler kann null nicht erreichen, und das Nächste, was der Schätzer physikalisch erreichen kann, ist einen Schritt abseits des Gitters.
  
  $\overset{π}{^} \in \frac{4}{2000} Z = 0.002 Z : k min \frac{4 k}{2000} - π = ∣ 3.142 - 3.141593 ∣ = 4.073 \times 1 0^{- 4}$
Antwort

Das Werkzeug gibt 1561 Punkte innerhalb, eine Schätzung von 3,122000 und einen Fehler von 1,959 × 10⁻² gegenüber 3,141593 aus. Ein typischer Fehler bei N = 2000 beträgt 0,0367, sodass dieser Durchlauf eher besser als der Durchschnitt ist und etwa drei von fünf Startwerten schlechter abschneiden würden als 42. Die Untergrenze aus Schritt 5 beträgt 4,073 × 10⁻⁴: Kein Startwert bei diesem N kann sie unterbieten, weil nichts, was die Formel ausgeben kann, näher an π liegt als das. Sie ist 90-mal kleiner als der typische Fehler, sodass das Gitter keineswegs der limitierende Faktor ist, und der Abstand vergrößert sich mit N, anstatt sich zu schließen — die Untergrenze fällt wie 1/N, während der zufällige Fehler nur wie 1/√N fällt. Das klärt auch eine Behauptung, die Ihnen bei dieser Methode begegnen wird: Sechs korrekte Nachkommastellen bei ein paar tausend Versuchen sind kein Glücksfall, sondern arithmetisch unerreichbar, da bei N = 2000 nichts, was der Schätzer hervorbringen kann, auch nur bis zur vierten Nachkommastelle korrekt ist.

$σ_{\overset{π}{^}} = \frac{4 p ( 1 - p )}{N} = \frac{1.6422}{N} vs δ_{m i n} \leq \frac{2}{N}$

Quellen (1)

Lazzarini's 3,408 tosses and why 355/113 gave him away: L. Badger, "Lazzarini's Lucky Approximation of π." Mathematics Magazine 67(2), 83–91, 1994.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-08-17

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Beispielaufgaben

kleines N - Eine kleine Stichprobenzahl liefert eine Schätzung mit hoher Varianz.
mittleres N - 1.561 der 2.000 Punkte landen im Viertelkreis, der Schätzwert beträgt also 3,122000 und der Fehler 1,959×10⁻². Der Startwert ist fixiert. Deshalb sind es jedes Mal dieselben 1.561, wenn du hierauf klickst. Was sich im Fehlerdiagramm bewegt, ist der Schätzwert, der sich mit zunehmender Punktzahl einpendelt. Das Werkzeug würfelt nicht neu.
großes N - Eine größere Stichprobenzahl lässt die Schätzung enger um pi liegen.