Warteschlangentheorie-Simulator (M/M/1)

Ankunfts-/Bedienraten und Stabilität der Warteschlange

Rechenbeispiel — Warteschlangentheorie-Simulator (M/M/1)

L (im System)	3.000
Lq (in der Schlange)	2.250
W (Wartezeit, System)	1.000
Wq (Wartezeit, Schlange)	0.750
Auslastung (ρ)	0.750

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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die Rho-Klippe 🖖

Wenn sich die Auslastung ρ von unten der 1 nähert, wächst die Wartezeit nichtlinear und rasant. Kleine Laststeigerungen nahe der Sättigung verursachen riesige Sprünge bei der Verzögerung.

Zufall erzeugt die Schlange 🖖

In M/M/1 stehen die beiden M für „markovsch": Ankünfte erfolgen zufällig (Poisson) und Bedienzeiten schwanken zufällig (exponentiell), an einem einzigen Server. Der Kern ist überraschend — eine Warteschlange kann entstehen, obwohl der Server im Mittel schneller ist, als Kunden eintreffen. Käme jeder wie am Schnürchen und dauerte jeder Vorgang gleich lang, bildete ein Server mit Reserve nie eine Schlange. Warten entsteht durch Variabilität, nicht durch Überlastung. Setze λ deutlich unter μ, und dennoch flackert eine Schlange auf und ab.

Das Gesetz von Little verlangt fast nichts 🖖

Die hier gezeigten L und W sind nicht unabhängig: Sie erfüllen L = λW, und ebenso Lq = λWq. Diese Gleichung setzt fast nichts voraus. John Little bewies 1961, dass sie für jede stabile Warteschlange im stationären Zustand gilt, völlig unabhängig von Ankunfts- oder Bedienzeitverteilungen, der Anzahl der Bedienstationen und der Reihenfolge, in der Kunden bedient werden. Dieselbe Gesetzmäßigkeit gilt für eine Krankenhausstation, die unfertigen Erzeugnisse einer Fabrik und den Lagerbestand eines Geschäfts: Der durchschnittliche Bestand entspricht der Ankunftsrate multipliziert mit der durchschnittlichen Verweildauer.

Aufgabe vollständig gelöst

Eine Warteschlange mit 3 Ankünften pro Stunde und einem Anstieg von 20% 5 Schritte
Kunden treffen mit 3 pro Stunde ein und der Bediener verarbeitet 4 pro Stunde. Der Bediener ist ein Viertel der Zeit untätig, was komfortabel klingt. Berechnen Sie die Warteschlange, die dadurch entsteht — und anschließend, was ein Anstieg der Ankünfte um 20 % bewirkt.
1. Die Kette ist im Gleichgewicht: Die Rate in jeden Zustand entspricht der Rate heraus, was Pₙ = (1 − ρ)ρⁿ ergibt — eine geometrische Verteilung über die Warteschlangenlänge, wobei ρ den Anteil der Zeit angibt, in der der Bediener beschäftigt ist. Hier ist ρ = 0,75.
  
  $P_{n} = (1 - ρ) ρ^{n}, ρ = \frac{λ}{μ} = \frac{3}{4} = 0.750$
2. Der Erwartungswert dieser Verteilung ist ρ/(1 − ρ). Betrachten Sie den Nenner: Nicht die freie Kapazität in Kunden pro Stunde steht dort, sondern der freie Anteil. Im Durchschnitt drei Personen im System bei einem Bediener, der ein Viertel des Tages untätig ist.
  
  $L = n \geq 0 \sum n P_{n} = \frac{ρ}{1 - ρ} = \frac{0.750}{0.250} = 3.000$
3. Zieht man den einen ab, der bedient wird — vorhanden mit der Wahrscheinlichkeit ρ —, bleiben 2,25 Wartende übrig.
  
  $L_{q} = L - ρ = 3.000 - 0.750 = 2.250$
4. Das Gesetz von Little macht aus einem Bestand eine Zeitdauer und erfordert keinerlei Verteilungsannahme: Die durchschnittliche Anzahl im System ist die Ankunftsrate multipliziert mit der durchschnittlichen Verweildauer darin. Eine Stunde im System, davon 45 Minuten in der Warteschlange, für eine Aufgabe, die 15 Minuten dauert.
  
  $W = \frac{L}{λ} = \frac{3.000}{3} = 1.000, W_{q} = \frac{L _{q}}{λ} = 0.750$
5. Erhöht man nun λ auf 3,6, steigt die Auslastung von 0,75 auf 0,90 — 20 % mehr Arbeit — und ρ/(1 − ρ) steigt von 3 auf 9.
  
  $λ = 3.6 : ρ = 0.90, L = 9; λ = 3.96 : ρ = 0.99, L = 99$
Antwort

Das Werkzeug gibt L = 3,000, L_q = 2,250, W = 1,000, W_q = 0,750 bei 75 % Auslastung aus. Die Erkenntnis liegt im Nenner von ρ/(1 − ρ): Was die Warteschlange bestimmt, ist nicht, wie viel freie Kapazität man hat, sondern wie viel man als Anteil übrig hat, und genau diesen Anteil verbraucht man, wenn man die Last erhöht. Zwanzig Prozent mehr Ankünfte verdreifachen die Warteschlange. Weitere 10 % obendrauf — ρ = 0,99 — führen zu 99. Deshalb brechen Krankenhäuser, Autobahnen und Festplatten-Controller bei hoher Auslastung schlagartig zusammen, anstatt kontrolliert nachzulassen, und deshalb ist „wir sind erst bei 90 % der Kapazität“ nicht die Beruhigung, nach der es klingt.

$L = \frac{ρ}{1 - ρ} blows up at ρ = 1 : + 20% λ ⟹ \times 3 queue$

Quellen (1)

Insight block 3 — how little L = λW assumes: J. D. C. Little, "A Proof for the Queuing Formula: L = λW." Operations Research 9(3), 383–387, 1961.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-07-29

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Beispielaufgaben

geringe Last - Geringe Auslastung hält Warteschlange und Wartezeit klein.
hohe Last - λ = 3,8 bei μ = 4: Der Server ist eine von zwanzig Zeiteinheiten im Leerlauf, und dennoch befinden sich durchschnittlich 19,000 Kunden im System. 18,050 davon stehen in der Warteschlange, anstatt bedient zu werden. Für den Durchlauf brauchen sie 5,000 Zeiteinheiten. Erhöhst du λ um ein Zehntel, verdoppeln sich L, Lq und W in etwa. Hier zieht die Asymptote bei ρ = 1.
instabil - Eine Auslastung über 1 macht die Warteschlange instabil.