Período de Retorno de Peligro y Riesgo Acumulado

Explore cómo se acumulan las probabilidades anuales a lo largo de décadas y descubra cómo los códigos de construcción resuelven los períodos de retorno a la inversa.

Ejemplo resuelto — Período de Retorno de Peligro y Riesgo Acumulado

Conteo Esperado n/T	0,30
Período de Retorno Requerido	285

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

Cargando simulación interactiva...

Una inundación de 100 años es un riesgo del 26% en una hipoteca de 30 años 🖖

Una 'inundación de 100 años' no significa un evento que ocurra puntualmente cada siglo. Describe una probabilidad de excedencia anual de 1/100, o 1% en un año cualquiera. En una hipoteca de 30 años, la probabilidad acumulada de sufrir al menos una inundación es 1 − (1 − 0,01)³⁰ = 26,03% — más de 1 en 4. En 100 años, la probabilidad es del 63,40%, mientras que la opción de que no ocurra nunca es del 36,60%. El período de retorno es simplemente el recíproco de la probabilidad anual.

La constante del 63%: esperar un período de retorno completo nunca da certeza 🖖

Si establece la ventana de exposición n igual al período de retorno T, el riesgo acumulado 1 − (1 − 1/T)ᵀ converge rápidamente a 1 − 1/e ≈ 63,21%. Para T = 10, el riesgo es 65,13%; para T = 50, 63,58%; para T = 100, 63,40%; y para T = 500, 63,25%. Esperar un período de retorno completo da aproximadamente un 63% de probabilidades, nunca un 100%. La hipótesis de independencia matemática es fundamental aquí: en la realidad, el cambio climático altera la distribución subyacente.

Los códigos de construcción son esta ecuación resuelta al revés 🖖

Al invertir la relación se obtiene T = 1 / (1 − (1 − R)^(1/n)), donde R es el riesgo aceptable y n, la vida útil de proyecto. Los códigos de estructuras y de diseño sísmico se basan desde hace mucho en esta inversión. Admitir un riesgo del 10 % durante una vida útil de proyecto de 50 años exige diseñar para un fenómeno con un período de retorno de 475 años (el terremoto de proyecto). Si el riesgo aceptable se reduce al 2 % en 50 años, el período de retorno exigido asciende a 2.475 años (el terremoto máximo considerado). Estos conocidos períodos de retorno no son periodicidades geológicas, sino el resultado de expresar mediante una sola operación algebraica el riesgo que estamos dispuestos a aceptar.

Problemas resueltos al detalle

Dos inundaciones de 100 años que azotan el mismo pueblo durante una hipoteca de 30 años 6 pasos
Dos "inundaciones de 100 años" afectan a la misma ciudad durante una sola hipoteca de 30 años. ¿Cuánta mala suerte implica esto y cuántas ciudades hacen falta antes de que sea más probable que a alguien le ocurra a que no?
1. Un periodo de retorno de T = 100 años supone una probabilidad de excedencia anual de p = 1/T = 0,01. La tarjeta Probabilidad Anual indica un 1,00%.
  
  $p = \frac{1}{T} = \frac{1}{100} = 0.01$
2. Considera los 30 años como 30 extracciones independientes. La probabilidad de un periodo sin incidentes es 0,99³⁰ = 0,7397, por lo que la probabilidad de al menos una inundación es del 26,03%. Ambos números están en la página, en las tarjetas Probabilidad de Ninguna y Riesgo de por Vida.
  
  $P (0) = (1 - p)^{30} = 0.9 9^{30} = 0.7397 ⟹ P (\geq 1) = 0.2603$
3. Exactamente una inundación implica elegir en cuál de los 30 años se produce: 30 × 0,01 × 0,99²⁹ = 0,2242.
  
  $P (1) = (1 30) p (1 - p)^{29} = 30 \times 0.01 \times 0.9 9^{29} = 0.2242$
4. El resto corresponde a dos o más: 1 − 0,7397 − 0,2242 = 0,03615. La tarjeta Probabilidad de ≥2 Eventos indica un 3,61%, aproximadamente una hipoteca de cada 28.
  
  $P (\geq 2) = 1 - 0.7397 - 0.2242 = 0.03615$
5. Eso es una ciudad. Toma ahora N ciudades, cada una en su propio río con su propio umbral del 1%. La probabilidad de que ninguna de ellas haga doblete es 0,96385 elevado a N, e igualar esto a un medio da N = ln 0,5 / ln 0,96385 = 18,8.
  
  $(1 - 0.03615)^{N} = 0.5 ⟹ N = \frac{ln 0.5}{ln 0.96385} = 18.8$
6. Diecinueve ciudades. Con cien ciudades, la probabilidad de que al menos una de ellas sufra dos inundaciones de 100 años dentro de los mismos 30 años es 1 − 0,96385¹⁰⁰ = 97,5%, y el número esperado de ciudades en esta situación es 100 × 0,03615 = 3,61.
  
  $1 - 0.9638 5^{100} = 0.9748$
Respuesta

Que ocurran dos o más tiene una probabilidad del 3,61 % donde vives y del 97,5 % en un conjunto de cien cuencas. Todas las tarjetas de esta página se refieren a un lugar y un umbral concretos; lo que hizo pasar la probabilidad del 3,61 % al 97,5 % fue el número de ríos que decidiste observar. Por eso, «dos inundaciones con un período de retorno de 100 años en algún lugar durante una vida» aparece en las noticias casi todos los años sin demostrar que nada haya cambiado. Para comprobarlo hace falta el registro de una misma estación de aforo, no contar titulares. El cálculo anterior también supone que las localidades son independientes, pero las cuencas no lo son: un mismo sistema de tormentas puede inundar a la vez zonas vecinas. La correlación positiva sitúa la cifra real por debajo del 97,5 %, aunque esta página no permite saber cuánto, pues su modelo corresponde a un único lugar.

$N_{\geq 2} = 100 \times 0.03615 = 3.61$
El terremoto de 475 años y el edificio que sobrevive a su vida útil de proyecto 6 pasos
Una norma exige como máximo un 10 % de probabilidad de excedencia en 50 años. Calcula el periodo de retorno que eso obliga a adoptar y decide después si la promesa sigue valiendo para un edificio que todavía está en pie a los 100.
1. Este es el primer problema recorrido al revés. Allí se daba la amenaza y salía el riesgo; aquí el riesgo lo fija un comité y lo que hay que encontrar es la amenaza. Cincuenta años limpios, con probabilidad 0,90.
  
  $(1 - p)^{50} = 1 - 0.10 = 0.90$
2. Extrae la raíz quincuagésima y resta de uno. La probabilidad de excedencia anual es 0,0021, y la tarjeta Probabilidad Anual indica un 0,21 %.
  
  $p = 1 - 0.9 0^{1/50} = 1 - e^{(l n 0.90) /50} = 0.0021050$
3. El periodo de retorno es su inverso: 475 años, que es lo que imprime la tarjeta Periodo de Retorno Necesario. Ninguna geología eligió ese número. Un comité eligió un 10 % y 50 años, y una línea de álgebra devolvió 475.
  
  $T = \frac{1}{p} = \frac{1}{0.0021050} = 475.06$
4. El atajo al que casi todo el mundo recurre es 50 dividido entre 0,10, es decir, 500 años, y la dirección de su error importa. Un evento de 500 años entrega un 9,53 % a lo largo de 50 años en lugar de un 10 %, de modo que el atajo pide un evento de diseño algo mayor que el que exige la norma. Además mejora a medida que baja el riesgo: con un 2 % en 50 años la respuesta exacta es 2.475 frente a una estimación de 2.500.
  
  $\frac{n}{R} = \frac{50}{0.10} = 500 ⟹ 1 - (1 - \frac{1}{500})^{50} = 9.53%$
5. Deja ahora el edificio en pie durante 100 años con la misma amenaza. La supervivencia se multiplica, así que un siglo limpio es 0,90 al cuadrado, o sea 0,81. La probabilidad de excedencia es del 19,00 %, no el 20 % que sugeriría duplicar, y nada parecido al 10 % que prometía la norma.
  
  $(1 - p)^{100} = [(1 - p)^{50}]^{2} = 0.9 0^{2} = 0.81 ⟹ 19.00%$
6. Para mantener el 10 % a lo largo de 100 años, la probabilidad anual tiene que bajar hasta el 0,105 %, un periodo de retorno de 949,6 años. Duplica la vida en servicio y el periodo de retorno exigido se duplica con ella, con bastante aproximación, porque con probabilidades tan pequeñas todo el trabajo lo hace el exponente.
  
  $p^{'} = 1 - 0.9 0^{1/100} = 0.0010531 ⟹ T^{'} = 949.6$
Respuesta

475 años para una vida de 50 años, y un 19,0 % de excedencia si ese mismo edificio sigue ahí a los 100. El 10 % pertenece a los cincuenta años que alguien escribió en el pliego, no a la estructura, y crece más o menos al ritmo de los años que el edificio se conserve.

Hospitales, presas y colegios sobreviven habitualmente a la vida útil con la que se dimensionaron, y en la estructura no cambia nada cuando lo hacen. Lo que cambia está en el exponente. La herramienta lo enseña: introduce 475 en el modo directo con una exposición de 100 años y la tarjeta Riesgo de por Vida marca un 19,00 %. Por eso la manera honrada de citar un evento de diseño es acompañarlo de su exposición. 475 años es la forma abreviada de decir un 10 % en 50, y separado de esos cincuenta años es un número grande que suena a garantía.

$T = \frac{1}{1 - ( 1 - R ) ^{1/ n}}, T (0.10, 100) = 949.6 \approx 2 T (0.10, 50)$

Referencias (2)

What a "100-year flood" means, and the misreading the tool exists to correct Holmes, R. R. and Dinicola, K. USGS Fact Sheet FS-229-96, "The 100-Year Flood". U.S. Geological Survey.
Where designing to an annual exceedance probability comes from Cornell, C. A. (1968). Engineering seismic risk analysis. Bulletin of the Seismological Society of America, 58(5), 1583–1606. doi:10.1785/bssa0580051583

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-09-03

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

Hipoteca a 30 años (T=100) - Un peligro anual de 1 en 100 conlleva un riesgo del 26,03% durante una hipoteca de 30 años.
Ventana de 100 años (T=100) - A lo largo de 100 años, un evento de 100 años tiene un 63,40% de probabilidad de ocurrir y un 36,60% de no ocurrir nunca.
Código Sísmico DBE (10%/50a) - Diseñar para un riesgo del 10% en 50 años requiere un período de retorno de 475 años (Design Basis Earthquake).
Máximo Considerado MCE (2%/50a) - Diseñar para un riesgo del 2% en 50 años requiere un período de retorno de 2.475 años (Maximum Considered Earthquake).