Warteschlangentheorie-Simulator (M/M/1)

Wenn sich die Auslastung ρ von unten der 1 nähert, wächst die Wartezeit nichtlinear und rasant. Kleine Laststeigerungen nahe der Sättigung verursachen riesige Sprünge bei der Verzögerung.

In M/M/1 stehen die beiden M für „markovsch": Ankünfte erfolgen zufällig (Poisson) und Bedienzeiten schwanken zufällig (exponentiell), an einem einzigen Server. Der Kern ist überraschend — eine Warteschlange kann entstehen, obwohl der Server im Mittel schneller ist, als Kunden eintreffen. Käme jeder wie am Schnürchen und dauerte jeder Vorgang gleich lang, bildete ein Server mit Reserve nie eine Schlange. Warten entsteht durch Variabilität, nicht durch Überlastung. Setze λ deutlich unter μ, und dennoch flackert eine Schlange auf und ab.

Die hier gezeigten L und W sind nicht unabhängig — sie erfüllen L = λW, und ebenso Lq = λWq. Verblüffend ist, wie wenig diese Identität voraussetzt: John Little bewies 1961, dass sie für praktisch jede stabile Warteschlange im stationären Zustand gilt — unabhängig von den Ankunfts- und Bedienverteilungen, der Zahl der Server und der Reihenfolge der Bedienung. Dieselbe Beziehung regiert eine Krankenstation, den Umlaufbestand einer Fabrik und das Lager eines Geschäfts: mittlerer Inhalt gleich Ankunftsrate mal mittlerer Verweildauer.