Lecciones Interactivas de Matemáticas y Ciencias (ﾉ◕ヮ◕)ﾉ*:･ﾟ✧

Explorador de la esfera de Bloch

estados de un solo cúbit, mediciones en distintas bases y rotaciones de puertas en la esfera de Bloch

Cargando simulación interactiva...

En δ = π las dos mitades se cancelan exactamente 🖖

En el ecuador el estado es un reparto igual de |0⟩ y |1⟩, así que una medida en Z es cara o cruz haga lo que haga la fase. Aun así la fase lo decide todo: simplemente aflora en las bases X e Y. El panel de fasores lo hace visible: dibuja A = 1 + eiδ y recorre δ por su cuenta, como animación y no como control. La amplitud es |A| = 2cos(δ/2), de modo que la probabilidad sigue cos²(δ/2): un 100 % pleno en δ = 0, exactamente 50 % en δ = π/2 y un cero limpio en δ = π, donde dos fasores unitarios apuntan en sentidos opuestos y suman nada. Poblaciones idénticas, resultado opuesto: esa cancelación es el recurso que gasta todo algoritmo cuántico.

Un cúbit cabe en un globo terráqueo 🖖

El estado completo de un solo cúbit es solo un punto en la superficie de esta esfera. El polo norte es |0⟩, el polo sur es |1⟩, y todo lo intermedio es una superposición. La latitud (θ) determina cómo se reparten las probabilidades entre 0 y 1 —los polos son certeza, el ecuador es una moneda al 50/50—, mientras que la longitud (φ) fija la fase. La conclusión práctica: medir en la base Z solo pregunta hacia qué hemisferio se inclina tu punto.

Hacen falta 720° para volver a casa 🖖

Fíjate en el medio ángulo: el estado usa cos(θ/2), no cos(θ). Ese factor de dos es la huella de un vínculo profundo: las rotaciones en 3D forman el grupo SO(3), pero el verdadero espacio de estados de un cúbit es SU(2), que lo recubre dos veces. La consecuencia sorprende: gira un cúbit 360° completos y su vector de estado se invierte a -|ψ⟩ en lugar de regresar; solo una segunda vuelta, 720° completos, lo restaura. Todo electrón comparte este comportamiento de espinor, ilustrado por el truco del cinturón de Dirac.

Problema resuelto al detalle

  1. Un cúbit a θ = 90° dando 50/50 como una moneda 5 pasos

    Un cúbit en θ = 90° da 50/50. Se parece a una moneda. Deduzca por qué no lo es y adónde ha ido a parar la certeza.

    1. Un estado puro de un cúbit viene dado por dos ángulos en una esfera. θ determina cómo se divide la probabilidad entre |0⟩ y |1⟩; φ establece una fase que la medida en Z no puede detectar en absoluto.

    2. En θ = 90°, los dos cosenos son iguales, de modo que ambos resultados son exactamente la mitad. Medido en la base Z, esto resulta realmente indistinguible de una moneda equilibrada.

    3. Pero el estado contiene más información que esas dos probabilidades. El vector de Bloch apunta a lo largo de +x y su longitud es 1.

    4. Que la longitud sea 1 significa que el estado es puro: se encuentra en la superficie de la esfera. Una moneda verdaderamente aleatoria sería un estado mixto en el centro, con longitud 0, y ambos dan 50/50 en Z.

    5. La diferencia se manifiesta en otra base. Este estado es |+⟩, y medirlo a lo largo de x devuelve + con certeza, todas las veces.

    Respuesta

    La herramienta muestra 50,00% para ambos resultados con un vector de Bloch de (1, 0, 0). La lección es que el 50/50 es una afirmación sobre la base elegida, no sobre el estado. Una moneda es aleatoria en cualquier base; este cúbit es aleatorio en una y está completamente determinado en otra, y la superficie de la esfera es donde habita esa distinción. Cambie el selector de base de Z a X y observe cómo el mismo estado da 100/0 sin que nada en él haya cambiado.

Referencias (2)
  • The sphere and the vector picture it is named for: F. Bloch, "Nuclear Induction." Physical Review 70(7–8), 460–474, 1946.
  • Single-qubit states, the half-angle, and interference in the X/Y bases: M. A. Nielsen and I. L. Chuang, Quantum Computation and Quantum Information, 10th anniversary edition, §1.2 and §4.2. Cambridge University Press, 2010. ISBN 978-1-107-00217-3.

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