Explorador de funciones inversas

Elige una función, mueve un punto sobre f y observa su punto reflejado en la inversa. Restringe el dominio para los casos no inyectivos.

Ejemplo resuelto — Explorador de funciones inversas

Punto P sobre f	(2,4)
Punto reflejado Q sobre f⁻¹	(4,2)
Invertible en el dominio actual	Yes

Estos son los valores que muestra la calculadora al abrir la página. Cambia cualquier entrada de arriba para recalcularlos.

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Por qué la raíz cuadrada solo da la mitad de las respuestas 🖖

Elevar al cuadrado manda 3 y −3 al mismo sitio, así que hacerlo al revés no tiene una única respuesta — y una función solo puede dar una salida por entrada. Las matemáticas lo resuelven amputando: la raíz cuadrada se define como la inversa del cuadrado restringido a x ≥ 0. Esa restricción es la razón de que √9 sea 3 y no ±3, y de que al resolver x² = 9 tengas que devolver el ± a mano. La prueba de la recta horizontal solo sirve para detectar por adelantado qué funciones necesitarán esta cirugía.

El botón de deshacer y cómo comprobarlo 🖖

Una función inversa es un botón de deshacer: si pasas la salida de f por f⁻¹, vuelves al valor inicial x. Para hallarla, intercambia x e y en la ecuación y despeja; ese intercambio es justo lo que refleja ambas gráficas sobre la recta y=x. La comprobación más segura es la composición: si f(f⁻¹(x)) = x y f⁻¹(f(x)) = x, tienes de verdad un par correcto. Convertir de Celsius a Fahrenheit y volver es la misma idea en la vida diaria.

Funciones que son su propia inversa 🖖

La mayoría de las curvas no se parecen a su reflejo sobre y=x, pero unas pocas caen exactamente sobre sí mismas. Son las involuciones, funciones que cumplen f(f(x)) = x: son su propia inversa. El recíproco f(x) = 1/x es el caso clásico; su hipérbola ya es simétrica respecto a y=x, así que reflejarla no cambia nada. Ese mismo truco de autodeshacer impulsa ROT13, donde cifrar el texto dos veces restaura el original.

FUNCIONES INVERSAS — ¿EXISTE UNA, Y EN QUÉ DOMINIO?

¿En qué caso de función inversa está?

Una función tiene inversa exactamente cuando dos entradas distintas nunca comparten salida: la prueba de la recta horizontal. Si la pasa, la inversa es la reflexión en y = x y no hay nada más que decidir. Si no la pasa, no está atrapado: recorte el dominio a un trozo donde sí la pase, y allí existirá la inversa. En qué caso está se resuelve antes de cualquier álgebra.

Estrictamente monótona: la inversa existe en todas partes f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

La prueba de la recta horizontal falla: no hay inversa en toda la recta real f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Restrinja el dominio y la inversa vuelve x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Una pareja clásica: dominio y recorrido se intercambian f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Estrictamente monótona: la inversa existe en todas partes

Lo que sabe: La función nunca repite una salida, así que cada recta horizontal corta la gráfica una vez. La inversa está definida en todo el recorrido.

Prueba: f′ ≠ 0 ⇒ ∃f⁻¹

Ejemplo resuelto: f(x) = 2x + 1 lleva el 2 al 5, y f⁻¹(x) = (x − 1)/2 devuelve el 5 al 2

Abrir este caso: par lineal

Estrictamente monótona: la inversa existe en todas partes. Cada recta horizontal cruza una vez, así que la reflexión en y = x es a su vez una función. La función nunca repite una salida, así que cada recta horizontal corta la gráfica una vez. La inversa está definida en todo el recorrido. — Cada recta horizontal cruza una vez, así que la reflexión en y = x es a su vez una función.

La prueba de la recta horizontal falla: no hay inversa en toda la recta real

Lo que sabe: Dos entradas distintas dan la misma salida, así que una supuesta inversa tendría que devolver dos valores a la vez. Reflejar la gráfica da una curva, pero no una función.

Prueba: f(a) = f(−a) ⇒ ∄f⁻¹

Ejemplo resuelto: f(x) = x² lleva tanto 2,5 como −2,5 a 6,25, así que f⁻¹(6,25) no tiene una única respuesta

Abrir este caso: cuadrática (no invertible)

La prueba de la recta horizontal falla: no hay inversa en toda la recta real. La recta horizontal corta la parábola dos veces, así que la reflexión no puede ser una función. Dos entradas distintas dan la misma salida, así que una supuesta inversa tendría que devolver dos valores a la vez. Reflejar la gráfica da una curva, pero no una función. — La recta horizontal corta la parábola dos veces, así que la reflexión no puede ser una función.

Restrinja el dominio y la inversa vuelve

Lo que sabe: Recorte el dominio a un tramo donde la función sea monótona. En x ≥ 0 la parábola pasa la prueba, y allí √x es su inversa.

Prueba: x ≥ 0 ⇒ f⁻¹ = √x

Ejemplo resuelto: En x ≥ 0, f(x) = x² lleva 2,5 a 6,25 y f⁻¹(x) = √x devuelve 6,25 a 2,5

Abrir este caso: cuadrática restringida

Restrinja el dominio y la inversa vuelve. Media parábola es monótona, y en esa mitad la reflexión vuelve a ser una función. Recorte el dominio a un tramo donde la función sea monótona. En x ≥ 0 la parábola pasa la prueba, y allí √x es su inversa. — Media parábola es monótona, y en esa mitad la reflexión vuelve a ser una función.

Una pareja clásica: dominio y recorrido se intercambian

Lo que sabe: eˣ y ln x son inversas una de otra. Lo que una toma, la otra lo devuelve: el dominio de cada una es el recorrido de la otra.

Prueba: f: A→B ⇒ f⁻¹: B→A

Ejemplo resuelto: e¹ = 2,718 y ln(2,718) = 1. eˣ lleva todos los reales a los positivos; ln lleva los positivos de vuelta a todos los reales.

Abrir este caso: exp y ln

Una pareja clásica: dominio y recorrido se intercambian. Cada curva es la otra reflejada en y = x; el semieje positivo se convierte en la recta entera. eˣ y ln x son inversas una de otra. Lo que una toma, la otra lo devuelve: el dominio de cada una es el recorrido de la otra. — Cada curva es la otra reflejada en y = x; el semieje positivo se convierte en la recta entera.

Problema resuelto al detalle

El punto (2, 4) en f(x) = x² reflejándose en (4, 2) 5 pasos
El punto (2, 4) en f(x) = x² se convierte en (4, 2) en su inversa. Demuestra que la simetría es respecto a la recta y = x y descubre por qué es necesario restringir el dominio de f.
1. Una función inversa deshace la función original, de modo que si f transforma a en b, la inversa transforma b en a. Intercambiar las coordenadas es la operación completa, y por eso los dos puntos de la herramienta muestran los mismos dígitos en el orden inverso.
  
  $f^{- 1} undoes f : (a, b) \in f ⟺ (b, a) \in f^{- 1} ⟹ Q = (4, 2)$
2. Ese intercambio es una reflexión, y el eje de simetría se puede determinar a partir de la geometría en lugar de darse por sentado. Toma el punto medio de los dos puntos.
3. El punto medio es (3, 3), que se encuentra sobre y = x. Esto es cierto para cualquier par (a, b) y (b, a), ya que su punto medio siempre tiene coordenadas iguales.
  
  $midpoint P Q = (\frac{2 + 4}{2}, \frac{4 + 2}{2}) = (3, 3) \in {y = x}$
4. Ahora, la dirección. El segmento que los une tiene pendiente −1, perpendicular a la recta y = x, cuya pendiente es 1. Una recta que corta a un segmento por su punto medio y en ángulo recto es su mediatriz, por lo que y = x es el eje de simetría.
  
  $slope P Q = \frac{2 - 4}{4 - 2} = - 1 ⊥ the line y = x$
5. La restricción viene impuesta por ese mismo intercambio. Sin ella, f envía tanto 2 como −2 a 4, por lo que la correspondencia inversa tendría que enviar el 4 a dos sitios a la vez, lo cual no es una función.
  
  $f (2) = f (- 2) = 4 ⟹ x \geq 0 is required for f^{- 1} to exist$
Respuesta

La herramienta muestra P = (2,4) y Q = (4,2), e indica que la función es invertible en el dominio actual. La demostración consta de los dos hechos de los pasos 3 y 4: que y = x corta al segmento en su punto medio y es perpendicular a él, que es exactamente lo que significa una reflexión. Vale la pena reparar en la restricción porque supone una pérdida real, no un mero formalismo: x² es una función perfectamente válida que simplemente carece de inversa, y la raíz cuadrada es la inversa de una función diferente y más restringida a la que también acordamos llamar x². Desactiva la restricción y observa cómo la curva reflejada deja de ser una función.

$reflection in y = x : bisected by it and perpendicular to it$

Referencias (2)

The condition under which an inverse exists at all, stated precisely: W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, Theorem 9.24 (the inverse function theorem). McGraw-Hill, 1976.
A function with no elementary formula, which exists only as an inverse: R. M. Corless, G. H. Gonnet, D. E. G. Hare, D. J. Jeffrey and D. E. Knuth, "On the Lambert W function." Advances in Computational Mathematics 5(1), 329–359, 1996.

Por el equipo de 42Math · Actualizado 2026-07-27

Contrastado con fuentes publicadas. Se agradecen correcciones. Política editorial · Correcciones

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Problemas de ejemplo

par lineal - Las funciones lineales son invertibles globalmente, con simetría especular exacta.
cuadrática (no invertible) - x^2 no es inyectiva en todos los reales, por lo que la inversa no existe globalmente.
cuadrática restringida - Restringir x^2 a x>=0 restaura la invertibilidad y da sqrt(x).
exp y ln - exp y ln forman un clásico par de funciones inversas respecto a y=x.