Explorador de Funciones Hiperbólicas
Funciones hiperbólicas frente a circulares, comprobación de identidades e intuición geométrica.
Proyecciones geodésicas no euclidianas 🖖
Las funciones hiperbólicas mapean relaciones trigonométricas en la geometría de la hipérbola. La identidad cosh² - sinh² = 1 es la firma del espacio-tiempo de Minkowski y dicta la curva catenaria de una cadena colgante.
Solo exponenciales disfrazadas 🖖
Si quitamos los nombres rimbombantes, sinh y cosh se construyen simplemente a partir de las funciones exponenciales e^t y e^-t: cosh(t) = (e^t + e^-t)/2 y sinh(t) = (e^t - e^-t)/2. Así, cosh es el promedio de una exponencial creciente y una decreciente, mientras que sinh es la mitad de su diferencia. Por eso cosh nunca baja de 1 y sinh pasa limpiamente por el origen.
El puente que no necesita i 🖖
Se puede convertir entre funciones hiperbólicas y circulares sin ningún número imaginario, usando la función de Gudermann gd(t): sin(gd t) = tanh(t) y tan(gd t) = sinh(t). Su inversa, ln(tan(π/4 + φ/2)), es exactamente la coordenada vertical de la proyección de Mercator. Así que toda carta náutica clásica se dibuja, sin que se note, con la geometría de sinh y cosh.
Problemas de ejemplo
- comprobación de identidad - Comprobación de identidad hiperbólica: cosh^2(1) - sinh^2(1) = 1.
- asíntota de tanh - tanh se acerca a +/-1 cuando |t| crece, a diferencia de tan, que diverge.
- forma de catenaria - La curva cosh es el perfil de la catenaria que forman las cadenas y cables colgantes.
- relación de derivadas - Relación de derivadas: d/dx sinh = cosh y d/dx cosh = sinh.