Explorador de fractales

Ajusta la profundidad de recursión y observa cómo emergen patrones autosimilares a partir de reglas simples.

Ejemplo resuelto — Explorador de fractales

Profundidad	5
Triángulos	243

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Lección

La teoría — Explorador de fractales

Una dimensión fractal aparece cuando uno insiste en que «dimensión» signifique cómo se multiplica el detalle al acercarse, y luego aplica eso a una forma construida por repetición. El panel indica una para la forma que esté en pantalla, y los números no son enteros: el copo de Koch da 1.262, el triángulo de Sierpiński 1.585, el conjunto de Cantor 0.631. Una forma puede ser más que una línea y menos que un plano, y este menú contiene ocho.

Un eje horizontal de dimensión fractal de 0 a 2, con las ocho formas del menú marcadas en su dimensión, entre una línea y un plano.

El conjunto de Cantor en 0.631 es la sorpresa: por debajo de la dimensión 1, más que un polvo de puntos y menos que una línea. Su longitud total es cero y aun así tiene una infinidad no numerable de puntos.
Koch en 1.262 y Sierpiński en 1.585 ocupan el espacio para el que se inventó la palabra «fractal» — verdaderamente entre una línea y un plano, ni aproximación ni redondeo.
El helecho de Barnsley en ≈ 1.893 se acerca a llenar el plano sin llegar a hacerlo, y su valor es aproximado porque sus cuatro aplicaciones se solapan.
Tres construcciones caen en exactamente 2 — el dragón, la curva C de Lévy y la de Hilbert. No son curvas que rocen el llenado: en el límite, llenan.

Qué significa cada símbolo

N: cuántas copias de sí misma produce la regla en cada paso. Koch sustituye un segmento por 4; Sierpiński sustituye un triángulo por 3.
r: cuánto más pequeña es cada copia. Koch escala ⅓, Sierpiński ½, la curva C de Lévy 1/√2.
D: la dimensión de Hausdorff que imprime el panel, log N / log(1/r) — el exponente que pone de acuerdo las copias y el escalado.
depth: cuántas veces se ha aplicado realmente la regla en pantalla. Se detiene en 7, y toda D de arriba es el límite cuando tiende a infinito.

De dónde viene la fórmula

Empieza por formas en las que ya confías. Reduce una línea a la mitad y hacen falta 2 copias para rehacerla; un cuadrado, 4; un cubo, 8. El patrón es N = (1/r)^D, con D igual a 1, 2 y 3 — la dimensión es el exponente que liga copias y escala, y nada en esa definición exige un número entero.
Despeja D. Tomando logaritmos en N = (1/r)^D se obtiene D = log N / log(1/r). Esa es la fórmula que imprime el panel, y cada parte de ella está en la regla de construcción justo encima.
Lee una regla de la página y sustituye. Koch cambia un segmento por 4 de longitud ⅓, así que N = 4 y 1/r = 3, lo que da log 4 / log 3 ≈ 1.262. Sierpiński da log 3 / log 2 ≈ 1.585. Ninguno es entero, y no es una aproximación — es lo que la forma es.
Ahora haz la cuenta donde sorprende. La curva C de Lévy sustituye un segmento por 2 a 1/√2, así que log 2 / log √2 = 2 exactamente; Hilbert sustituye uno por 4 a ½, dando log 4 / log 2 = 2. Una dimensión de exactamente 2 significa que no son curvas que serpentean: en el límite llenan un área, y por eso el panel escribe «llena el espacio» en vez de un decimal.

Cómo leer lo que ves

Cambia de forma y observa cómo la fila del recuento cambia de nombre: Triángulos en Sierpiński, Segmentos en Koch, Ramas en el árbol, Intervalos en Cantor, Puntos en Hilbert y en el helecho. No es adorno — «cuántas piezas» significa de verdad algo distinto en cada construcción, y el panel se niega a aplanarlo en una sola palabra. Cada recuento coincide con la fórmula impresa al lado: a profundidad 4 Sierpiński muestra 81 = 3⁴, Koch 768 = 3·4⁴, Cantor 16 = 2⁴, Hilbert 256 = 4⁴ y el árbol 31 = 2⁵ − 1. Pon la profundidad en 0 y súbela de uno en uno; la columna del recuento es la regla, aritmética hecha visible.

Supone: Que las copias son exactas y no se solapan. D = log N / log(1/r) es un enunciado sobre autosemejanza estricta — por eso el panel se permite imprimir un cociente exacto de logaritmos para Koch y Sierpiński, y por eso imprime ≈ 1.893 para el helecho de Barnsley y ≈ 1 para el árbol. El helecho se construye con cuatro aplicaciones afines de razones distintas que se solapan, y el árbol cambia de dimensión en cuanto cambias su ángulo de ramificación. La virgulilla está trabajando.
Falla cuando: Nada de lo que hay en pantalla es un fractal. El deslizador de profundidad se detiene en 7, y a profundidad 7 la curva de Koch son 3·4⁷ = 49.152 segmentos rectos de longitud total perfectamente finita — un polígono corriente de dimensión exactamente 1. Todo valor del panel es un límite hacia el que el dibujo se dirige sin alcanzarlo nunca, y lo mismo vale al revés: las curvas que llenan el espacio encierran área cero en toda profundidad seleccionable. La lectura honesta de esta página es que estás viendo una sucesión — y el fractal es aquello para lo que la sucesión existe.

Ninguno de estos fractales viene de un polinomio complejo: todos son una regla repetida 🖖

Ninguna de estas ocho figuras es un conjunto de Mandelbrot, y para construirlas no hacen falta números complejos. Todas se obtienen por sustitución: reemplazas un segmento por una disposición de segmentos más pequeños y repites el proceso. El control de profundidad indica literalmente cuántas veces lo haces. La propia construcción te da directamente la dimensión. En la curva de Koch, cada segmento se sustituye por cuatro de longitud igual a un tercio de la original, de modo que su dimensión es log 4 / log 3 = 1,262. Con la profundidad 4 de la configuración inicial, su longitud ya es (4/3)⁴ = 3,16 veces la de la línea de partida. El triángulo de Sierpinski da log 3 / log 2 = 1,585. El conjunto de Cantor da log 2 / log 3 = 0,631: un conjunto con menos de una dimensión.

Una regla, repetida, se vuelve todo 🖖

Cada figura de aquí nace de una única instrucción que el programa se aplica a sí mismo. Una rama del árbol fractal simplemente genera dos ramas más cortas, y cada una repite la misma regla: eso es la recursión. Sube la profundidad en uno y el número de ramas se duplica, aunque la regla que escribiste nunca cambia. Cada llamada anidada se apila en la pila de llamadas y se deshace al terminar el dibujo.

Una curva del dragón recorre Jurassic Park 🖖

La curva del dragón de este explorador es el dragón de Heighway, que se obtiene doblando una tira de papel muchas veces y abriendo cada pliegue en ángulo recto. Michael Crichton la incluyó en su novela Jurassic Park de 1990: cada una de las siete secciones se abre con la curva en una iteración más profunda, reflejando cómo una perturbación mínima escala hasta el caos. Elegida por el matemático Ian Malcolm, es matemática convertida en recurso narrativo.

Tres de estas ocho curvas tienen dimensión exactamente 2 🖖

Haz la misma aritmética con el resto del menú y sale algo raro. El dragón y la curva C de Lévy sustituyen cada uno un segmento por dos de 1/√2 de la longitud, lo que da log 2 / log √2 = exactamente 2. Hilbert sustituye uno por cuatro de media longitud: log 4 / log 2 = 2 otra vez. Una dimensión de exactamente 2 significa que no son curvas que deambulan por el plano — a profundidad infinita lo llenan, visitando todos los puntos de una región. Por eso parecen macizas mucho antes de que se agote el control de profundidad, mientras Koch, con 1,262, nunca lo hace.

El helecho lo dibuja el azar y sale idéntico cada vez 🖖

Barnsley es la excepción: no es una regla de sustitución sino un juego del caos. Empieza en un punto, elige al azar una de cuatro transformaciones afines — con pesos del 1 %, 85 %, 7 % y 7 % —, aplícala, dibuja, repite. Nada de eso dice «helecho», y sin embargo aparece un helecho. Y es el mismo helecho en cada visita, porque la herramienta arranca su generador con un 42 fijo, de modo que la secuencia de elecciones nunca varía. Lo más profundo es que tampoco importaría si variara: un sistema de funciones iteradas converge a su atractor sea cual sea el camino aleatorio que tomes. El azar es esencial para el método e irrelevante para la respuesta.

Problema resuelto al detalle

El triángulo de Sierpiński en profundidad 5 con 243 piezas 5 pasos
En la profundidad 5, el triángulo de Sierpiński tiene 243 piezas. Deduzca este resultado y, a continuación, halle la profundidad en la que sobrevive menos del 1 % del área original —y qué hace el perímetro mientras el área desaparece.
1. La construcción es una única recurrencia: cada triángulo se convierte en tres. Resolverla no requiere más que advertir que es geométrica.
  
  $N (n) = 3 N (n - 1), N (0) = 1 ⟹ N (n) = 3^{n}; N (5) = 243$
2. Cada hijo tiene la mitad del lado, por lo que su área es un cuarto, y hay tres de ellos. Multiplique ambos factores y obtendrá la regla del área.
  
  $s (n) = (\frac{1}{2})^{n} s_{0} \Rightarrow A (n) = 3^{n} (\frac{1}{4})^{n} A_{0} = (\frac{3}{4})^{n} A_{0}$
3. Evalúe ambas en la profundidad 5. Queda algo menos de un cuarto del área —un 23,7 %— y la frontera mide ya 7,59 veces su longitud original.
  
  $A (5) = (\frac{3}{4})^{5} = \frac{243}{1024} = 23.7%, P (5) = (\frac{3}{2})^{5} = 7.59 \times$
4. La dimensión viene definida por el exponente que mantiene constante el producto conteo × tamaño^D bajo la regla. Tres copias a mitad de escala exigen 3 = 2^D, y nada concerniente al dibujo interviene.
  
  $N (n) s (n)^{D} = const \Rightarrow 3 \cdot 2^{- D} = 1 \Rightarrow D = \frac{lo g 3}{lo g 2} = 1.585$
5. Resuelva ahora la regla del área para la profundidad en la que queda el 1 %. Los logaritmos dan 16,01, luego la profundidad es 17 —y para entonces el número de triángulos ha superado los 129 millones, motivo por el cual la herramienta se detiene mucho antes.
  
  $(\frac{3}{4})^{n} < 0.01 \Rightarrow n > \frac{ln 0.01}{ln 0.75} = 16.01 \Rightarrow n = 17, N = 3^{17} = 129140163$
Respuesta

Profundidad 17, punto en el que hay 129.140.163 triángulos. Las dos magnitudes se desplazan en direcciones opuestas y ambas lo hacen de forma geométrica: el área cae como (3/4)ⁿ hacia cero, mientras que el perímetro total crece como (3/2)ⁿ sin límite. Una figura cuya área tiende a cero y cuya frontera tiende a infinito no se comporta mal, simplemente no es unidimensional ni tampoco bidimensional —y el exponente que reconcilia ambas cosas, log 3 / log 2 = 1,585, es lo que la «dimensión» tiene que significar una vez que se admiten figuras como esta. Nótese que no es algo que se mida sobre el dibujo; se desprende únicamente de la regla de conteo.

$N = 3^{5} = 243, A = (\frac{3}{4})^{5} = 23.7%, D = \frac{l o g 3}{l o g 2} = 1.585$

Referencias (3)

Where fractional dimension entered general use — the paper behind the dimensions quoted here: B. Mandelbrot, "How Long Is the Coast of Britain? Statistical Self-Similarity and Fractional Dimension." Science 156, 636–638, 1967.
The chaos game and the fern, from the book that introduced both: Michael F. Barnsley, Fractals Everywhere. Academic Press, 1988. ISBN 978-0-12-079062-3.
The dragon curve as a storytelling device, section by section: Michael Crichton, Jurassic Park. Alfred A. Knopf, 1990. ISBN 978-0-394-58816-2.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-06-12

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Sierpinski - Profundidad 6: hay 3⁶ = 729 triángulos, queda el 17,8 % del área original y el perímetro mide 11,39 veces su longitud inicial. Dimensión: log 3 / log 2 = 1,585.
Copo de nieve de Koch - Profundidad 4: cada segmento se ha sustituido por cuatro de longitud igual a un tercio, y el proceso se ha repetido cuatro veces. Por tanto, el contorno mide (4/3)⁴ = 3,16 veces la línea de partida. Dimensión: 1,262.
Árbol fractal - Profundidad 10: el número de ramas se duplica en cada paso, así que aparecen 2¹⁰ = 1.024 extremos a partir de una regla formada por tres líneas.
Curva del dragón - Profundidad 12: hay 2¹² = 4.096 segmentos. Su dimensión es exactamente 2, por eso parece maciza: con profundidad infinita llena una región del plano.
Conjunto de Cantor - Es la única figura con dimensión inferior a 1: log 2 / log 3 = 0,631. En la profundidad 6, los 64 intervalos restantes conservan el 8,8 % de la longitud original.
Helecho de Barnsley - No se genera mediante una regla de sustitución, sino con el juego del caos: se elige al azar entre cuatro aplicaciones afines, con pesos del 1 %, 85 %, 7 % y 7 %. La herramienta inicia el generador con la semilla 42, por lo que el helecho es idéntico en cada visita.
Curva de Hilbert - Un segmento se convierte en cuatro de longitud igual a la mitad, así que log 4 / log 2 = 2 exactamente. En la profundidad 5, sus 1.024 celdas ya cubren el cuadrado.
Curva C de Lévy - Dos segmentos de longitud igual a 1/√2 de la original dan log 2 / log √2 = 2, la misma dimensión que la curva del dragón y por el mismo motivo.

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3Blue1Brown·Fractals are typically not self-similar