Cinética de Michaelis-Menten

Modela la cinética enzimática con la ecuación de Michaelis-Menten. Compara los efectos de la inhibición.

Ejemplo resuelto — Cinética de Michaelis-Menten

Vmax (aparente)	100.00
Km (aparente)	5.00
Tipo de gráfico V vs [S] Lineweaver-Burk	5.0[S]V

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

La saturación es asintótica y brutalmente lenta 🖖

La curva se acerca a V_max pero nunca llega, y conviene tener delante la aritmética de lo lento que resulta. Como v/V_max = [S]/(K_m + [S]), alcanzar la mitad de la velocidad cuesta exactamente un K_m de sustrato. Llegar al 90 % cuesta nueve. Llegar al 99 % cuesta noventa y nueve. Pon [S] igual a K_m en la herramienta y lee 0,5·V_max; multiplica [S] por cien y seguirás sin tocar el techo. Por eso V_max nunca se mide directamente: se lee de un ajuste, nunca de una lectura, y es la razón de que se inventara el gráfico recíproco del bloque siguiente.

Enderezar la curva para leerla 🖖

El gráfico de Lineweaver-Burk de la herramienta reescribe la ecuación como 1/v = (K_m/V_max)(1/[S]) + 1/V_max, convirtiendo la curva de saturación en una recta. Antes de existir el ajuste por ordenador, esto permitía prolongar la línea con una regla y leer las constantes directamente: la ordenada al origen da 1/V_max y la abscisa al origen da -1/K_m. El inconveniente: los puntos de [S] baja, con sus recíprocos enormes, dominan el ajuste y exageran el error de medida.

La misma curva se esconde en todas partes 🖖

Esta hipérbola equilátera no es exclusiva de las enzimas. La misma forma aparece como isoterma de adsorción de Langmuir para moléculas de gas que se adhieren a una superficie, como ecuación de Monod para el crecimiento microbiano frente al aporte de nutrientes y como ecuación de Hill para la unión del oxígeno a la hemoglobina. Todo sistema con un número fijo de sitios de unión que se saturan gradualmente produce esta forma: ajustar V_max y K_m es hallar una capacidad máxima y un punto de semisaturación.

Problemas resueltos al detalle

Una enzima con V max = 100 y K m = 5 5 pasos
Una enzima con V_max = 100 y K_m = 5. Muestra qué mide en realidad K_m y calcula después cuánto sustrato se necesita para pasar del 10 % de la velocidad máxima al 90 %.
1. La ley de velocidad es una curva de saturación: proporcional al sustrato cuando hay poco y plana cuando abunda. K_m es lo único que determina dónde tiene lugar la transición.
  
  $v = \frac{V _{m a x} [ S ]}{K _{m} + [ S ]}$
2. Al igualar [S] a K_m, la expresión se simplifica. K_m es la concentración de semisaturación: no es una velocidad, no es una energía de enlace y no es una propiedad que se pueda determinar a partir de la zona plana de la curva.
  
  $[S] = K_{m} ⟹ v = \frac{V _{m a x} K _{m}}{2 K _{m}} = \frac{V _{m a x}}{2} = 50$
3. Invierte la ley de velocidad para plantear la pregunta inversa: ¿qué concentración proporciona una fracción determinada de V_max?
  
  $v = f V_{m a x} ⟺ [S] = K_{m} \frac{f}{1 - f}$
4. El diez por ciento requiere un noveno de K_m; el noventa por ciento requiere nueve veces dicho valor.
  
  $f = 0.1 : [S] = \frac{K _{m}}{9} = 0.556; f = 0.9 : [S] = 9 K_{m} = 45$
5. Por lo tanto, el 80 % central de la curva abarca un factor de ochenta y uno en la concentración de sustrato.
  
  $\frac{9 K _{m}}{K _{m} /9} = 81 ⟹ an 81-fold range for the middle 80%$
Respuesta

La herramienta muestra V_max = 100,00 y K_m = 5,00. El 81 es el número que importa en el laboratorio. A la saturación se llega de forma tan lenta que no se puede medir V_max añadiendo más sustrato —alcanzar el 99 % requeriría 99 K_m y alcanzarla exactamente llevaría un tiempo infinito—, motivo por el cual V_max se obtiene siempre mediante ajuste y nunca por observación directa. Es también la razón por la que se inventó la representación de Lineweaver-Burk y por la que hoy se desaconseja: al tomar recíprocos, los puntos a bajas concentraciones, más aglomerados y ruidosos, dominan el ajuste. Cambia el tipo de gráfica y observa qué puntos se dispersan.

$K_{m} is the half-saturation concentration; 10% \to 90% costs 81 \times [S]$
Un inhibidor competitivo y el sustrato que lo vence 7 pasos
La misma enzima se encuentra con un inhibidor competitivo a 5 unidades, con Kᵢ = 3. Deduce qué cambia y qué no, y calcula después cuánto sustrato adicional hace falta para recuperar la velocidad original.

Abre este problema en la herramienta
1. Un inhibidor competitivo se une al centro activo libre, de modo que la enzima puede ahora hacer dos cosas en lugar de trabajar. Su constante de disociación indica con qué fuerza: una Kᵢ pequeña indica una unión difícil de romper.
  
  $E + I ⇌ E I, K_{i} = \frac{[ E ] [ I ]}{[ E I ]} = 3$
2. Sigue el desarrollo en estado estacionario y solo cambia una cosa. La enzima libre se reparte entre trabajar y estar bloqueada, y esa proporción es un único número, idéntico para cualquier concentración de sustrato.
  
  $α = 1 + \frac{[ I ]}{K _{i}} = 1 + \frac{5}{3} = \frac{8}{3} = 2.667$
3. Ese factor recae sobre Kₘ y en ninguna otra parte. La herramienta indica una Kₘ aparente de 13.33 frente a los 5.00 que tenía antes, y una Vₘₐₓ aparente que sigue fija en 100.00.
  
  $v = \frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{m} + [ S ]} ⟹ K_{m}^{app} = α K_{m} = 2.667 \times 5 = 13.33, V_{m a x}^{app} = 100.00$
4. Vₘₐₓ se mantiene porque el sustrato y el inhibidor compiten por el mismo sitio, y siempre se puede hacer que el sustrato gane por pura superioridad numérica. Si hay suficiente, el inhibidor nunca llega primero.
5. A una concentración fija de sustrato, el coste es real. Donde antes la enzima funcionaba a media velocidad, ahora lo hace a 27.27, de modo que el inhibidor ha restado casi la mitad del rendimiento sin tocar el techo de la enzima.
  
  $[S] = 5 : v = \frac{100 \times 5}{13.33 + 5} = 27.27 against \frac{100 \times 5}{5 + 5} = 50.00$
6. ¿Cuánto sustrato más hace falta entonces para recuperar la velocidad? Iguala la velocidad inhibida a la original y despeja. El sustrato necesario aumenta exactamente en el mismo factor que la Kₘ aparente, lo cual es el resultado más útil de todo el cálculo: mide cuánto tienes que aumentar el sustrato y habrás medido el inhibidor.
  
  $\frac{V _{m a x} [ S ]}{α K _{m} + [ S ]} = \frac{V _{m a x}}{2} ⟹ [S] = α K_{m} = 13.33 = α \times 5$
7. Y así es como se distinguen los dos tipos de inhibición en una gráfica y no por simple afirmación. Cambia en la herramienta al ajuste predefinido no competitivo con las mismas 5 unidades y la misma Kᵢ = 3, y los números se intercambian: Vₘₐₓ cae a 37.50 y Kₘ se mantiene en 5.00. Ese inhibidor se une en un lugar distinto del centro activo, de modo que aumentar el sustrato no puede contrarrestarlo.
  
  $non-competitive: V_{m a x}^{app} = \frac{V _{m a x}}{α} = \frac{100}{2.667} = 37.50, K_{m}^{app} = 5.00$
Respuesta

Kₘ aumenta de 5,00 a 13,33, Vₘₐₓ no varía, y 2,667× el sustrato restaura la velocidad original. Un solo factor, α = 1 + [I]/Kᵢ, cumple ambas funciones: multiplica la Kₘ aparente y es la proporción en la que debe aumentar el sustrato para que recuperes la velocidad, partiendo de cualquier concentración y no solo de esta. Lo que te cuesta el inhibidor es sustrato, nunca el tope.

$K_{m}^{app} = α K_{m} = 13.33, V_{m a x} unmoved; [S] \to α [S] restores the rate$

Referencias (2)

The 1913 paper, in translation, with the original constant: K. A. Johnson and R. S. Goody, "The Original Michaelis Constant: Translation of the 1913 Michaelis–Menten Paper." Biochemistry 50(39), 8264–8269, 2011.
Steady-state kinetics, and why V_max is fitted rather than measured: A. Cornish-Bowden, Fundamentals of Enzyme Kinetics, 4th ed., ch. 2–3. Wiley-Blackwell, 2012. ISBN 978-3-527-33074-4.

Por el equipo de 42Math · Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones.