Lección
La teoría — Calculadora de densidad planetaria
La densidad media es la masa total de un planeta dividida entre su volumen total — un solo número para todo el cuerpo. No es la densidad de nada que puedas tomar en la mano: es el promedio del conjunto de la corteza, el manto y el núcleo.
Qué significa cada símbolo
ρ- la densidad media, mostrada aquí en gramos por centímetro cúbico para que los valores sean comparables con materiales cotidianos — el agua es 1, el hierro alrededor de 7,9.
R- el radio del planeta,
6.371 × 10⁶m para la Tierra. Interviene al cubo, por lo que un error del 10% en el radio modifica la densidad en cerca de un 30%. 3/4π- la constante geométrica que aparece al asumir una esfera — nada físico, solo la forma.
De dónde viene la fórmula
- La densidad es la masa dividida entre el volumen:
ρ = M / V. Todavía nada sobre planetas. - Se asume que el cuerpo es una esfera, cuyo volumen es
V = (4/3)πR³. - Sustituir y simplificar:
ρ = M / ((4/3)πR³) = 3M / (4πR³). Esta es la expresión en la página, y con la masa y el radio de la Tierra da5.513 g/cm³.
- Supone
- Una esfera, y que tanto la masa como el radio son conocidos. Ninguno de los dos se mide directamente en un planeta distante: la masa proviene de su atracción gravitatoria sobre otro cuerpo; el radio, de cuánta luz estelar bloquea — de modo que la densidad media hereda los márgenes de error de ambos.
- Falla cuando
- Un promedio oculta la estructura por completo, y la Tierra es el caso más claro: la densidad media es
5.513 g/cm³, pero su núcleo es casi el doble y su corteza aproximadamente la mitad. Dos planetas con una estructura muy distinta pueden compartir exactamente la misma densidad media, por lo que este número acota de qué está hecho un mundo sin llegar a determinarlo por completo.
Práctica
Compruébalo tú mismo
Predice la respuesta primero y luego usa los controles de arriba para comprobarlo. Revela la solución solo cuando te hayas comprometido con una hipótesis: eso es lo que lo convierte en práctica.
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El radio entra al cubo, así que un error pequeño ahí es un error grande en la densidad. Los
6.371 × 10⁶ mde la Tierra dan5.513 g/cm³. Sube el radio un 10% a7.008 × 10⁶y luego bájalo un 10% a5.734 × 10⁶. ¿Son los dos errores del mismo tamaño?Mostrar la respuesta
No, y la diferencia conviene saberla antes de dar una barra de error. Un diez por ciento de más da4.142 g/cm³, una caída del 25%. Un diez por ciento de menos da7.563 g/cm³, una subida del 37%. Un cubo no es simétrico alrededor de 1:1.1³ = 1.331pero0.9³ = 0.729. El mismo desliz en el radio cuesta la mitad más en un sentido, y de la densidad sacada de un radio subestimado es de la que menos hay que fiarse. -
Pulsa Mercury y después Earth. Las dos medias salen
5.427y5.513 g/cm³, menos de un 2% de diferencia. ¿Los convierte eso en mundos parecidos?Mostrar la respuesta
No — y las casillas de masa enseñan la trampa antes que cualquier corrección: los5.972 × 10²⁴ kgde la Tierra frente a los3.301 × 10²³de Mercurio son un factor de dieciocho. Un planeta grande se comprime a sí mismo, así que la media terrestre exagera lo que sería su material en reposo, mientras que Mercurio, mucho más ligero, apenas se comprime. Corrige eso y los dos intercambian el puesto: Mercurio cerca de5.3frente al4.4de la Tierra. Una densidad media es una restricción fuerte y una conclusión débil: descarta de qué no puede estar hecho un mundo mucho antes de decir de qué está hecho.
Problema resuelto al detalle
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Gravedad superficial a partir de la densidad media de la Tierra de 5,513 g/cm³ y roca superficial 6 pasos
La masa y el radio de la Tierra dan una densidad media de 5,513 g/cm³. La roca superficial es de unos 2,9. Deduce a qué obliga esto y obtén después la gravedad superficial a partir de esos mismos dos números.
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La densidad media es la masa dividida por el volumen, y en el volumen de una esfera es donde el radio actúa al cubo, de modo que un error del 1 % en R supone un 3 % en ρ.
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Convierte a la unidad que usan los geólogos y compárala con una roca. El basalto está en 2,9, el granito en 2,7 y la media de la Tierra casi duplica a ambos.
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La gravedad superficial a partir de las mismas entradas. El valor 9,82 está ligeramente por encima del estándar 9,80665 porque el valor estándar incluye la rotación y el abultamiento ecuatorial, y esta esfera no tiene ninguno de los dos.
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Sustituye de nuevo la densidad en la fórmula de la gravedad y la masa desaparece. La gravedad en la superficie de una esfera uniforme es proporcional a ρR y a nada más.
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Pon a prueba esto en un cuerpo con una masa muy diferente. La Luna tiene el 1,2 % de la masa de la Tierra, pero el 27 % de su radio y el 61 % de su densidad, y la fórmula calcula su gravedad correctamente.
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Una línea más da la velocidad de escape, que es la misma afirmación sobre la energía escrita para un objeto que se aleja en lugar de uno en reposo.
Respuesta
Esto exige un interior aproximadamente el doble de denso que cualquier cosa que puedas coger. La media es una media ponderada por volumen, y la corteza es un error de redondeo en ese volumen —de modo que, si la parte exterior es de 2,9, la parte interior tiene que estar muy por encima de 5,5 para llevar la media hasta ahí, y el único material cósmicamente abundante tan denso es el hierro. Ese único paso aritmético, al alcance de cualquiera que disponga de la G de Cavendish y del radio medio, es la razón por la que sabíamos que la Tierra tenía un núcleo de hierro mucho antes de que la sismología pudiera verlo. Esos mismos dos números dan la gravedad en la superficie, y la elegante expresión g = (4/3)πGρR muestra que la gravedad depende solo de la densidad y del radio, no de la masa: introduciendo los 3340 kg/m³ y los 1738 km de la Luna, devuelve 1,62 m/s², que es el valor bajo el que caminó el programa Apolo.
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Referencias (1)
- Earth's mass and radius, as the nominal values adopted by the IAU: A. Prša et al., "Nominal Values for Selected Solar and Planetary Quantities: IAU 2015 Resolution B3." The Astronomical Journal 152(2), 41, 2016.