Steigung und Seitenverhältnis

Zwei Diagramme, eine Datenreihe. Das linke beginnt an der Nullachse; das rechte ist auf die Daten zugeschnitten. Zieh an der Höhe und beobachte, wie sich beide Winkel verändern. Die Zahlen bleiben exakt dort, wo sie waren.

Rechenbeispiel — Steigung und Seitenverhältnis

Durchschnittlicher Winkel, ab Null	6,1°
Durchschnittlicher Winkel, angepasst	27,4°
Höhe für 45°-Skalierung	469 px für 351 px Breite

Das sind die Werte, die der Rechner beim Öffnen der Seite anzeigt. Ändere oben eine Eingabe, um sie neu zu berechnen.

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Eine Zahlenreihe, zwei verschiedene Bilder 🖖

Beide Diagramme zeigen die gleichen zwölf Zahlen. Das linke beginnt mit seiner Achse bei Null, das rechte ist auf die Daten zugeschnitten. Die beiden darüber abgedruckten Winkel liegen nicht annähernd beieinander. Verändere die Höhe mit dem Schieberegler und beobachte, wie sich die Winkel gemeinsam verändern, während die Zahlen darunter stets gleich bleiben. Genau das ist die Kernaussage: Steilheit steckt nicht in den Daten. Sie wird durch den Bereich der y-Achse und das Format des Diagramms bestimmt. Beides wurde von der Person gewählt, die das Diagramm erstellt hat. Wenn also jemand sagt, ein Diagramm zeige einen steilen Anstieg, beschreibt er in Wirklichkeit nur eine Achse. Das vorgerechnete Problem unten macht dies an exakten Zahlen auf einer Fläche von 600 × 300 fest. Dort ergibt dieselbe Linie 20,1° oder eben 3,1°. Das hängt einzig und allein davon ab, wo die Achse beginnt.

Zwei Hebel, die sich exakt aufheben 🖖

Der Winkel gehorcht einer einzigen Formel: tan θ = Steigung × (Pixel pro y-Einheit) ÷ (Pixel pro x-Einheit). Das lässt dem Ersteller zwei Hebel, die sich exakt gegeneinander abwägen. Halbiert man den y-Bereich und halbiert gleichzeitig die Diagrammhöhe, erscheint die Linie im identischen Winkel, auf neun Nachkommastellen genau. Folglich gibt es so etwas wie ein unskaliertes Diagramm gar nicht. Bei jedem jemals gezeichneten Liniendiagramm wurde diese Entscheidung getroffen. Die meisten verraten es dir nur nicht.

Es gibt eine vertretbare Lösung, und sie sieht falsch aus 🖖

Weil das Auge eher Winkel als Steigungen beurteilt, kann es verschiedene Steilheiten am besten voneinander unterscheiden, wenn die Segmente bei etwa 45° liegen. Das Seitenverhältnis so zu wählen, dass das typische Segment genau dort liegt, nennt man Skalierung auf 45°. Das ist reine Mathematik, keine Geschmacksfrage. Klick auf die Schaltfläche, dann berechnet das Werkzeug die Höhe für dein Diagramm und gibt die verwendete Breite an. Eine isolierte Höhe bedeutet hier nichts, denn es geht immer um ein Verhältnis. Bei einer Breite von 600 Pixeln verlangt diese Datenreihe eine Höhe von 818 Pixeln. Das ist höher als breit. Niemand würde das rein instinktiv so zeichnen, aber es ist das ehrliche Format für diese Daten. Dass man diese Zahl berechnen kann, macht aus dem Rat „Wähle ein sinnvolles Seitenverhältnis“ etwas, das man konkret überprüfen kann.

Aufgaben vollständig gelöst

Winkel einer Geraden, die über 12 Punkte um 2 Einheiten pro Schritt ansteigt 7 Schritte
Ein Diagramm ist 600 px breit und 300 px hoch, seine y-Achse verläuft von 95 bis 125, und die Kurve steigt über 12 Punkte hinweg um jeweils 2 Einheiten pro Schritt an. In welchem Winkel wird sie tatsächlich gezeichnet?
1. Rechne in Pixeln pro Einheit. Zwölf Punkte ergeben elf Abstände verteilt auf 600 Pixel. Die Achse mit ihren 30 Einheiten erstreckt sich über 300 Pixel.
  
  $\frac{600}{11} = 54.55 \frac{300}{30} = 10$
2. Ein Schritt von 2 Dateneinheiten bedeutet daher 20 Pixel nach oben bei 54,5 Pixeln in die Breite.
  
  $tan θ = \frac{2 \times 10}{54.55} = \frac{20}{54.55} = 0.3667$
3. Das ist der gesuchte Winkel. Wenn man nun die Achse auf 0–200 erweitert und sonst nichts ändert, sinkt der vertikale Maßstab auf 1,5 Pixel pro Einheit. Der gleiche Schritt beträgt dann 3 statt 20 Pixel.
  
  $θ = arctan 0.3667 = 20. 1^{\circ}$
4. Von 20,1° auf 3,1°, mit exakt denselben zwölf Zahlen. Wer das erste als steilen Anstieg und das zweite als flach beschreibt, beschreibt lediglich die Achse.
  
  $\frac{300}{200} = 1.5 \Rightarrow tan θ = \frac{3}{54.55} \Rightarrow θ = 3. 1^{\circ}$
5. Dass diese beiden Hebel eigentlich ein und derselbe sind, lässt sich leicht überprüfen: Halbiert man den Bereich auf 15 Einheiten und die Höhe auf 150 Pixel, bleiben die Pixel pro Einheit unverändert. Der Winkel muss es also auch bleiben.
  
  $\frac{150}{15} = 10 = \frac{300}{30}$
6. Die Skalierung nähert sich dem von der anderen Seite. Welche Höhe bringt das typische Segment auf 45°, wo tan θ = 1 ist und das Auge Steigungen am besten vergleicht? Setze dafür den Anstieg in Pixeln mit der Laufweite in Pixeln gleich und löse nach der Höhe auf.
  
  $tan θ = 1 \Rightarrow 2 \cdot \frac{H}{30} = 54.55$
7. 818 Pixel in der Höhe bei 600 in der Breite. Das ist das Format, das diese Daten verlangen. Es ist kein Format, das irgendjemand rein intuitiv zeichnen würde. Genau das ist der Grund, weshalb man es berechnen sollte, anstatt sich auf das Augenmaß zu verlassen.
  
  $H = \frac{54.55 \times 30}{2} = 818$
Antwort

20,1°, und es hätten genauso gut 3,1° sein können. Der Winkel ist durch den Achsenbereich und das Diagramm fest vorgegeben, und diese beiden Faktoren heben sich exakt gegenseitig auf. Kein Diagramm bleibt unskaliert. Die Skalierung auf 45° liefert für diese Datenreihe ein belastbares Ergebnis: 818 Pixel Höhe auf 600 Pixel Breite.
Ein Anstieg und ein Abfall im Verhältnis 3 zu 1, und die Form, die das zeigt 7 Schritte
Klick auf Flach hoch, steil ab. Die Reihe steigt über sechs Schritte und fällt in zweien zurück, und im voreingestellten Format sehen die beiden Äste einander sehr ähnlich. Finde die Höhe, die sie am stärksten unterscheidet, und entscheide dann, ob die Schaltfläche Rechtes Diagramm auf 45° skalieren sie dir liefert.
1. Lies die Zahlen ab, bevor du auf das Bild schaust. Siebzehn Punkte, sechzehn Schritte, und in der ganzen Reihe nur zwei verschiedene: zwölfmal ein Anstieg von 5 und viermal ein Abfall von 15. Mehr steckt nicht in diesen Daten.
  
  $100, 105, 110, 115, 120, 125, 130, 115, 100, \dots \Rightarrow + 5 (\times 12), - 15 (\times 4)$
2. Der mittlere Schritt beträgt also 5, und das Verhältnis der beiden Äste ist exakt 3. Dieses Verhältnis ist eine Eigenschaft der Zahlen, an die kein Seitenverhältnis heranreicht, und genau deshalb darf das Bild darüber lügen.
  
  $median ∣ slope ∣ = 5, \frac{∣ - 15∣}{5} = 3 at every aspect ratio$
3. Gib dem mittleren Segment eine Steigung in Pixeln und nenn sie s. Der steile Ast liegt dann bei 3s, und die Winkel, die du tatsächlich siehst, sind die Arkustangens davon. Die ganze Frage lautet, welches s du wählst.
  
  $θ_{↑} = arctan s, θ_{↓} = arctan 3 s (s = median pixel slope)$
4. Die Skalierung auf 45° wählt s = 1, und genau das tut die Schaltfläche: Die Höhe wird gestreckt, bis das mittlere Segment bei 45° liegt. Der steigende Ast landet auf 45,000° und der fallende auf 71,565°, ein Abstand von 26,565°.
  
  $s = 1 : 45.00 0^{\circ} and 71.56 5^{\circ}, Δ θ = 26.56 5^{\circ}$
5. Der Abstand war aber nie das, was die Skalierung maximiert hat, also frag direkt danach. Leite die Differenz der beiden Winkel ab und setze sie null. Die 3s und das s ziehen gegeneinander, die Algebra fällt zu einer einzigen quadratischen Gleichung zusammen, und die Antwort lautet 1/√3.
  
  $\frac{d}{d s} (arctan 3 s - arctan s) = \frac{3}{1 + 9 s ^{2}} - \frac{1}{1 + s ^{2}} = 0 ⟹ s^{*} = \frac{1}{3}$
6. In diesem Format kommen die beiden Äste auf 30° und 60° heraus, und der Abstand beträgt 30,000°: dreieinhalb Grad mehr als beim skalierten Format, aus einem Rahmen, der gut halb so hoch ist.
  
  $s^{*} = 0.5774 : 30.00 0^{\circ} and 60.00 0^{\circ}, Δ θ = 30.00 0^{\circ}$
7. Die beiden Antworten ergänzen einander, und das ist kein Zufall der Zahl 3. Das am besten unterscheidbare Paar liegt immer symmetrisch um 45°, das heißt: Auf 45° gehört das geometrische Mittel der beiden Steigungen. Clevelands Regel ist genau diese Aussage für eine Reihe, deren Steigungen alle gleich groß sind.
  
  $arctan \frac{1}{r} + arctan r = 9 0^{\circ}, s^{*} \cdot 3 s^{*} = 1$
Antwort

30° und 60°, bei 0,577 der skalierten Höhe. Welche Zahl die Karte Höhe für 45°-Skalierung für dein Diagramm auch nennt: Multipliziere sie mit 0,577, und die Asymmetrie dieser Reihe ist so sichtbar, wie sie überhaupt werden kann.

Die Skalierung bleibt trotzdem die richtige Voreinstellung, und dies ist kein Argument dagegen. Maximiert wird damit, wie gut ein Auge über einen ganzen Satz von Steigungen hinweg eine von der anderen unterscheiden kann, mit dem Median als Stellvertreter für den typischen Fall; bei einer Reihe mit vielen verschiedenen Steigungen ist das genau richtig. Diese Reihe hat zwei. Wenn ein Datensatz nur wenige verschiedene Steigungen enthält und die Frage lautet, ob sie sich unterscheiden, vertritt der Median nichts mehr, und die maßgebliche Größe ist das geometrische Mittel: √(5 × 15) statt 5.

Das ist deshalb wissenswert, weil die Reihe, die die Skalierung berühmt gemacht hat, genau diese Form besitzt. Hoch gezeichnet sieht die Sonnenfleckenreihe aus wie eine Folge symmetrischer Buckel; flach und breit gezeichnet, wie Cleveland sie gezeichnet hat, sind die Zyklen im Anstieg sichtbar steiler als im Abfall. Das Seitenverhältnis war der ganze Unterschied. Die Rechnung oben sagt, wie flach man zeichnen muss, und sie sagt, dass bei einer Reihe mit zwei statt vielen Steigungen die ehrliche Antwort noch flacher ausfällt als die Regel, die er aufgeschrieben hat.

$H^{*} = \frac{H _{banked}}{r} : r = 3 \Rightarrow 0.577 H_{banked}$

Quellen (2)

Banking to 45 degrees: the aspect ratio the tool computes, and why that angle Cleveland, W. S., McGill, M. E. and McGill, R. (1988). The Shape Parameter of a Two-Variable Graph. Journal of the American Statistical Association, 83(402), 289–300. doi:10.1080/01621459.1988.10478598
Where the perceptual claim underneath it comes from Cleveland, W. S. (1993). Visualizing Data. Hobart Press. — on judging slope, and on aspect ratio as a parameter of the display rather than of the data.

Vom 42Math-Team · Aktualisiert 2026-09-03

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Beispielaufgaben

Gleichmäßiger Anstieg - Eine schnurgerade Linie, die mit jedem Schritt um 2 steigt. Beschränkst du den Ausschnitt auf die Daten, wirkt ihr Anstieg fast fünfmal so steil wie bei einer Darstellung ab null. Es bleiben dieselben zwölf Zahlen, und beide Winkel ändern sich, sobald du die Größe des Fensters änderst.
Flach, mit Rauschen - Hier passiert eigentlich nichts. Die Werte schwanken innerhalb einer Bandbreite von vier Einheiten. Ab Null gezeichnet wirkt die Linie flach. Schneidet man sie auf den eigenen Bereich der Daten zu, füllt dieses Schwanken das gesamte Diagramm aus und liest sich wie ein Anstieg. Die beiden Winkelangaben liegen völlig weit auseinander. Keiner dieser Winkel ist eine Eigenschaft der Daten. Beide hängen davon ab, wie breit das Diagramm ist.
Flach hoch, steil ab - Diese Kurve steigt tatsächlich langsam und fällt schnell, und zwar genau im Verhältnis drei zu eins. Wie viel schneller der Abfall wirkt, hängt vom Bildausschnitt ab: Drückst du ihn flach zusammen, erscheint er dreimal so steil; richtest du ihn auf 45° aus, erscheint derselbe Abfall 1,6-mal so steil. Die Asymmetrie ist real. Die Zahl, mit der du sie beziffern würdest, ist es nicht.